【启慧学案】高中数学必修4苏教版分层演练:2.2.3 向量的数乘


2.2.3

向量的数乘

情景: 我们已经学习了向量的加法, 请同学们作出 a+a+a 和(-

a)+(-a)+(-a)(与已知向量 a 相比).
思考: 相加后和的长度与方向有什么变化?这些变化与哪些因素 有关?

基 础 巩 固 1.设λ 、μ ∈R,下面叙述不正确的是( A.λ (μ a)=(λ μ )a B.(λ +μ )a=λ a+μ a C.λ (a+b)=λ a+λ b D.λ a 与 a 的方向相同(λ ≠0) )

答案:D

2.|a-b|=|a|+|b|(b≠0)成立的等价条件是( A.b=λ a 且λ ∈(-∞,0) C.b=λ a 且λ ∈(-∞,0]

)

B.a=λ b 且λ ∈[0,+∞) D.a=λ b 且λ ∈(-∞,0]

答案:D

→+ 3.在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,E 是 AD 的中点,若→ BE=mAB →,则 m+n=________. nAC

→=AE →-→ 解析:如图,BE AB 1 → = → AD-AB 2 1 → → = (AB +BD)-→ AB 2 1 1→ =- → AB+ BD 2 2 1 1→ =- → AB+ BC 2 4 1 1 =- → AB+ (→ AC-→ AB) 2 4 3 1→ =- → AB+ AC . 4 4 3 1 ∴m=- ,n= 4 4 1 ∴m+n=- . 2 答案:- 1 2

4.已知向量 a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中 e1,e2 不共线, 则 a+b 与 c=6e1-2e2 的关系是________.

答案:共线

?1 ? 1 5.若 a,b 是已知向量,且 (3a-2c)+4? c-b?+a+6b=0, 3 ?4 ?

则 c=________.

答案:-6(a+b)

6.已知向量 a、b 不共线,实数 x、y 满足等式 5xa+(8-y)b= 4xb+3(y+9)a,则 x=________,y=________.

答案:3

-4

→ 7. 已知平面上不共线的四点 O, A, B, C, 若→ OA-2 015→ OB+2 014OC |→ AB| =0,则 =________. → |BC|

答案:2014

8.代简, ________.

? 7 ?? 2 7 ?1 3? 1? ? a+ ?b+ a?? - ??(3a+2b)?- a-b? = 6 ?? 3 6 ?2 7? 2? ?

答案:0

→上距 A 较近的一个三等分点,D 9.已知→ OA=a,→ OB=b,C 为AB 为→ CB上距 C 较近的一个三等分点,则用 a,b 表示→ OD的表达式为→ OD= ________.

答案:

4a+5b 9

能 力 升 级 10.已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满 →=0,则OC →=( 足 2→ AC+CB →-OB → A.2OA 2 → 1→ C. OA - OB 3 3 ) →+2→ B.-OA OB 1 2→ D.- → OA+ OB 3 3

答案:A

→=a+2b,BC →=-5a+6b,→ 11.已知向量 a、b,且AB CD=7a-2b,

则一定共线的三点是( A.A、B、D C.B、C、D

) B.A、B、C D.A、C、D

→=a+2b,→ →+→ 解析:∵AB BD=BC CD=2a+4b=2→ AB, ∴A、B、D 三点共线. 答案:A

→=b,a、b 不共线,则∠AOB 的平分线→ 12.向量→ OA=a,OB OM可表 示为( A. C. )

a b + |a| |a|
|b|a-|a|b |a|+|b|

B.

a+b |a+b|
?

D.λ ?

a b ? + ? ( λ 由| → OM|确定) ?|a| |b|?

解析: 因

a b 与 均是单位向量, ∴以这两个向量为邻边的平行 |a| |b|

四边形是菱形,而菱形的对角线平分对角.∴只有 D 项才表示∠AOB 的平分线向量. 答案:D

13.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动 →=→ 点 P 满足OP OA+λ 定通过△ABC 的( A.外心 → ? ?→ AB AC ? → + → ?,λ ?|AB| |AC|? ) B.内心 ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一

C.重心 → AB

D.垂心

→ AC → →同向的单位向 解析: 是与AB同向的单位向量, 是与AC |→ AB| |→ AC| 量.以 A 为共同起点,以这两个单位向量为邻边作出菱形 AB0P0C0,则 它们的和向量 + 即菱形的对角线所确定的以 A 为起点的向 → → |AB| |AC| → AB → AC

→0 , 同时由 菱形的 对角线平 分一组 对角知 AP0 平 分∠ BAC. λ 量 AP → ?→ AB AC ? → (λ + ?→ ?=λ AP → ?|AB| |AC|?
0

≥0), 与以 A 为起点的 AP0 同向的向量→ AP=→ OP

→0(λ ≥0),故 P 的轨迹是∠BAC 的平分线(含 A).故通过 -→ OA=λ AP 内心.

答案:B

14. 过△ABC 的重心任作一直线分别交 AB, AC 于点 D, E, 若→ AD= →,→ →,xy≠0,则 + 的值为________. xAB AE=yAC x y 1 1

2→ 解析:不妨设过△ABC 的重心所作直线与 BC 平行,则→ AD= AB , 3

2 2 1 1 3 3 → AE= → AC,故 x=y= ,所以 + = + =3. 3 3 x y 2 2 答案:3

→=ke1+ 8e2, 15. 已知非零向量 e1, e2 不共线, 且→ AB=e1+e2, BC → CD=3(e1-e2).若 A、B、D 三点共线,试确定实数 k 的值.

解析:∵B→ D =B → C +C→ D =ke1+8e2+3(e1-e2) =(k+3)e1+5e2. ∵A、B、D 三点共线, ∴存在唯一实数λ ,使得 A→ B =λ → BD, 即 e1+e2=λ [(k+3)e1+5e2], 即[λ (k+3)-1]e1=(1-5λ )e2.
?λ ?k+3?-1=0, ? 又 e1,e2 不共线,∴? ? ?1-5λ =0,

k=2, ? ? 则? 1 λ = . ? 5 ?

∴k=2.

16.设 a,b 是不共线的两个非零向量. →=2a-b,→ (1)若OA OB=3a+b,→ OC=a-3b,求证:A,B,C 三点 共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值.

→-→ (1)证明: ∵→ AB=OB OA=(3a+b)-(2a-b)=a+2b, 而→ BC=(a

-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2→ AB, ∴→ AB与→ BC共线,且有公共端点 B. ∴A,B,C 三点共线. (2)解析:∵8a+kb 与 ka+2b 共线, ∴存在实数λ ,使得 8a+kb=λ (ka+2b). ∴(8-λ k)a+(k-2λ )b=0. ∵a 与 b 不共线, ∴?
? ?8-λ

k =0 ,

?k-2λ =0. ?

∴8=2λ 2.∴λ =±2.∴k=2λ =±4.

17.如右下图所示,在平行四边形 ABCD 中,→ AD=a,→ AB=b,M 1 是 AB 的中点,点 N 是 BD 上一点,|BN|= |BD|. 3

求证:M、N、C 三点共线.

→=a,→ 证明:∵AD AB=b, →=a-b. ∴→ BD=→ AD-AB →=1b+1BD →=1b+1(a-b)=1a+1b=1(2a+b). ∴→ MN=→ MB+BN 2 3 2 3 3 6 6

→=1b+a=1(2a+b), 又∵→ MC=→ MB+BC 2 2 →. ∴→ MC=3MN ∴→ MC与→ MN共线. 又→ MC与→ MN有共同起点,∴M、N、C 三点共线.

18.设平面上不在一直线上的三点为 O、A、B,证明:当实数 p, →, →两个向量终点的直线通过一个定点. q 满足 + =1 时, 连接 pOA qOB p q 1 1

证明:方法一(构造法一) → →,OB → →,其中 C′为直线 A′B′上任意一点, 设OA ′=pOA ′=qOB → → → →+μ qOB →(λ +μ =1). 则OC ′=λ OA ′+μ OB ′=λ pOA 1 1 1 1 ∵ + =1,令λ = ,μ = ,

p q

p

q

→ →=OC →,其中 C 点是以 OA、OB 为邻边的平行四边 则OC ′=→ OA+OB 形的另一顶点,显然 C 为定点,故满足要求. 方法二(构造法二) → → → → → → 如图所示, OC ′=OA ′ + λ A′ B′=OA ′+ λ ·(OB ′-OA ′) → → →+λ qOB →. =(1-λ )OA ′+λ OB ′=(1-λ )pOA

1 1 1 1 ∵ + =1,∴令 1-λ = ,λ = ,

p q

p

q

1 1 → →+OB →, 显然满足 1-λ +λ = + =1,OC ′=OA

p q

∴C′为定点.


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