不光滑混沌系统的Lyapunov指数计算


不光滑混沌系统的 Lyapunov 指数计算

作 者 姓 名: 指 导 教 师: 单 位 名 称: 专 业 名 称:

王欣欣 张玺麟 副教授 电气自动化研究所 自动化

清 华 大 学 2006 年 6 月

Computation of Lyapunov Exponents of Non-smooth Chaotic Systems

by Wang Xinxin

Supervisor: Associate Professor Zhang Xilin

Tsinghua University June 2006

清华大学本科毕业设计(论文)

毕业设计(论文)任务书

毕业设计(论文)任务书

毕业设计(论文)题目: 不光滑混沌系统的 Lyapunov 指数计算

设计(论文)的基本内容:
1. 对混沌理论和 Lyapunov 指数相关信息进行研究; 2. 仔细研究相空间重构理论和求 Lyapunov 指数的算法; 3. 确定算法,并进行编程; 4. 求解 Chua 电路和振动系统的 Lyapunov 指数,并分析是否混沌; 5. 总结全文。

毕业设计(论文)专题部分:

题目:

设计或论文专题的基本内容: 学生接受毕业设计(论文)题目日期

第 1 周

指导教师签字: 2006 年 3 月 9 日

I

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摘要

不光滑混沌系统的 Lyapunov 指数计算

摘要
混沌理论是 20 世纪三大科学革命之一。从理论出现到现今,随着计算机技术的飞 速前进,以及越来越多的学者关注混沌理论,混沌理论得到了巨大的发展。其中,判断 系统是否混沌的一个非常重要的指标就是 Lyapunov 指数。可以比较容易的判断系统是 否混沌。 首先本文介绍了混沌理论和 Lyapunov 指数,包括它们的定义、发展史及判断方法。 然后本文对重构相空间和 Lyapunov 指数进行了着重介绍,包括它们的定义,性质 和算法。本文用到的计算算法是 C-C 方法和 Wolf 方法(C-C 法计算嵌入维数和延迟时 间,Wolf 方法计算最大 Lyapunov 指数) ,并且进行了相应的编程工作。 然后本文对 Chua 电路和振动系统进行了 Lyapunov 指数计算。再改变参数,计算 Lyapunov 指数, 分析出系统不同参数下的混沌性。 说明了混沌系统敏感依赖于参数和初 始值。 最后总结全文,对所做工作和课题进行了展望。

关键词:Lyapunov 指数,重构相空间,Chua 电路,混沌,Wolf 算法

II

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Abstract

Computation of Lyapunov Exponents of Non-smooth Chaotic Systems

Abstract
Chaos theory is considered as the one of three scientific revolutions in 20th century. From the time that chaotic theory appeared to now, as the rapid development of computer technology, more and more scholars concerned about the chaos theory, and chaos theory has been so tremendous development. Where, a very important indicator to judge whether the system is chaotic is the Lyapunov exponent. It can be easier to judge whether the system is chaotic. First, this dissertation introduces chaos theory and the Lyapunov exponents, including their definition, history, and diagnosis method. Then, this article introduces the reconstruction of phase space and Lyapunov exponents detailedly, including their definition, character and algorithms. Algorithms used in this dissertation are Wolf and CC method (CC method is used to calculate embedding dimension and delay time, Wolf is used to calculate the maximum Lyapunov exponent), and these algorithms are programmed. And then, this dissertation calculates Lyapunov exponents of Chua circuit and vibration system. Then changing the parameters, calculate the Lyapunov exponents, judge that systems with different parameters is chaotic. Illustrates the sensitivity of that chaotic systems dependent on the parameters and initial value. Finally, conclude this dissertation, prospect this thesis.

Keywords: Lyapunov exponent, phase space reconstruction, Chua circuit, chaos, Wolf method

III

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目录





毕业设计(论文) 毕业设计(论文)任务书 ........................................................................................................ I 摘要 ........................................................................................................................................... II ABSTRACT ........................................................................................................................... III 第一章 绪论 ......................................................................................................................... - 1 1.1 背景和意义 .................................................................................................................. - 1 1.2 混沌理论和相关知识 .................................................................................................. - 1 1.2.1 混沌的定义 .......................................................................................................... - 1 1.2.2 混沌发展史 .......................................................................................................... - 2 1.2.3 混沌的基本特征 .................................................................................................. - 6 1.2.4 混沌的判别方法 .................................................................................................. - 7 1.3 Lyapunov 指数 ............................................................................................................. - 7 1.3.1 Lyapunov 指数的现状 ......................................................................................... - 7 1.3.2 Lyapunov 指数的性质 ......................................................................................... - 8 1.4 本文内容介绍 .............................................................................................................. - 9 第二章 相空间重构及其参数选择 .................................................................................... - 11 2.1 概述 ............................................................................................................................ - 11 2.2 相空间重构相关理论 ................................................................................................ - 11 2.2.1 相空间重构理论的概述 .....................................................................................- 11 2.2.2 Taknes 定理 ........................................................................................................ - 12 2.3 重构相空间参数的求取 ............................................................................................ - 13 2.3.1 求取时间延迟 τ 的方法 .................................................................................... - 13 2.3.2 求取嵌入维数 m 的方法 ................................................................................... - 14 2.3.3 同时求取嵌入维数 m 和时间延迟 τ 的方法(C-C 法)................................ - 14 2.4 本章小结 .................................................................................................................... - 18 第三章 Lyapunov 指数 .................................................................................................... - 19 3.1 Lyapunov 指数的定义 ............................................................................................... - 19 IV

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目录

3.2 关于 Lyapunov 指数的性质 ...................................................................................... - 21 3.3 计算 Lyapunov 指数的方法 ...................................................................................... - 23 3.4 本章小结 .................................................................................................................... - 24 第四章 具体算法及实现 ................................................................................................... - 25 4.1 微分方程求解 ............................................................................................................ - 25 4.2 C-C 算法的具体实现 ................................................................................................ - 26 4.2.1 子程序设计: .................................................................................................... - 27 4.2.2 主程序设计 ........................................................................................................ - 29 4.3 Wolf 算法的具体实现 ............................................................................................... - 31 4.4 本章小结 .................................................................................................................... - 32 第五章不光滑系统的 Lyapunov 指数和分析.................................................................. - 33 指数和分析 5.1 Chua 电路及其 Lyapunov 指数计算 ........................................................................ - 33 5.1.1 Chua 电路介绍................................................................................................... - 33 5.2.2 Chua 电路的化简............................................................................................... - 36 5.3.3 不同参数下 Chua 电路的混沌性...................................................................... - 36 5.2 振动系统的 Lyapunov 指数计算 .............................................................................. - 40 5.2.1 振动系统的介绍和化简 .................................................................................... - 40 5.2.2 振动系统的 Lyapunov 指数计算 ...................................................................... - 42 5.3 本章小结 .................................................................................................................... - 44 第六章 总结与展望 ........................................................................................................... - 45 参考文献 ............................................................................................................................. - 47 致谢 ..................................................................................................................................... - 51 -

V

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第一章 绪论

第一章 绪论
1.1 背景和意义
随着科技的发展,混沌理论被越来越多的人熟知,尤其是计算机技术的飞速发展, 计算机求解复杂方程时,精度和速度都达到了理想要求,而且混沌理论在越来越多的领 域都有涉及,所以混沌的发展是前途光明的。 混沌理论作为一个先进课题,已经得到许多领域专家的重视。专家和学者对混沌现 象的研究越来越深入,对原来混沌存在的无奈到现今的利用混沌和控制混沌,混沌被越 来越多的学者关注和研究。对于一个系统的混沌性判断有很多方法,本文主要是从 Lyapunov 指数方面进行研究和判断。因为使用 Lyapunov 指数来判断系统混沌性是现今 比较流行而且比较可靠的方法,而且技术纯熟,对于初学者非常适合。 由于计算机技术的飞速发展,使得用数值方法研究混沌问题成为可能,其中在计算 机上采用数值方法计算动力系统的 Lyapunov 指数就是一个典型例子。在计算 Lyapunov 指数的过程中,原来困扰人们的计算时间和复杂度问题由于现今计算机的快速计算能力 而显得不是那么重要,现在更关心的是计算方法的可靠性和计算精度的问题。 不光滑系统是一类典型的非线性系统,而其中有许多系统都是混沌系统,并且广泛 存在于电路、电力、机械、振动和摩擦系统中。已经证实,这类系统存在复杂的非线性 现象,在一定的条件下出现混沌运动。因此研究 Lyapunov 指数对不光滑系统的分析有 着十分重要的意义。 鉴于以上的情况, Lyapunov 指数的计算是一个本科生可以用来研究的课题。 所以本 文主要是对 Lyapunov 指数相关计算算法的研究和分析,并且对部分不光滑混沌系统的 Lyapunov 指数计算和分析。

1.2 混沌理论和相关知识
1.2.1 混沌的定义
现今,大多数人认为混沌的定义可以用 Li.Yorke 定理来定义,描述如下: 设 有 连 续 单 峰 映 射 f : I → I , 存 在 a ∈ I 使 得 b = f (a ) , c = f (b) , d = f (c) 且
d ≤ a < b < c 或 d ≥ a > b > c , f 映射按 Li.Yorke 定义。

若 f 映射的 Schwaraz 导数<0,即

-1-

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第一章 绪论

Sf ( x) =

f m ( x) 3 f n ( x) 2 ? ( ) <0 f ′( x) 2 f ′( x)

(1.1)

也是关于周期轨道,于是得到下面结论: (1) 最多有一条稳定的周期轨道; (2) 不收敛于稳定轨道的点集的测度为零。 其实混沌的定义是有多种的,不过根本上是相近的,虽然逻辑上不一定等同。以下 是一种较直观的定义。 设 V 是一个紧度量空间,连续映射 f : V → V 如果满足下列三个条件:
(1) 敏感地依赖于初值:存在 δ > 0 ,对于任意的 ε > 0 和任意 x∈V,在 x 的 ε 邻域

内存在 y 和自然数 n,使得 d ( f n ( x), f n ( y )) > δ 。
(2) 拓扑传递性:对于 V 上任意~对开集 X,Y,存在 k>0,使 fk ( x) ∩ Y ≠ φ 。 (3) f 的周期点集在 V 中稠密。

所有称 f 是在 Devaney 意义下 V 上的混沌映射或混沌运动。 对初值敏感地依赖,意味着在 f 的作用之下两者的轨道都可能分开较大的距离,即 使 X,Y 离得多么近。且在每个点 X 附近都可以找到离它很近,但由于 f 的作用最终产 生严重偏离的点 Y。对这样的 f,计算它的轨道(使用计算机辅助计算) ,初始误差无论 多么微小,计算结果终将会在若干次迭代后失效。 在 f 的作用之下,任一点的邻域将“散变”整个度量空间 V,这就是拓扑传递性。 这也道出 f 不可能细化或分解成在 f 下相互影响的两个子系统。 上述两条一般说来是随机系统的特征,但第三条——周期点的稠密性,又表明系统 具有很强的确定性和规律性,绝非一片混乱,形似紊乱而实则有序。

1.2.2 混沌发展史
非线性理论的一个重要分支既是混沌,混沌揭示了社会生活中和科学研究中存在 的一种复杂现象的本质特性。它是确定性与随机性的统一、有序与无序的统一,人们因 此对大自然有了更深的理解。M. Shlesinger、J. Ford 等都是混沌科学的拥护者,他们认 为,混沌科学是 20 世纪物理学上可与相对论和量子力学并称的三次大革命。而且提出: “相对论消除了关于绝对空间与时间的幻象,量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿 式的梦,而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式的可预测性的幻想。 ” 一般认为对经典动力学概念的质疑引起了混沌研究,它的标志性事件有:法国学者 庞加莱研究天体物理学三星体问题的时候发现出现随机结果和英国物理学家麦克斯维 -2-

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第一章 绪论

发现的物理系统可能对初值敏感。随着社会进步和科学发展,学者们深入研究,又认识 到, 以拉普拉斯和牛顿为代表的经典确定性理论的正确性是受到一定限制的。 世纪初, 19 微观世界研究需要应用薛定谔方程,并非牛顿力方程;随后科学家们又发现高速运动规 律不能再用牛顿定律来解释了,所有近乎于光速的运动都需要用相对论方法来进行研 究。20 世纪后期,伴随着海森堡不确定性关系的建立以及量子力学的蓬勃发展,最终证 实了拉普拉斯决定论是失败的。 20 世纪中期, 前苏联概率论大师科尔莫哥洛夫在探索运动稳定性过程中发表了 《哈 密顿函数中微小变化时条件周期运动的保持》一文,被认为是 KAM 定理的雏形。而后 其学生 Arnold 和瑞士数学家 J. Moser 分别对此给出了严格的数学证明, 此项研究成果为 明确不但耗散系统中存在混沌现象而且保守系统中也存在混沌铺平了道路。 1963 年,Lorenz[1]著名论文《确定性的非周期流》面世,文中指出:三阶非线性自 《自然》杂志上发表论文《洛伦兹吸引子 治系统中可能会出现混乱解,将近 40 年之后, 存在性的证明》从数学上严格证明了 Lorenz 吸引子在自然界中的存在。 1964 年,法国天文学家 Henon 从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发,给 出了著名的 Hónon 映射[2],给出了一个最简单的吸引子,并用它建立了“热引力崩坍"理 论,解释了太阳系的稳定问题。 1970 年,数学家 David Ruelle 和 Floris Takens 从 Renó Thorn 的观点和 Smale 与其 他数学家的研究成果中得到启发,提出了一种逼近法,用以研究湍流中的振荡现象,发 现其中有奇异吸引子。第 2 年,两位学者联名发表了著名论文《论湍流的本质》提出应 用混沌来描述湍流形成机理的新观点,论文通过严格数学分析,发现了动力系统存在一 套特别复杂新型吸引子,描述了其几何特征,并证明了与此吸引子有关的运动为混沌运 动,发现了第一条通向混沌的道路。 1975 年,美国学者 Yorke 和李天岩在美国《数学月刊》发表了著名的论文《周期 三意味混沌》 ,其关于混沌的 Li. Yorke 定理震动了整个学界。 1976 年,美国数学生态学家 May R 在《自然》杂志上发表了论文《具有复杂动力 学过程的简单数学模型》 ,讨论了 Logistic 方程,以单峰映射为主要研究对象,系统分析 了方程动力学特性,绘制了分岔轮廓图,其对周期窗口、各种分岔现象、不动点谐波等 都进行了较为详尽的论述[3]。 1978 年,Feigenbaum 发现了倍周期分岔过程中间距的几何收敛率,并发现了著名 的 Feigenbaum 常数,即几何收敛率以约 4.6692 的倍数收敛。另外,Feigenbaum 还将标 -3-

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第一章 绪论

度性、重正化群方法等思想、概念引入混沌研究中来,计算了一组新的普适常数,建立 了一维映射的混沌普适理论,阐明了如何进行尺度变换,第一次给出了走向混沌的具体 道路,将混沌研究由定性分析推向定量分析,成为混沌学研究史上重要的里程碑。 进入 20 世纪 80 年代以来,Mandelbrot 利用现代计算机绘制出了第一张混沌图像; 而后经过 Takens 等杰出的工作,证明了可以利用系统一维时间序列对系统整个相空间 进行重构;继他们之后 Grassberger 和 Procaccia 应用相空间重构技术分析了通过实验得 到的系统时间序列的吸引子几何不变量以及统计特征量,将混沌理论由理论、思想层面 对人们的启迪引入到实际应用阶段。 随着科学技术不断的进步与发展以及大量科学家不懈地努力,进入到上世纪 90 年 代以来,混沌已经被广泛应用于物理、化学、经济、社会、生物以及医学等各个领域。 伴随着混沌理论成功应用于各学科,其对各学科深入理解所需研究的问题、学科理论与 实践的发展起到了积极促进作用;反过来,各学科随着混沌思想的引入,也对混沌学本 身的发展提出了更高的要求, 二者相互促进, 不断发展。 在保密通信领域混沌应用理论, 如美国已经利用激光混沌成功地进行了 5 里长的通信试验,此外数字图象的混沌加密解 密技术也方兴未艾[4,5]; 混沌研究对原子能科技也有积极的促进作用, 比如热核聚变中高 温等离子体问题中的强流质子束产生的复杂的束晕——混沌现象,会引起严重的放射性 剂量超标,利用混沌控制对此问题进行解决以初现曙光[6];强激光系统由于其具有混沌 特性大大耗散了激光能量,导致激光功率上不高,因此非常需要进行激光混沌控制[7]; 化工系统中可以将系统导入混沌区域,利用混沌系统具有遍历性的特点,充分地进行多 种物质的混合,节约能源[8];在医学工程上,有学者利用混沌治疗神经系统疾病等“动态 病",也有人利用混沌控制方法探索对心脏等器官进行控制[9],另外混沌还被广泛应用于 生物医学工程诸如人脑奥秘等方面的探索中;在系统识别领域,针对混沌系统利用混沌 动力学指标研究系统状态特性,如碰摩转子系统的混沌动力特性研究[10],多相流体混合 流动问题中某指标时间序列混沌特性研究[11], 对复杂交通流模型混沌动力特性进行研究
[12]

, 也有学者研究大型输变电电力系统混沌模型[13], 也有文章报道应用混沌动力学研究

江河湖泊水网[14]、 海洋流动模型[15]; 对在振荡非线性电路研究领域中有学者利用混沌理 论研究电路特性,并探索对其进行混沌控制[16]。 混沌振动理论在振动工程和声学领域也被广泛研究。1979 年,Moon 和 Holmes 通 过两块磁铁间铁磁梁的研究观察到磁弹耦合悬臂梁的混沌振动现象;1983 年,Shaw 等 更进一步研究了具有非线性边界条件梁的混沌振动实验;同年,Shaw 与 Holmes 证明了 -4-

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第一章 绪论

在非对称性恢复力分段线性系统中存在混沌振动现象;1988 年,Kisliakov 与 Popov[17] 则在对称性恢复力的分段线性系统中观察到了混沌振动现象; 1990 年, 陈予恕等采用受 纵向激励梁结构模型模拟一类非线性 Mathieu 方程的亚谐共振,并对此亚谐分岔特性进 行了实验研究;1997 年,季进臣,陈予恕等对分别采取固定、滑动承受的轴向简谐载荷 下的屈曲梁进行了非线性响应分析,通过混沌实验研究,给出了无量纲一阶模型的运动 方程。张淑芹等[18]研究自激励边界反馈下梁混沌动力学行为,通过调节增益常数观察到 了振动能量经历慢周期、快周期、混沌,再回到周期振动的过程。胡春林等[19]通过研究 非线性弹性和线性粘弹性桩系统本身关系,通过数值模拟观察到了此系统中的混沌振动 现象。金基铎等[20]通过研究输送脉动流管道的几何非线性和材料非线性问题,观察到系 统在特定参数下会出现围绕不同平衡点的周期和混沌运动现象,并发现可并周期分岔与 阵发混沌运动。 欧阳茹荃等[21]以船舶非线性横摇运动模型为研究对象, 通过变换各参数, 观察到吸引子共存、对称性破缺、倍周期分岔以及混沌运动等现象。朱石坚等[22]应用无 反馈混沌控制技术,通过选取适当参数设计混沌隔振系统。韩正铜等[23]利用实验研究磨 削过程非线性振动以及混沌振动。混沌当然也被广泛应用于声学问题的研究中,首当其 冲的就是应用混沌理论研究语音信号[24], 还有学者研究利用强噪声激起粉尘管道中混沌 运动从而令粉尘能够更好的沉降,有人通过测量舰船辐射噪声信号时间序列研究其混沌 动力特性[25],也有人利用非线性减振、隔振系统在某些参数条件下具有混沌动力特性, 利用混沌系统响应具有频域平坦等特点对舰船进行减振降噪研究[26], 响应也可出现规则 占优和随机占优等非混沌运动此外有学者研究水声测量系统具有的混沌动力特性以及 利用混沌理论进行抗混响技术研究[27]。对于工业产品的设计制造,混沌理论也大有用武 之地[28]。日本三洋公司的“混沌暖风机” ,利用对流风扇人为制造混沌室温扰动,改善 其不均匀性,提高舒适感;日本松下公司的“混沌洗碗机” 、韩国 LG 公司的“混沌空调 机”等家电也都是利用混沌具有遍历性,服务于人们的日常生活。此外,需要浓书一笔 的是上海和徐州工程机械厂相继研发的“重型混沌振动压路机” ,巧妙利用了混沌振动 的宽频特性,提高工效,为世界首创。除此以外,混沌振动原理在选矿等工程实践中被 用来对特定目标进行有效识别与筛选。 从本质上讲,混沌是直接研究人类所看得见摸得着的宇宙,以及在人类本身的尺度 大小差不多的对象中发生的过程,所有日常生活经验与这个世界的真实图像都是研究混 沌时所探索的目标。因此,混沌是一种关于过程的科学而不是关于状态的科学,是关于 演化的科学而不是关于存在的科学。 今天的科学认为, 混沌无处不在。 一支上翘的香烟, -5-

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第一章 绪论

烟纹袅袅涡卷; 在风中旗帜前后拍动; 滴水的自来水龙头, 水滴的花样由稳态变为随机; 在气候的变化中,在飞行中的飞机的性态中,在高速公路上汽车拥挤的性态中,在地下 油管内油的流动性态中,都会出现混沌。这些性态都遵循着同一条新发现的定律或同一 类新发现的定律。 混沌中蕴含着有序,有序的过程也可能出现馄沌。大自然就是如此纵横交错,如此 复杂,包含着无穷的奥妙。因此,对混沌科学的进一步研究将使人类对大自然增加更深 刻的理解。 上述对各学科、各工程领域的混沌学研究介绍也许只是管中窥豹,但足以充分说明 混沌理论正在, 并将持续地改变人类的思维观念和科学世界, 在此以著名物理学家 J.Ford 的观点“混沌是 20 世纪物理学第三次大革命,前两次分别是量子力学和相对论”结束对 混沌动力学研究进展的介绍。

1.2.3 混沌的基本特征
通俗的讲,所谓混沌,就是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则的,类似随机 的现象。由于人们还没有完全彻底的认识混沌,因此,到目前为止还没有一个统一的被 大家公认的混沌定义。它的定常状态不是通常概念下确定性运动的三者状态:静止(平 衡) 、周期运动和准周期运动,而是局限于有限区域且轨道永不重复、性态复杂的运动。 与其他复杂现象相区别,混沌运动有着自己独有的特征,主要有: (1) 有界性:混沌系统是有界的,其轨线始终局限于一个确定区域(称为混沌吸引 域) ,因此,从整体上说它是稳定的; (2) 遍历性:混沌运动在其混沌吸引区域内是各态历经的,即在有限时间内轨道经 过混沌区域内的每个状态点; (3) 内随机性:混沌系统是确定性动力系统,但从长时间看它产生类似随机的运动 状态,这是系统内部自发产生的,称为内随机性.与通常的随机性不同,它是由系统对 初值的敏感性造成长时间的不可预测性,体现了混沌系统的局部不稳定性质; (4) 统计性:混沌系统具有正的 Lyapunov 指数和连续功率谱特征; (5) 分维性:混沌运动的状态具有多叶、多层结构且具有无限层次的自相似结构; (6) 普适性:混沌运动具有内在规律性,如 Feigenbaum 常数; (7) 标度性:混沌运动是无序中的有序。

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第一章 绪论

1.2.4 混沌的判别方法
由于混沌运动本身的复杂性,还没有一种合适的解析方法对其进行研究,因此对于 混沌运动判定和识别主要是采用数值方法。目前判断或预报混沌出现的主要数值方法 有: (1) 运动轨迹和奇怪吸引子结构分析, 利用数值计算结果去观察运动轨迹和奇怪吸 引子结构的不规则性。 (2) 功率谱,如果出现连续功率谱,则认为出现混沌。 将连续的动力系统化为离散动力学系统去研究, 如果 Poincare 映 (3) Poincare 映射, 射的结果不是有限的点集合或简单曲线,混沌就可能存在。 (4) Lyapunov 指数,用来度量运动对初始条件的敏感程度的量化指标。研究两个很 相近轨道平均指数发散率。最大 Lyapunov 指数大于零可以作为混沌存在的一个最可靠 依据。 在实际分析中判定一种运动形态是否为混沌运动时,可以使用上面的几种方法。本 文使用的是 Lyapunov 指数方法来判断系统的混沌特性。

1.3 Lyapunov 指数
1.3.1 Lyapunov 指数的现状
对初始条件极为敏感是混沌运动的基本特点。两个很靠近的初始值所产生的轨道, 但是随着时间推移按指数方式分离,Lyapunov 指数就是定量描述这一现象的量。目前 Lyapunov 指数是与相空间中不同方向上轨道的收缩和膨胀特征有关的一个平均量, 每一 个 Lyapunov 指数都可以看作是相空间各个方向上相对运动的局部变形的平均,同时它 都是由系统长时间演变决定的。所以,无论从空间还是时间的意义上来说,Lyapunov 指数决不是局部量,而是整体特性的一个表示。在 Lyapunov 指数谱中,最小 Lyapunov 指数决定轨道收敛的快慢,最大 Lyapunov 指数则决定轨道发散即覆盖整个吸引子的快 慢,即 Lyapunov 指数反映了运动系统在初始条件发生微小变化时所导致的在相空间轨 道不同方向上的变化程度,是用来刻划非线性系统混沌吸引子“奇异”程度的一个十分 重要的参数,因而广泛地应用于刻划非线性系统的行为。 近几十年来,Lyapunov 指数已经广泛地用于判别系统的混沌行为,进行故障诊断, 并成为一种极其重要的判别工具。例如文献[29]对水下目标信号的混沌特性研究、文献 [30]海杂波的混沌分析、文献[31]语音信号非线性特性的研究、文献[32],心电信号的混 -7-

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第一章 绪论

沌研究、文献[33]非稳态油膜轴承转予的分岔研究等等,都是采用 Lyapunov 指数这一混 沌的特征量来分析其混沌特性的。另外,Lyapunov 指数不仅仅用来判别混沌现象,还应 用到混沌相关的其它领域。 Lyapunov 指数的值表明了系统混沌的程度, 为系统的预测和 决策提供了重要信息。 例如文献[34]利用最大 Lyapunov 指数对发动机的故障进行诊断和 监控,文献[35]利用最大 Lyapunov 指数对发动机组进行故障诊断,文献[36]对注水泵故 障信号的 Lyapunov 指数的研究进行设备的状态识别,文献[37]将 Lyapunov 指数与神经 网络结合,建立混沌时间序列的预测模型,文献[38]基于 Lyapunov 指数的道路交叉口交 通量的混沌预测。文献[39]实现了比一般统计方法更高预测精度和更强适应性的预测。 因而,Lyapunov 指数作为混沌的一个极其重要的特征量,是非常有研究意义的。 由于混沌状态时系统的最大 Lyapunov 指数大于零,而当系统处于收敛状态时,最 大 Lyapunov 指数小于零,很自然地想到利用这一点就可以确定系统的阈值:最大 Lyapunov 指数的符号从大于零变为小于零的时刻,所对应的参数值就是阈值。所以, Lyapunov 指数不仅是判别混沌存在与否的重要指标, 也可以用来求取系统从混沌态跃变 到收敛态的阈值,为系统状态判断提供有效途径。

1.3.2 Lyapunov 指数的性质
Lyapunov 指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间 中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌,可以从最大 Lyapunov 指数是否大于零非常直观的判断出来:一个正的 Lyapunov 指数,意味着在系 统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率 的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。 Lyapunov 指数的和可以表示椭球体积的变化率。 对于汉米尔顿系统, 它的 Lyapunov 指数的和等于零;对耗散系统,Lyapunov 指数的和为负。若耗散系统的吸引子是一个不 动点,那么它的 Lyapunov 指数一般都是小于零的。如果是一个简单的 m 维流形(m=1 或 m=2 分别为一个曲线或一个面)那么, m 个 Lyapunov 指数等于零,其余的 Lyapunov , 前 指数小于零。总之,不管所求系统是不是耗散的,只要 λ1>0 就会出现混沌。 微分动力系统 Lyapunov 指数的性质: 对于一维(单变量)情形,吸引子只可能是不动点(稳定定态),此时 λ 是负的。对于 二维情形,吸引子或者是不动点或者是极限环。对于不动点,任意方向的 δxi,都要收 缩,故这时两个 Lyapunov 指数都应该是负的,即对于不动点,(λ1,λ2)=(-,-)。至于极限环, -8-

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第一章 绪论

如果取 δxi 始终是垂直于环线的方向,它一定要收缩,此时 λ<0;当取 δxi 沿轨道切线方 向,它既不增大也不缩小,可以想像,这时 λ=0。事实上,所有不终止于定点而又有界的 轨道(或吸引子)都至少有一个 Lyapunov 指数等于零,它表示沿轨线的切线方向既无扩 展又无收缩的趋势。所以极限环的 Lyapunov 指数是(λ1,λ2)=(0,-)。 在三维情形下有: ( λ1, λ2, λ3 ) = ( -, -, - ) :稳定不动点; ( λ1, λ2, λ3 ) = ( 0, -, - ) :极限环; ( λ1, λ2, λ3 ) = ( 0, 0, - ) :二维环面; ( λ1, λ2, λ3 ) = ( +, +, 0 ) :不稳极限环; ( λ1, λ2, λ3 ) = ( +, 0, 0 ) :不稳二维环面; ( λ1, λ2, λ3 ) = ( +, 0, - ) :奇怪吸引子。 则意味着相邻点最终要靠拢合并成一点, 这对应于稳定的不 Lyapunov 指数小于零, 动点和周期运动;若指数大于零,则意味着相邻点最终要分离,这对应于轨道的局部不 稳定,如果轨道还有整体的稳定因素(如整体有界、耗散、存在捕捉区域等) ,则在此 作用下反复折叠并形成混沌吸引子。指数越大,说明混沌特性越明显,混沌程度越高。 具体 Lyapunov 指数相关的知识在以后的章节有具体介绍。

1.4 本文内容介绍
本文的题目是不光滑混沌系统的 Lyapunov 指数计算。本文对于 Lyapunov 指数的计 算方法有了非常详细的介绍和分析。与 Lyapunov 指数计算相关的各种知识都有研究, 例如:混沌理论的各方面知识,重构相空间的方法等。下面对每章内容进行概括: 第一章是绪论。绪论对于混沌进行介绍。对于混沌的定义,混沌的发展史,混沌的 特征,以及混沌的判别方法都具体加以说明。这些也是研究 Lyapunov 指数必需掌握的 知识。接着简单说说 Lyapunov 指数的一些定义和特性,因为在后面章节有具体介绍, 所以在此不再赘述。下面又是对本文内容的简单介绍。 第二章是重构相空间。相空间重构在从时间序列计算 Lyapunov 指数起着很关键作 用。 本章对于重构相空间的理论知识, 求嵌入维数 m 的伪邻近点法、 饱和关联维数法等, 求延迟时间 τ 的自相关方法,互信息量法等,以及同时求两参数的 C-C 法都详细的研究 和分析。 第三章是 Lyapunov 指数相关的定义,发展史,和具体的计算方法,例如:定义法, -9-

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第一章 绪论

P-范数,Wolf 方法等等,其中对 Wolf 方法进行了详细说明。 第四章是对于本文中涉及到的编程和绘图方法进行介绍。 第五章是几个不光滑混沌系统的 Lyapunov 指数计算实例, 其中包括著名的 Chua 电 路和振动系统。通过实例深入研究 Lyapunov 指数与混沌系统的关系。 第六章是对于本课题的总结和展望。

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第二章 相空间重构及其参数选择

第二章 相空间重构及其参数选择
2.1 概述
如果想从时间序列求 Lyapunov 指数,那么重构相空间就非常重要。重构相空间有 两个重要的参数 m 和 τ(m 是嵌入维数,τ 是延迟时间)的求取就非常的关键,这两个 参数直接影响着 Lyapunov 指数的计算结果。 鉴于重构相空间的重要性,特写此章来具体学习和研究重构相空间。本章中对于相 空间重构理论做了具体,包括它的出现和理论思想。以及对于 m,τ 的求解方法都有比 较详细的讲解,例如:C-C 法。

2.2 相空间重构相关理论
2.2.1 相空间重构理论的概述
从上世纪 80 年代以来,相空间重构由 Packard[40]等人提出,因为 Takens 在拓扑学 方面工作的发展,所以他能以研究动力学机制和时间序列为背景,用数学为重构相空间 奠定了可靠的基础。它的基本思想是:系统中所有分量之间是彼此关联的,每个分量的 改变都是与其它分量关联的。 因此, 每个分量的发展过程中都含有与其关联分量的信息。 为了重构一个“等价”的状态空间,只需考虑一个分量,并将它在某些固定点的时间延 迟点上的测量作为新维处理,即延迟值被看成是新坐标。它们确定了某个多维状态空间 中的一点。重复这一过程并测量相对于不同时间的各延迟量,就可以产生出许多这样的 点。 再运用其它方法来检验这些点是否在一个混沌吸引子上。虽然这种表示方法在许多 方面是任意的,但业已证明,它可以将吸引子的许多性质保存下来。这对于那种甚至不 知应当去测量哪些变量而只知道一个数据序列,或者不能直接测量深层的自变量而仅仅 有表现于现象上的数据序列的研究人员来说,也有了可以研究系统的动力行为的可能。 那么在时间序列的分析中,决定序列的可观测因素很多,而且相互作用的动力学方 程往往是非线性的,甚至是混沌的。同时,因测量精度的实际限制、计算的复杂性,以 及可能存在的本质上的非确定性因素等多方面的困难,严重制约着人们对时间序列内在 机制的理解。对序列动力学因素的分析,目前广泛采用的是延迟坐标状态空间重构法。 一般来说,非线性系统的相空间可能维数很高,甚至无穷,但在大多数情况下维数并不 知道。在实际问题中,对于给定的时间序列 x1,x2,x3…,通常是将其扩展到三维或更 - 11 -

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第二章 相空间重构及其参数选择

高维的空间中去,以便把时间序列中的信息充分地揭示出来,这就是延迟坐标状态空间 重构法。

2.2.2 Taknes 定理
最初提出相空间重构的目的在于在高维相空间中恢复混沌吸引子。混沌吸引子作为 混沌系统的特征之一,体现着混沌系统的规律性,意味着混沌系统最终会落入某一特定 的轨迹之中,这种特定的轨道就是混沌吸引子。系统任一分量的演化是由与之相互作用 着的其他分量所决定的。因此,这些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程中。 这样,就可以从某一分量的一批时间序列数据中提取和恢复出系统原来的规律,这种规 律是高维空间下的一种轨迹。也就是说,有一个混沌系统产生的轨迹经过一定时期的变 化后,最终会做一种有规律的运动,产生一种规则的、有形的轨迹(混沌吸引子) ,这 种轨迹在经过类似拉伸和则跌后转化成与时间相关的序列时,却呈现出混沌的、复杂的 特征。由于混沌系统的策动因素是相互影响的,因而在时间上先后产生的数据点也是相 关的。Packard 等建议用原始系统的某变量的延迟坐标来重构相空间,Takens 证明了可 以找到一个合适的嵌入维,即如果延迟坐标的维数 m>=2d+1,d 是动力系统的维数,在 这个嵌入维空间里可以把有规律的轨迹(吸引子)恢复出来。亦即在重构的 Rm 空间中 的轨线上原动力系统保持微分同胚,从而为混沌时间序列的预测奠定了坚实的理论基 础。 定义 1:设 ( X , λ ), ( X 1 , λ1 ) 是两个度量空间,如果存在映射 ? : X → X 1 满足:(1) ? 满 射;(2) λ ( x , y ) = λ1 (? ( x ), ? ( y ))(? x , y ∈ N ) ,则称 ( N , ρ ), ( N1 , ρ1 ) 是等距同构的。 定义 2:如果 ( X 1 , λ1 ) 与另一度量空间 ( X 2 , λ2 ) 的子空间 ( X 0 , λ2 ) 是等距同构的,则称 ( X 1 , λ1 ) 可以嵌入 ( X 2 , λ2 ) 。 Takens 定理:M 是 d 维流行, ? : L → L , ? 是一个光滑的微分同胚, g : L → R ,g 有二阶连续导数, H (? , g ) : L → R 2 D +1 ,其中 H (? , g ) = ( g ( x), g (? ( x)), g (? 2 ( x)),..., g (? 2 D ( x))) , 则 φ (? , y ) 是 M 到 R 2 d +1 的一个嵌入。
Takens 的嵌入定理是在非常一般的情况下讨论的。定理中当 ? 是某些特定函数, M 是非紧流形时,定理同样成立。函数 g 实质上就是 D 维流形 L 中人们所能观测到的

信号。令 ? 为一特殊的形式——延迟函数,即 ? : x(t ) → x(t ? τ ) , x(t ) 表示 t 时刻 L 中的 状 态 , τ 表 示 延 迟 时 间 。 假 设 , 时 刻 t 中 能 观 测 到 的 某 信 号 记 为 g (t ) , 则 - 12 -

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g ( x(t )) = g (t ) , g (? ( x(t ))) = g ( x(t ? τ )) = g (t ? τ ),? , g (? 2 D ( x(t ))) = g (t ? 2 Dτ ) 。这样嵌入定

理中的 H (? , g ) 就成为 g (t ), g (t ? τ ),? , g (t ? 2 Dτ ) ,根据嵌入定理, H (? , g ) 是一个嵌入,即 L 与空间 g (t ), g (t ? τ ),? , g (t ? 2 Dτ ) 微分同胚, 这就从理论上证明了当嵌入维数大于原动力 学系统吸引子维数的 2 倍时,用某信号延迟时间坐标向量为基的相空间与原系统状态空 间等价。

2.3 重构相空间参数的求取
在相空间重构时,时间延迟 τ 和嵌入维数 m 的选取具有十分重要的意义,同时这种 选取也是很困难的。关于时间延迟 τ 和嵌入维数 m 的选取,现在主要有两种观点:一种 是认为两者是互不相关的,即 τ 和 m 求取是分别进行的。另一种是认为两者是相互关联 的,即一个算法就能求出 τ 和 m。

2.3.1 求取时间延迟 τ 的方法
对于无限长,没有噪声的时间序列,对延迟时间的选取没有限制,但大量的数值实 验表明相空间的特征量依赖于延迟时间的选择,通常其选取原则是使其在统计意义上为 独立的尽可能小的值。延迟时间的选择影响着重构相空间所包含的信息量,状态点的各 分量的差别是由延迟时间决定的。因此,延迟时间 τ 的选择既不宜太大也不宜太小,如 果延迟时间太小,通过重构的负荷系统相轨迹由于相关性较强而在相空间主方向压缩, 相邻延迟坐标元素之间差别太小,重构相空间的相点所包含的原吸引子的信息偏小,如 果延迟时间太大,系统中某一时刻的状态与其后的状态在因果关系上变得不相关,相邻 延迟坐标元素之间的信息将丢失,信号轨迹也可能出现折叠现象。因此,相空间的延迟 时间的选择成了重构相空间的关键因素之一,选择合适的延迟时间还可降低嵌入维数。 目前,在实际操作中最佳延迟时间的选取方法主要有以下几种:
1、互信息(mutualinformation)法[41]; 2、其它信息论的方法,如冗余度(redundancy)法、信息熵等方法; 3、自相关法和复自相关法[41]; 4、预报效果法; 5、真实矢量场法; 6、波动积(wavering product)法; 7、填充因子(fill factor)法; 8、累积局部变形(integral local deformation)法;

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9、简单轨道扩张(simple spreading of trajectories)法; 10、奇异值分数(SVF)法和 Jacobi 矩阵行列式法。

2.3.2 求取嵌入维数 m 的方法
根据嵌入定理,对于无噪声、无限长的数据序列,只要取嵌入维数 m 为大于关联维 数的最小整数即可。 但对长度有限且具有噪声的数据序列, 嵌入维数 m 要比关联维数大 得多。如果嵌入维数选得太小,则吸引子可能折叠以致在某些地方自相交,从而使在相 交区域的一个小邻域内可能会包含来自吸引子不同部分的点。如果嵌入维数选得太大, 理论上是可行的,但在实际应用中,随着嵌入维数的增加会大大增加吸引子的几何不变 量(如关联维数、Lyapunov 指数等)的计算工作量,且噪声和舍入误差的影响也会大大增 加。因此,嵌入维数的确定原则是能够充分描述由时间序列给出的原系统动力学行为的 最小嵌入维数。 在实际操作时,求取最佳嵌入维数的方法主要有以下几种: 1.、关联指数饱和法(G-P); 2、奇异值分解(SVD); 3、伪最邻近点(false nearest neighbors); 4、改进的伪最邻近点法; 5、预测效果法; 6、映象距离(distances between images)法; 7、真实矢量场(true vector fields)法。 在以上方法中方法 1 为最常用的 G-P 法, 但存在着序列性质鉴别和样本量限制等问 题; 方法 2 较为经典, 但不适用于非线性系统; 而方法 3 在有噪声存在时效果受到限制; 方法 7 对样本量要求较高。

2.3.3 同时求取嵌入维数 m 和时间延迟 τ 的方法(C-C 法)
可以同时求取嵌入维数 m 和时间延迟 τ 的方法, C-C 方法是非常好的方法, 不仅计 算速度快,而且结果比较准确。 1986 年,Broomhead 和 King 在实际计算中首先提出了先选定 (m ? 1)τ 值在增加 m 的同时减小 τ 的值(保持 (m ? 1)τ 为常数) ,来选取最佳的 m 和 τ 值的方法。1996 年,D.
Kugiumtizs 提出时间延迟 τ d 的选取不应该独立于嵌入维数 m,而应该依赖于延迟时间窗

口 τ w = (m ? 1)τ ,并且根据实验得到 τ w ≥ τ p ,这里 τ p 是平均轨道周期,可通过时间序列 - 14 -

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的波动估计出来。1999 年,H. S. Kim,R. Eykholt 和 J. D. Salas 提出 C-C 方法[42],该方 法应用关联积分能够同时估计出 τ d 和 τ w 。时间延迟 τ d 确保 xi 各成分相互依赖,但不依 赖于 m;而时间窗口 τ w 依赖于 m,且 τ 随 m 而变化。 τ w 是数据依赖的最大时间,而自 相关函数和互信息方法仅仅是第一次局部最大时间,因此自相关函数和互信息方法不能 估计 τ w 。评价重构吸引子的质量是其几何上的重复性和不相关性。 τ w 相比 τ d 而言,理 应是一种估计维数的更好的量。 下面介绍 C-C 方法,为使用方便,规定:

τ s 值时间序列的采样间隔, τ d = tτ s 指时间序列的延迟, τ w = (m ? 1)τ d 指延迟时间窗
口,τ p 是平均轨道周期 (τ w ≥ τ p ) ,τ (τ = t ) 为时间延迟,m 是嵌入维数,N 是数据组的长 度, M = N ? (m ? 1)τ , X i (i = 1, 2,? , M ) 是重构相空间中的向量

X i = ( xi , xi +τ ,? , xi + ( m ?1)τ ), X i + ∈ R m
则嵌入时间序列的关联积分定义为以下函数
C (m, N , r , t ) = 2 ∑ θ (r ? dij ), r > 0 M ( M ? 1) 1≤i ≤ j ≤ M

(2.1)

(2.2)

其中 ?0,x < 0 d ij = X i ? X j , θ ( x) = ? ?1,x ≥ 0 关联维可以定义为
D(m, t ) = lim

(2.3)

log C (m, r , t ) r →∞ log r

(2.4)

其中
C (m, r , t ) = lim C (m, N , r , t )
N →∞

(2.5)

但由于时间序列的长度 N 有限和半径 r 不可能无限小, 通常用一个线性区域的斜率 来近似代替这个关联维,即
D(m, t ) = log C (m, N , r , t ) log r (2.6)

对于时间序列 {xi }, i = 1, 2,? , N ,将其分成 t 个不相交的时间序列,如 t=1 时为单个 时间序列本身,而 t=2 是为 {x1 , x3 ,? , xN ?1} 及 {x2 , x4 ,? , xN } ,长度为 然数 t 有: - 15 N 。对于一般的自 2

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{x1 , xt +1 , x2t +1 ,?} {x2 , xt + 2 , x2t + 2 ,?}

??

(2.7)

{xt , x2 t , x3t ,?}

N = tl , l =

N 是长度。对于一般的时间序列,将其分成 t 个不相交的子序列,然后定义每 t

个子序列的 S (m, N , r , t ) 为
S (m, N , r , t ) = 1 t ? N N ? ∑ ?Cs (m, t , r, t ) ? Csm (1, t , r , t ) ? t s =1 ? ? (2.8)

令N →∞有
S ( m, r , t ) =

1 t ∑ ?Cs (m, r , t ) ? Csm (1, r , t ) ? , (m = 2,3,?) ? t s =1 ?

(2.9)

如果时间序列是独立同分布的,那么对固定的 m,t,当 N → ∞ 时,对于所有的 r, 均有 S (m, r , t ) 恒等于零。但实际序列是有限的,并且序列元素间可能相关,实际得到的
S (m, r , t ) 一般不等于零。这样,局部最大时间间隔可以取 S (m, r , t ) 的零点或对所有的半

径 r 相互差别最小的时间点,因为这暗含着这些点几乎是均匀分布的。选择对应值最大 和最小两个半径 r,定义差量为
?S (m, t ) = max{S (m, rj , t )} ? min{S (m, rj , t )}

(2.10)

式 2.10 度量了关于半径 r 的最大偏差。所以,局部最大时间 t 应该是 S (m, r , t ) 的零点和
?S (m, t ) 的最小值。但是, S (m, r , t ) 的零点对所有 m, r 应几乎相等; ?S (m, t ) 的最小值对

所有 m 应几乎相等。时间延迟 τ d 对应着这些局部最大时间 t 中的第一个。 可应用 BDS 统计得到 N 和 m, r 的恰当估计。Brock etal 所做的关于几种重要渐近分 布的数学统计结果表明:当 2 ≤ m ≤ 5,

σ
2

≤ r ≤ 2σ , N ≥ 500 ,渐近分布可以通过有限序列

很好的近似,并且 S (m, N , r ,1) 能代表序列的相关性。这里的 σ 指时间序列的均方差或标 一般如果仅仅判别序列是否为混沌时间序列, N=500, 取 准差, 并且当 m=2 时效果最好, 甚至 100 就够了;但在重构时间序列是一般去 N=3000 为比较好,因为用 S (m, N , r ,1) 研 究时间序列的非线性独立性,增大 N 是没有必要的。 据上面的统计结论,取 m = 2,3, 4,5, ri =
iσ , i = 1, 2,3, 4 。计算 2

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第二章 相空间重构及其参数选择

S (t ) =

1 5 4 ∑∑ S (m, rj , t ) 16 m = 2 j =1
1 5 ∑ ?S (m, t ) 4 m=2

(2.11)

? S (t ) =

(2.12) (2.13)

Scor (t ) = ? S (t ) + S (t )

在式子(2.11),(2.12)和(2.13)中,寻找 S (t ) 的第一个零点,或 ? S (t ) 的第一个极小值去发 现时间序列独立的第一个局部最大值。时间延迟 τ d = tτ s 对应着第一个局部最大时间 t。 同时,寻找 Scor (t ) 的最大值去发现时间序列独立的第一个整体最大值时间窗口 τ ω = tτ s 。 实际应用中,一般按如下步骤进行:
(1) 计算给定时间序列的标准差 σ ,选取 N=3000。 (2) 编程在计算机上计算下列三个量

S (t ) =

1 5 4 ∑∑ S (m, rj , t ) 16 m = 2 j =1
1 5 ∑ ?S (m, t ) 4 m= 2

(2.14)

? S (t ) =

(2.15) (2.16)

Scor (t ) = ? S (t ) + S (t )

其中时间变量 t 取小于等于 200 的自然数,而 S (m, rj , t ), ?S (m, t ) 分别如下
S (m, rj , t ) = 1 t ∑ ?Cs (m, rj , t ) ? Csm (1, rj , t ) ? , (m = 2, 3, 4,5) ? t s =1 ? (2.17) (2.18)

?S (m, t ) = max{S (m, rj , t )} ? min{S (m, rj , t )} (3) 依据上述计算结果画图 (a) ?S (m, t ) → t (0 ≤ t ≤ 200) , ? S (t ) 的第一个极小值 t,对应延迟 τ d = tτ s 。 (b) ? S (t ) → t (0 ≤ t ≤ 200) , ? S (t ) 的第一个极小值 t 对应延迟 τ d = tτ s 。 S (t ) → t (0 ≤ t ≤ 200) , S (t ) 的第一个零点 t 对应时间延迟 τ d = tτ s 。 (c) Scor (t ) → t (0 ≤ t ≤ 200) ,最小值 t 对应时间窗口 τ w = tτ s 。
v. s .
v.s. v. s . v. s .

C-C 方法的特点是: 1、容易操作;2、计算量小;3、对小数据组可靠;4、效果和互信息方法一致;5、

。 具有较强的抗燥声能力(30%以下) - 17 -

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第二章 相空间重构及其参数选择

尽管 C-C 方法是利用统计结果得到的,没有理论基础,但它仍在实际计算中工作得 很好,表现出它独特的优点。 本文在第四章和第五章上有实例及进行了验证, 证明 C-C 法是非常有效的计算重构 相空间的参数的方法。其实,现在在时间序列重构相空间的方法中,C-C 方法也是越来 越被很多人的所接受和采用。

2.4 本章小结
本章首先概述了相空间重构理论和 Takens 定理,知道了相空间重构的由来和理论 知识,对于分析相空间重构起到了很大帮助。接着对重构相空间所需的两个重要的参数 嵌入维数 m,延迟时间 τ 进行了大概介绍,不过着重研究和深入学习了本文所用的 C-C 法, 这种既可以求嵌入维数 m 和延迟时间 τ 的方法越来越的被广大研究人员所接受和青 睐。C-C 法也是在后文中计算重构相空间的参数的所选方法。

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第三章 Lyapunov 指数

第三章 Lyapunov 指数
混沌运动对初始状态的敏感依赖性使相邻轨道(或相邻点)随着时间演化(或多次迭 代)必然要相互分离。然而应如何定量地表示或标志这种轨道(或迭代过程中的定点)的稳 定与否呢?这就是要计算 Lyapunov 指数的目的。 Lyapunov 指数是衡量系统动力学特性的一个重要指标, 它表示了系统在相空间中相 邻轨道间收敛或发散的平均指数率。 因此, Lyapunov 指数在混沌系统研究中具有重要意 义:在 λ > 0 方向,相空间运行轨迹迅速分离发散,长时间动态行为对初始条件敏感, 运动处于混沌状态; λ = 0 对应于稳定边界,表示沿着轨迹低于指数速度的运动,相当 于没有混沌;在 λ < 0 方向,相空间的轨迹是收缩的,运动稳定,且对初始条件不敏感, 相当于没有混沌。 因此,即使 Lyapunov 指数的大小不知道,Lyapunov 指数的符号类型也能提供动力 学系统的定性情况。实际判断系统是否存在动力学混沌,可以从其最大 Lyapunov 指数 是否大于零非常直观的判断出来:一个正的 Lyapunov 指数,意味着在系统相空间中, 无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而呈指数率的增加以达到 无法预测,这就是混沌现象。 本章将重点研究 Lyapunov 指数的定义,性质。以及最大 Lyapunov 指数的计算方法 ——Wolf 方法。

3.1 Lyapunov 指数的定义
首先讨论一维离散映射[43]: xn +1 = F ( xn )
(3.1)

式(3.1)可以有由图 3.1 表示出它的迭代过程。由图 3.1 可知,在每次迭代过程中,初始 两点是相互分离还是靠拢由下式决定:
dF > 1 ,映射使两点分开 dx dF < 1 ,映射使两点靠拢 dx

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第三章 Lyapunov 指数

?F2

?F1

?x1

?x2

x

图 3.1 一维离散映射 xn +1 = F ( xn ) 的迭代过程

但是在不断的迭代过程中,PI 之值要不断变化。为了表示从整体看两相邻初始状态 分离的情况,必须对时间(或迭代次数)取平均。为此,设平均每次迭代所引起的指数分 离中的指数为 λ ,则
ε eλ
x0

x0 + ε

一次迭代

F ( x0 )

F ( x0 + ε )

εe
二次迭代



F 2 ( x0 )

F 2 ( x0 + ε )

ε e nλ
n次迭代
F n ( x0 )

F n ( x0 + ε )

这表示原来相距为一小量 ε 的两点经过 n 次迭代后相距变为

ε e nλ ( x ) = F n ( x0 + ε ) ? F n ( x0 )
0

(3.2)

实际上,式(3.2)取极限后便与初始点 x0 无关,于是得到

λ = lim ∑ ln
n →∞ i =0

n

dF dx

(3.3)
x = xi

λ 称为 Lyapunov 指数(Lyapunov exponent),它表示大量次数迭代中,平均每次迭代所引
起的指数分离中的指数。 由式(3.3)可知,当 λ < 0 时.相邻点终归要靠拢合并成一点,这对应于定点或周期 - 20 -

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第三章 Lyapunov 指数

运动;反之。当 λ > 0 时,相邻点要分开(蝴蝶效应),这对应于混沌运动。 在 n 维相空间中,相邻两点间距离(位移) δ x = ε 是 n 维矢量。随着时间演化,各方 向伸长或压缩不一样。试想在 t=0 时以 x0 为中心,以小量 ε (0) 为半径作一个 n 维球面。 经时刻 t 后,此球面将演化为 n 维椭球面,如图 3.1 所示。此椭球第 i 个坐标轴方向的 半长轴为 δ xi = ε i (t ) 。因此这时系统应有 n 个 Lyapunov 指数,其第 i 个 Lyapunov 指数应 为:

λi = lim lim

1 ε i (t ) ln t →∞ ε (0) → 0 t ε (0)

(3.4)

为分析问题方便,通常将此 n 个 Lyapunov 指数按下述方式排序: λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ ? ≥ λn

ε (0)

ε (0)

ε1

ε3

ε2
图 3.2 三维球面随时间的演化

3.2 关于 Lyapunov 指数的性质
下面,来分析关于微分动力系统的 Lyapunov 指数的一些性质和论断。当相空间是 一维(单变量)时,吸引子只可能是稳定定点(不动点),其周围的点都要趋于此定点,此 时必有 λ < 0 。反之,如果不存在定点或定点不稳定,即不存在吸引子,则 λ > 0 。由此 可见,单变量自治系统不可能有振荡解。 对于二维情形,吸引子或者是稳定定点或者是极限环。对于稳定定点,任意方向的

δ xi 都要收缩, 故这时两个 Lyapunov 指数都是负的:λ1 < 0 ,λ2 < 0 。 至于极限环, δ xi 取
沿环线的法线方向, 它一定要收缩, 故此法线方向的 Lyapunov 指数总是小于零; 当取 δ xi 沿环的切线方向时,可以想象,它既不会增大也不会缩小,因此沿切线方向应有 λ = 0 。 事实上,哈肯(H. Haken)证明所有不终止于定点而又有界的轨道(或吸引子)都至少有 - 21 -

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第三章 Lyapunov 指数

一个 Lyapunov 指数等于零,它表示沿轨线的切线方向既无扩张又无收缩的趋势。所以 二维极限环的 Lyapunov 指数是 (λ1 , λ2 ) = (0, ?) 。 对于三维情形(n=3),有: ( λ1, λ2, λ3 ) = ( -, -, - ) :稳定不动点; ( λ1, λ2, λ3 ) = ( 0, -, - ) :极限环; ( λ1, λ2, λ3 ) = ( 0, 0, - ) :二维环面; ( λ1, λ2, λ3 ) = ( +, +, 0 ) :不稳极限环; ( λ1, λ2, λ3 ) = ( +, 0, 0 ) :不稳二维环面; ( λ1, λ2, λ3 ) = ( +, 0, - ) :奇怪吸引子。 因此可以看出,Lyapunov 指数的确可以表征系统运动特性:所有 Lyapunov 指数取 值的集合(Lyapunov 指数谱)决定系统在相空间轨线(吸引子)的性质;沿某一方向 Lyapunov 指数 λi 取值的正负和大小表示长时间系统在相空间中相邻轨线沿该方向平均 发散( λi > 0 )或收敛( λi < 0 )的快慢程度; 最大 Lyapunov 指数 λi 决定相邻轨线是( λi ≤ 0 时) 否( λi ≥ 0 时)能靠拢形成稳定轨道或稳定定点;最小 Lyapunov 指数 λn 则表示相空间中所 有轨线能( λn < 0 时)否( λn > 0 时)收缩形成稳定吸引子。 也可以按下面的方式理解 λi 的意义:如图 3.2 所示,相空间中的一个半径为 ε 的超 球体随着时间的演化要交成超椭球体。各 λi 分别决定超椭球体的各半长轴的大小。故 λ1 决定椭球体在 t 时刻后最大半长轴的长度 (ε eλ1t ) ; λ1 + λ2 )则决定最大和第二大两长轴所 ( 构成的椭圆的面积 πε 2 e( λ1 + λ2 )t 。以此类推,前面 k 个长轴所构成的超椭球的体积由

λ1 + λ2 + ? + λk 决定。而 ∑ λi 则决定整个 n 维超球体的体积收缩的快慢。由此可见,对
i =1

n

于任何一个感兴趣的稳定系统,都应有:

∑ λ ?= 0,对于保守系统
i =1 i

n

?< 0,对所有耗散系统 ?

因为耗散系统总是要收缩到一个平庸的或奇怪的吸引子上,而保守系统的相体积则是不 变的。 由 λi 的意义可以看出: (1) 任何吸引子,不论其奇怪与否,至少有一个 Lyapunov 指数小于零,否则轨线就 不可能收缩为吸引子; - 22 -

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第三章 Lyapunov 指数

(2) 稳定定态和周期运动(以及准周期运动)不可能有正的 Lyapunov 指数。稳定定态 的 λi 都是负的;周期运动的 λ1 = 0 ,其余 λi 也都是负的; (3) 混沌运动至少有一个正的 Lyapunov 指数。反之,如果计算得知系统至少有一个 正的 Lyapunov 指数。 ,则可肯定系统作混沌运动。 现在可以用最大李雅普诺夫指数的取值定量描述混沌现象了, 就是用最大 Lyapunov 指数 λ1 的正负来区别,而正的 λ1 的大小则可看作是混沌强弱程度的定量标志。

3.3 计算 Lyapunov 指数的方法
随着混沌系统的发展,计算 Lyapunov 指数的方法是越来越多,例如 Wolf 法,P 范 数法,Jacobian 方法,小数据量方法等。根据对几种方法的学习和研究,选择了 Wolf 方法来计算 Lyapunov 指数。 从单变量的时间序列提取 Lyapunov 指数的方法仍然是基于时间序列的重构相空间。 Wolf 等人(1985 年)提出直接基于相轨线、相平面、相体积等演化来估计 Lyapunov 指 数[44]。这类方法统称为 Wolf 方法,它在混沌的研究和基于 Lyapunov 指数的混沌时间序 列预测中[45]应用十分广泛。 设混沌时间序列 x1,x2,…,xk,…,嵌入维数 m,时间延迟 τ,则重构相空间 Y (ti ) = ( x(ti ), x(ti + τ ),? , x(ti + (m ? 1)τ )) i = 1, 2,? , N 取初始点 Y(t0), 设其与最近邻点 Y0(t0)的距离为 L0 追踪这两点的时间演化, 直到 t1 时刻, 其间距超过某规定值 ε>0, L0′ = Y (t1 ) ? Y0 (t1 ) > ε ,保留 Y(t1),并在 Y(t1)邻近另找一个点 Y1(t1),使得 L1 = Y (t1 ) ? Y1 (t1 ) < ε ,并且与之夹角尽可能的小,继续上述过程,直至 Y (t ) 到达时间序列的终点 N,这时追踪演化过程总的迭代次数为 M,则最大 Lyapunov 指数 为

λ=

1 tM ? tOi

∑ ln L
i =0

M

Li′
i

(3.5)

如果要计算次大的 Lyapunov 指数,则要追踪一个点以及邻近两个点构成的三角形, 若这个三角形变得太偏斜或其面积变得太大,重新取一个两边与原三角形两条边夹角最 小的三角形,继续追踪,直到终点,则次大的 Lyapunov 指数为

λ1 + λ2 =

1 tM ? tOi

∑ ln A
i =0

M

Ai′
i

(3.6)

其中 Ai 为三角形的面积,据此可以得到 λ2,同理可求得 λ3,λ4 等。 - 23 -

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第三章 Lyapunov 指数

L′(t1 )

L′(t3 ) L′(t2 )

θ1
L(t0 )
t0 t1

L(t1 )

L(t2 )
t2

θ2

t3

图 3.3 计算最大 Lyapunov 指数演化示意图
M ′(t2 )

M ′(t1 )

M ′(t3 )

t3

M (t1 )
M (t0 ) t0
t1

M (t2 )
t2

图 3.4 二维 Lyapunov 指数计算演化示意图 原则上一直可以求到最后 λn,但由于实际资料的长度 N 有限制及噪声的影响,只能较为 可靠地估计最大 Lyapunov 指数,方法的示意图如图 3.3 和图 3.4。

3.4 本章小结
本章对 Lyapunov 指数进行了详细介绍,其中包括它的定义、性质和方法。其中对 本文能用到的 Wolf 方法进行了详细的介绍和学习。完全了解了 Wolf 方法,对下章中所 所以的编程有很大的帮助。

- 24 -

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第四章 具体算法及实现

第四章 具体算法及实现
本章对计算 Lyapunov 指数的具体步骤和算法,做了详细说明,尤其是如何用程序 编写出每步算法。以及求解微分方程等。而且本文给出了经典混沌系统——Lorenz 模型 系统,对程序的可行性作出判断。

4.1 微分方程求解
由于本文所计算的不光滑系统的微分方程都是用龙格库塔方法计算,所以只对该算 法进行了一些研究和介绍。对于其他不同的方法不作介绍和赘述。 本文所研究的 Chua 电路和振动系统均是微分方程组,所以求其数值解最常用的方 法是使用 ode45()函数。ode45()函数是四阶五级 Runge-Kutta-Felherg 算法的实现,此算 法采用的变步长来计算的,这样计算出的结果不仅仅精度高而且还是非常快速的。 在 MATLAB 中,该函数的调用格式是: [t,x]=ode(Fun,[t0,tf],x0) [t,x]=ode(Fun,[t0,tf],x0,options) [t,x]=ode(Fun,[t0,tf],x0,ooptions,p1,p2,……) 直接求解 带有控制选项 带有附加参数

其中,Fun 是微分方程的程序名,[t0,tf]为求解的区间,如果仅仅给出 tf 表示 t0,终止时 刻为 tf 的问题求解。其中对于 Fun 的编程由于比较简单不做说明。 如果所求方程是由一个或多个高阶常微分方程给出,要求得该方程的数值解,那么 就需先将该方程变换成一节常微分方程组,然后再进行计算。 如:一个高阶常微分方程的一般形式为
? y ( n ) = f (t , y, y,? , y ( n ?1) )

(4.1)

? 其中输出变量 y (t ) 的各阶导数初始值为 y (0), y (0),? , y ( n ?1) (0) ,则可以选择一组状态变量
? 来进行替换 x1 = y, x2 = y,? , xn = y ( n ?1) ,于是原方程就变换为:

? x1 = x2 ? ? ? x2 = x3 ? ? ? ? ? xn = f (t , x1 , x2 ,? , xn ) ?

(4.2)

? 上式的初值为 x1 (0) = y (0) , x2 (0) = y (0) ,…, xn (0) = y ( n ?1) (0) 。于是,变换后就是比较

简单的求解一阶微分方程问题了。 - 25 -

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第四章 具体算法及实现

混沌中的经典——Lorenz 模型的状态方程是:

? ? x1 (t ) = ? β x1 (t ) + x2 (t ) x3 (t ) ? ? ? x2 (t ) = ? ρ x2 (t ) + ρ x3 (t ) ? x (t ) = ? x (t ) x (t ) + σ x (t ) ? x (t ) ? ?3 1 2 2 3

(4.3)

其中, β =8/3, σ =28。若令其初值为 x1 (0) = x2 (0) = 0 , x3 (0) = ε ,而 ε 可以识别的小常 数。这样各个参数都知道的情况下可以使用 Matlab 程序来描述这个方程。编程如下: function xdot=lorenzeq(t,x) xdot=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3); -10*x(2)+10*x(3); -x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)]; 在 MatlAB 中的命令窗口键入 [t,x]=ode45(’lorenzeq’,[0,100],[0,0,1e-10]); plot(t,x),figure; plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)); axis([10 45 -20 20 -25 25]); 经过大约 1 分钟的计算,图像显示出来。工作空间中也产生了相应的序列。结果如 下图:

图 4.1 Lorenz 系统时域图

图 4.2 Lorenz 相图

从图中就可以看出 X 的三列数据没有规律性, 而且从混沌相图就非常明显看出系统 是混沌的,为了进一步确定是 Lorenz 系统在此参数和初值下是混沌的,还要在下面进 行 Lyapunov 指数。

4.2 C-C 算法的具体实现
从前文得到 C-C 算法是同时计算延迟时间和嵌入维数的有效方法。 那么在具体实现 时,每一步是如何编写程序的,下面对 C-C 法进行拆分,然后分成几部分编程。 - 26 -

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第四章 具体算法及实现

C-C主程序

Heaviside.m

Reconstitution.m

Disjoint.m

Guanlianjifen.m

图 4.3 C-C 法程序框图

4.2.1 子程序设计:
C-C 算法中要用到四个子函数: (1) Heaviside.m:用来求解 Heaviside 函数的值; (2) Reconstitution.m:用来进行相空间重构; (3) Disjoint.m:用来将时间序列分拆为 t 个不相关的时间序列; (4) Guanlianjifen.m:用来计算时间序列的关联积分。 程序说明: 1、Heaviside.m:

θ ( x) = ?

?0, x < 0 ?1, x ≥ 0

(4.4)

输入 r 和 d 值的,根据公式求得 heaviside 函数的值 sita 并输出。 function sita=heaviside(r,d) %这个程序是用来计算Heaviside函数的值 %sita: Heaviside函数的值 %r: Heaviside函数的半径,范围是sigma/2<r<2sigma %d:两点之间的距离 if (r-d)<0 sita=0; else sita=1; end 2、Reconstitution.m:根据给定的时间延迟 τ 和嵌入维数 m 重构 m 维的相空间 Y (t i ) = [ x(t i ), x(t i + τ ), x(t i + 2τ ), ? x(t i + (m ? 1)τ )], i = 1,2, ? , M M = N ? (m ? 1)τ 程序输出一个 m × M 的矩阵; function X=reconstitution(data,N,m,t) - 27 -

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第四章 具体算法及实现

%该函数用来重构相空间 % data为输入时间序列 % N为时间序列长度 % m为嵌入空间维数 % t为时间延迟 % X为输出,是m*n维矩阵 M=N-(m-1)*t;%相空间中点的个数 for j=1:M for i=1:m X(i,j)=data((i-1)*t+j); end end 3、disjoint.m:将时间序列分成 t 个不相交的时间序列,长度 l = N / t
{x1 , xt +1 , x2t +1 ,?} {x2 , xt + 2 , x2t + 2 ,?}

%相空间重构

???
{xt , x2t , x3t ,?}

程序输出为一个 t × l 的矩阵
function data_d=disjoint(data,N,t) %这个程序是用来将时间序列分解成不相关的时间序列 %data:输入时间序列 %N:时间序列的长度 %t:延迟时间 %data_d:返回的不相关时间序列 for i=1:t for j=1:(N/t) data_d(i,j)=data(i+(j-1)*t); end end 4、Guanlianjifen.m:

关联积分定义为: C (m, N , r , t ) =

2 ∑θ (r ? d ij ), r > 0 M ( M ? 1) 1≤i≤ j ≤ M

(4.5)

- 28 -

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第四章 具体算法及实现

其中: d ij = X i ? X j

θ ( x) = ?
程序流程:

?0, x < 0 ?1, x ≥ 0

(4.6)

(1) 输入数据 X:X 为根据给定的时间延迟 t 和嵌入维数 m 进行相空间重构后得到的
m × M 的矩阵;

(2) 对相空间中所有点求距离,并保存在数组 d(i,j)中; (3) 调用 Heaviside 函数计算所有的 Heaviside 函数值并求和得到 H_sum (4) 计算出关联积分的值,并输出 Jifen_out。 function Jifen_out=guanlianjifen(X,M,r) %这个程序是用来计算关联积分 %Jifen_out:关联积分的值 %X:重构的相空间,M是一个m*M矩阵 %m:嵌入维数 %M:M是在m维空间中嵌入点的个数 %r:Heaviside函数的半径,范围sigma/2<r<2sigma %H_sum:计算所有Heaviside返回值的和 H_sum=0; for i=1:M % fprintf('%d/%d\n',i,M); for j=i+1:M d=norm((X(:,i)-X(:,j)),inf);%计算两向量之间距离的范数 sita=heaviside(r,d);%计算heaviside函数的值 H_sum=H_sum+sita;%对sita求和 end end Jifen_out=2*H_sum/(M*(M-1));%关联积分的值

4.2.2 主程序设计
C-C 中的主程序程序步骤: (1) 读入数据; - 29 -

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第四章 具体算法及实现

(2) 计算时间序列的标准差; (3) 让 r 从 sigma/2 到 2sigma 变化,m 从 2 到 5 变化,t 从 1 到 200 变化; (4) 调用 disjoint 函数将时间序列分拆成 t 个不相交的子列,并调用 guanlianjifen 函数计 算 C(1,N,r,t); (5) 调用 reconstitution 函数对子列进行相空间重构,并调用 guanlianjifen 函数计算 C(m,N,r,t); (6) 计算 C(m,N,r,t)- C(1,N,r,t)m,并对 t 求和得到 s_t3; (7) 根据公式 S (m, r j , t ) =
s_t1; (8) 将 s_t1 赋给 s_t0(m),并对 m 求和,得到 s_t; (9) 根据公式 S (t ) = 1 t ∑ [Cs (m, rj , t ) ? Cxm (1, rj , t )] 计算得到 s_t2(j),并对 r j 求和得到 t s=1

1 5 4 ∑∑ S (m, r j , t ) 求得 s(t); 16 m= 2 j =1

(10) 同 时 利 用 已 求 出 的 s(t) , 根 据 公 式 ?S (m, t ) = max{S (m, r j , t )} ? min{S (m, r j , t )} 和

S cor (t ) = ? S (t ) + S (t ) 分别求出相应的 delt_s(t)和 s_cor(t);
(11) 根据求得的结果作图。

作图的程序为:
figure; subplot(311); plot(1:maxLags,S_mean);grid;title('S mean'); subplot(312); plot(1:maxLags,delta_S_mean);grid;title('delta S mean'); subplot(313); plot(1:maxLags,S_cor);grid;title('S cor');

下面对 Lorenz 模型系统进行重构相空间,运行 C-C 主程序,做出图 4.4。根据 C-C 法的判别方法:有图知道 S mean 图中,第一次到达零点是在 t=167 时,因为 τ s 在本文 中取 1, 所以可知 τ =167, S cor 图知道第一次到达最小值时 t=166, 而 所以知道 τ ω =167。 因为 τ w = (m ? 1)τ ,所以可以计算出 m=2。

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第四章 具体算法及实现

图 4.4 C-C 法结果图

4.3 Wolf 算法的具体实现
Wolf 方法提取 Lyapunov 指数: (1) 应用时间序列选取时间延迟 τ ,根据观测数据样本总数 N,构造 m 维相空间的 新序列,相点数为 M: M = N ? (m ? 1)τ ;
(2) 以初始相点 X 0 为基点,在点集 { X i } 的其余相点中选取与 X 0 最近的点 X j 为端

点,构成初始向量, X 0与X j 间欧氏距离可记为 L(t0 ) ;
(3) 取时间步长为 k,t1 = t0 + k ,初始向量沿轨线向前演化得到一新向量,其相应基

点 与 端 点 间 欧 氏 距 离 可 记 为 L(t1 ) ; 在 相 应 时 间 段 内 系 统 线 度 指 数 增 长 率 记 为

λ1 = log 2

1 k

L(t1 ) ; L(t0 )

(4) 如此继续直至所有相点, 然后取各指数增长率的平均值为最大 Lyapunov 指数估
计: LE1 (m) =

1 M

∑ k log
i =1

M

1

2

L(ti ) ; L(ti ?1 )

(5) 依次增加嵌入维数 m,重复(2)、(3)、(4)过程直至 Lyapunov 指数估计值随 m 变
化而变得较为平稳为止,此时得到的计算结果即为所求最大 Lyapunov 指数值。 由于前面已经算出 m=2, τ =167。根据时域图可以知道周期 P=10(因为 P 对于

Lyapunov 指数的计算结果影响不大,加之现在没有有效的计算 P 的方法,所以 P 看图

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第四章 具体算法及实现

得约等于 10) 。有了以上的参数,就可以计算 Lyapunov 指数了。先调用前面解方程计算 出来的 X。然后运行 Lyapunov 指数程序。 在 Matlab 命令窗口中键入: clear all;%%清楚可能原来计算留下的数据 Load X;%%X 为解微分方程得到的时间序列 LE_max=lyapunov_wolf(X(:,1),5601,2,167,10);调用 Wolf 程序计算 Lyapunov 指数 经过大约半个小时,最后得到 LE_max=0.1529。因为最大 Lyapunov 指数是正数, 所以证明所选的 Lorenz 模型系统为混沌系统。

4.4 本章小结
因为在第二章和第三章中, 本文对所用的 C-C 法和 Wolf 法进行了定义和特性分析。 C-C 法程序, 所以本章着重地对它们进行了编程和调试。 程序包括解微分方程的子程序, 以及计算 Lyapunov 指数的 Wlof 方法。并且对 Lorenz 模型进行了混沌特性分析,最终 无论是混沌吸引子的图,还是 Lyapunov 指数都证明了系统的混沌性。与前人算的结果 也大致上差不多。证明所编程序是可行的,可以对下面章节中的系统进行计算。

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第五章 不光滑系统的 Lyapunov 指数和分析

第五章不光滑系统的 Lyapunov 指数和分析
本文已经对混沌知识进行了学习,对重构相空间的相关知识进行了研究,并且对 C-C 算法和 Wolf 方法都进行了编程。因此已经能够在知道系统模型的方程情况下,对 系统进行 Lyapunov 指数的计算,从而得出该系统的混沌性。 经过长时间的调研,发现在不光滑系统中,Chua 电路和振动都是比较典型的不光 滑混沌系统。所以本章中计算了 Chua 电路和振动系统的 Lyapunov 指数。

5.1 Chua 电路及其 Lyapunov 指数计算
5.1.1 Chua 电路介绍
20 世纪 80 年代初,随着非线性动力学系统研究的蓬勃发展,电路的混沌现象越来 越被更多的学者关注,并设计了多种电路来模拟,而其中最为经典的就是 Chua 电路。 在非线性理论中,一个三维自治系统能够产生混沌至少有一个稳定的不动点和两个 不稳定的不动点,具体到电路而言,该电路必须满足三个条件: (1) 至少一个非线性元件; (2) 至少一个有源阻抗; (3) 至少三个储能元件。 而 Chua 电路是符合上述条件的最简单的电路,如图 5.1 所示。
产生振荡
R

移相

有源非线性负阻元件

L

C2

C1

Nr

图 5.1 Chua 电路原理图

Chua 是 1983 年 Leon. O. Chua 提出的并且通过数值计算证明可以产生混沌的第一个 物理系统,通过实际电子电路实验,也被观测到的混沌现象所确认。Chua 电路包括一 个线性电感 L、两个线性电容 Cl、C2、一个线性电阻 R 和一个负阻器件 Nr。Chua 电路 的动力学行为可以用一个三阶自治方程——方程组(5.1),来描述。 - 33 -

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第五章 不光滑系统的 Lyapunov 指数和分析

dVc1 Vc 2 ? Vc1 1 = ? f (Vc1 ) dt RC1 C1 dVc 2 Vc1 ? Vc 2 = +i dt RC2 di 1 = ? Vc 2 dt L 上面式子中 Vc1 ,Vc 2 ,i 分别为电容 C2,C2 两端的电压和流过电感 L 的电流, f (Vc1 ) 是描述负阻器件 Nr 的 i-Vc1 特性曲线函数。
Nr 一般被称作 Chua 二极管,是一个非线性元件,可以用运算放大器、二极管或三

(5.1)

极管束实现。 在实验中, 是采用两个运算放大器和 6 个电阻来实现的分段线性负阻电路。 如图 5.2 所示。
VDD 15V

R3 22k
8 3 1 2 4

R6 220 U1A
3 1 2 8

U2A

TL082CD R5 220 R4 2.2k

4

TL082CD

R2 22k R1 3.3k

VSS -15V

图 5.2 负阻电路图

该电路有两个相同的单元电路组成,当考虑其中一个,如 R1,R2,R3 和运算放大 器组成的单元电路时,由于受运算放大器饱和电压的限制,其特性曲线为三段折线,由 此可以计算其等效阻抗为: (1) 当运算放大器的输出 V0 未达到饱和时,有:
?VR V0 ? VR ? = R2 ? R1 ?V0 ? VR = ?iR R3 ?

消去 V0 得到 iR = ?

R2 R2 VR ,则其等效阻抗为: G1 = ? R1 ? R3 R1 ? R3

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第五章 不光滑系统的 Lyapunov 指数和分析

(2) 当 V0 输出达到饱和值 E 时, V0 为常值,此时 iR = 抗: G 2 =

1 E VR ? ,则得到其等效阻 R3 R3

1 ,E 为运算放大器的输出饱和电压,跟运算放大器的工作电压有关。 R3 R2 1 E VR , iR = VR ? 两式同时成 R1 ? R3 R3 R3

(3) 在预算放大器饱和输出的临界点, iR = ?

立,则有
V1 =

1 E R2 VR ? =? VR , 得 到 临 界 点 的 电 压 即 图 5.3 中 的 转 折 点 电 压 R3 R3 R1 ? R3

1 E 。同理,与其并联的另一个电路的各参数求解式子如下: R2 1+ R1 G1′ = ? R5 1 1 , G 2′ = ,V 2 = E R5 R 4 ? R6 R6 1+ R4

根据基尔霍夫定律,两电路并联后的各参数变为:
Ga = G1 + G1′ = ? R2 R5 ? R1 ? R3 R 4 ? R6 1 R5 ? R3 R 4 ? R 6 1 1 + R3 R 6

Gb = G 2 + G1′ =

Gc = G 2 + G 2′ =

则负阻 NR 的特性曲线 f(V1)可以表述为
?GcVC1 + (Gc ? Gb)V2 + (Gb ? Ga )V1 VC1 < ?V2 ?GbV + (Gb ? Ga )V ?V2 ≤ VC1 < ?V1 1 C1 ? ? f (VC1 ) = ?GaVC1 VC1 ≤ V1 ?GbV + (Ga ? Gb)V V1 ≤ VC1 < V2 1 C1 ? ?GcVC1 + (Gc ? Gb)V2 + (Gb ? Ga )V1 VC1 > V2 ?


(5.2)

1 f (V 1) = GbV1 + (Ga ? Gb) × [ V1 + E ? V1 ? E ] 2

(5.3)

考虑到电感 L 的串联电阻,Chua 混沌发生器实际电路如图 5.4 所示:

图 5.3 负阻电路的特性曲线

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第五章 不光滑系统的 Lyapunov 指数和分析

XSC1
Ext T rig + _ A + _ + B _

VDD 12V

R 1500 L 18.68mH C2 100nF C1 10nF

R3 39k
8 3 1 2 4

R6 220 U1A
3 1 2 8

U2A

TL082CD R5 220 R4 2.2k

4

TL082CD

R2 39k R1 3.3k

VSS -12V

图 5.4 Chua 电路 Multisim 仿真图

5.2.2Chua 电路的化简
对于上面所指出的式子(5.1),(5.2),(5.3)进行化简,可以得出无量纲方程。设: VC1 VC 2 Ri3 t ? ? x = E , y = E , z = E ,τ = RC , ? 2 ? 2 ?a = RGa, b = RGb, α = C2 , β = C2 R ? C1 L ? 由上式和式(5.1)得到 Chua 电路无量纲方程
? dx ? d τ = α ( y ? x ? f ( x )) ? ? dy = x? y+ z ? ? dτ ? dz ? dτ = ? β y ?

(5.4)

(5.5)

1 式(5.5)中, f ( x) 为 f ( x) = bx + (a ? b)( x + 1 ? x ? 1) ,它是一个三段的折线方程,a 和 b 2

是每段的斜率。

5.3.3 不同参数下 Chua 电路的混沌性
根据图 5.4 仿真的一些结论,总结出 R 电阻的变化可以引起系统混沌特性的变化, - 36 -

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第五章 不光滑系统的 Lyapunov 指数和分析

那么现在本文对不同的 R 值,进行了 Lyapunov 指数计算。 本文取的参数是: (1) 负阻电路中的 R1=3.3k ,R2=39 k ,R3=39 k ,R4=2.2 k ,R5=220 ,R6=220 ,TL82CD 的工作电压为±12V,运放饱和电压 E=19V。 (2) C1=10nF,C2=100nF,L=18.68mH。 (3) R 的取值变化 0~2.5k 。 使用以上参数,然后利用 5.2 节和 5.3 节中的 Chua 电路化简方法,可以得到以下参数: 折 点 电 压 V1=1.482269504 , V2=17.27272727 。 G1=-0.00030303 , G2=0.000025641 , ′ G1′ =-0.00045 , G2 =0.004545 。 由 这 四 个 参 数 进 而 得 到 : Ga=-0.000757576 , Gb=-0.000428904,Gc=0.004571096。知道这些参数,负阻电路的相应参数都算出来了。 既然 R 的值是改变的,而且与其他参数之间的关系也在(5.4)中表明了。所以现在可 以通过改变系统的 R 的值然后分别计算系统的 Lyapunov 指数,并且结合吸引子来分析 系统的混沌性。 计算了上述几个参数后,发现它们的最大 Lyapunov 指数都是负数,而图 5.5、5.7 和 5.9 是 Chua 电路的几个时域图,从时域图知道输出的三列数据都是迅速减小到 0 附 近的。图 5.6、5.8 和 5.10 是明显的收敛图,所以可以说明在上述几个参数下 Chua 电路 是收敛的,不是混沌的。 R=2500 时,a=-1.8939,b=-1.0723, α =10, β =33.4582。计算出 Chua 电路的嵌入维数 m=2,延迟时间 τ=5。计算 Lyapunov 指数为-0.0056

图 5.5 R=2500 时的时域

图 5.6 R=2500 时的相图

R=2100 时, a=-1.5909,b=-0.9007, α =10, β =23.6081。 嵌入维数 m=2, 延迟时间 τ=80。 计算 Lyapunov 指数为-0.0048 - 37 -

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第五章 不光滑系统的 Lyapunov 指数和分析

图 5.7 R=2100 时的时域

图 5.8 R=2100 时的相图

R=2000 时, a=-1.5152,b=-0.8578, α =10, β =21.4133 嵌入维数 m=3, 延迟时间 τ=24。 计算 Lyapunov 指数为-0.0040

图 5.9 R=2000 时的时域

图 5.10 R=2000 时的相图

那么在仿真图可知在小于 2000 时候出现了混沌情况, 那么用数学建立的模型来计 算 Lyapunov 指数来确定出系统的混沌性。 R=1950 时,a=-1.4773,b=-0.8364, α =10, β =20.3560

图 5.9 R=1950 时的时域

图 5.10 R=1950 时的相图

根据解微分方程得出的数据, 可以计算出系统最有的嵌入维数 m=3, 延迟时间 τ=112, 然后计算 Lyapunov 指数为 0.2202。结合相图可知系统为单涡旋混沌。 - 38 -

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第五章 不光滑系统的 Lyapunov 指数和分析

R=1900 时,a=-1.4394,b=-0.8149, α =10, β =19.3255

图 5.9 R=1900 时的时域

图 5.10 R=1900 时的相图

根据解微分方程得出的数据, 可以计算出系统最有的嵌入维数 m=3, 延迟时间 τ=81, 然后计算 Lyapunov 指数为 0.0245。结合相图可知系统为双涡旋混沌。 经过仿真也基本与实际计算的结果符合,R 从 1900~1600 维相图如下: 时,都是双涡混沌。三

(a) R=1800 的相图

(b) R=1700 的相图

(c) R=1600 的相图

图 5.10 R=1800 、1700 、1600 时的相图

R=1800

时,算出的 Lyapunov 指数为 0.0426。R=1700

时,算出的 Lyapunov 指

数为 0.1799。 R=1600 时, 算出的 Lyapunov 指数为 0.0720。 无论是三维相图还是 Lyapunov 指数都证明 Chua 电路在上面的参数的情况下是混沌的,而且是双涡旋混沌。 但是小于 1600 以后,混沌的奇特现象再次出现了。 当 R=1594 ,a=-1.2076,b=-0.6837, α =10, β =13.6019。根据以上参数可以计算出此 时 Chua 电路的嵌入维数 m=3,延迟时间 τ=40。然后计算出 Lyapunov 指数为 0.0731。 然后根据下面时域图和三维相图可知道系统是混沌的。

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第五章 不光滑系统的 Lyapunov 指数和分析

图 5.9 R=1594 时的时域

图 5.10 R=1594 时的相图

但是当 R=1593 时,a=-1.2068,b=-0.6832, α =10, β =13.5848。根据以上参数可以计 算出此时 Chua 电路的嵌入维数 m=2,延迟时间 τ=25。然后计算出 Lyapunov 指数为 0.0266。然后根据下面时域图和三维相图可知道系统是发散的。

图 5.9 R=1593 时的时域

图 5.10 R=1593 时的相图

R 由 1594

变成 1593 ,虽然仅仅差了一欧姆,但是混沌性确发生了明显不同,

这充分地体现了混沌系统对于参数敏感性。这样也说明了研究混沌的重要性,也说明以 后设计产品的时候,对于电路进行混沌性的检测,还有就是在每个器件选择的时候,对 于其参数的精度要达到一定的标准,否则对于电路也许会造成毁灭性的打击。

5.2 振动系统的 Lyapunov 指数计算
5.2.1 振动系统的介绍和化简
混沌理论在振动方面有着广泛的应用,对于机械行业来时帮助很大,而且近些年来 发展也是迅速的。所以本节对于一个简单的振动系统进行 Lyapunov 指数的计算,来简 单地证明混沌存在于振动中。 由 AutoCAD 图出系统的模型如下图: - 40 -

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a0 k1 m f
1

a k2 m0 f
2

图 5.11 振动系统模型

系统的机构简图如图 5.11 所示,该振动系统由偏心块 m0 激振,振动质量体 m 沿水 平方向做往复运动,质量体 m 两边分别装有软弹簧(阻尼 f1,刚度 k1)和有间隙的硬弹 ,硬弹簧在一个运动周期内,与质量体只进行间断的接触。 簧(刚度 k2,阻尼 f2) 该振动系统的数学模型如下:
?? ? mx + F ( x, x) + Q ( x) = m0ω 2 r sin(ωt )
? 式(5.6)中, F ( x, x) , Q ( x) 分别表示振动系统的阻尼力和弹性恢复力,其中:

(5.6)

? ?( f + f ) x ? F ( x, x ) = ? 1 2 ? f1 x ?(k1 + k2 ) x Q ( x) = ? ?k1 x + k1 (a0 ? a)
式中(5.6),(5.7)与(5.8)中:

x > ?a x ≤ ?a x > ?a x ≤ ?a
(5.7) (5.8)

m ——振动质量体质量
k1 ——软弹簧刚度 f1 ——软弹簧阻尼

m0 ——偏心块质量 k2 ——硬弹簧刚度 f 2 ——硬弹簧阻尼
r ——偏心量
? x ——振动质量体速度 a0 ? a ——静平衡下软弹簧压缩量

ω ——激振角频率
x ——振动质量体位移
?? ——振动质量体加速度 x

a ——静平衡下硬弹簧压缩量
系统中,弹性恢复力与位移的关系以及阻尼力与速度的关系如下图所示。在实际

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阻尼力 f1+f2

-a 速度 -a f1

图 5.12 弹性恢复力与位移的关系以及阻尼力与速度的关系

5.2.2 振动系统的 Lyapunov 指数计算
有上节中对于振动系统的建模, 以及系统公式, 知道了改振动系统是不光滑的系统, 至于混沌性还是需要通过计算才能得出。 根据式(5.6)、(5.7)和(5.8)三式,对它进行了无量纲化:
? 令 y (1) = x, y (2) = x ,则:

式(5.6)化简成: 式(5.7)化简成:

? my (1) + F ( y (1), y (2)) + Q ( y (2)) = m0ω 2 r sin(ωt )

(5.9) (5.10)

?( f + f ) y (1) F ( y (1), y (2)) = ? 1 2 ? f1 y (2)

y (2) > a y (2) ≤ ? a

式(5.8)化简成:

y (2) > ? a ?(k1 + k2 ) y (2) Q( y (2)) = ? ?k1 y (2) + k1 (a0 ? a ) y (2) ≤ ? a

(5.11)

综合上式可以最终化简成: y(2)>-a 时,
? dy (2) ? dt = y (1) ? ? 2 ? dy (1) = m0ω r sin(ωt ) ? ( f1 + f 2 ) y (1) ? (k1 + k2 ) y (2) ? dt m ? y(1)≤-a 时, ? dy (2) ? dt = y (1) ? ? 2 ? dy (1) = m0ω r sin(ωt ) ? f1 y (2) ? (k1 y (2) + k1 (a0 ? a )) ? dt m ?

(5.12)

(5.13)

然后根据工程上一般使用的参数,对求解所用的几种参数进行了定义:
m=400,m0=25,k1=43700,k2=900000,f1=500,f2=50,ω =68.56,r=0.126,a0=5,a=10。

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根据上面的分析,进行了 MATLAB 编程: function xdot=zhendong(t,x) m=400; m0=25; k1=43700; k2=900000; f1=500; f2=50; w=68.56; r=0.126; a0=5; a=10; if x(2)>-a xdot=[x(2); %%对方程(5.12)编程 %% 2~12 行是对参数进行定义

(m0*(w.^2)*r*sin(w*t)-(f1+f2)*x(2)+(k1+k2)*x(1))/m]; else xdot=[x(2); (m0*(w.^2)*r*sin(w*t)-f1*x(1)-k1*x(1)-k1*(a0-a))/m]; end 有了上面程序,对振动系统求解,然后作图。得到两列时间序列,并且得到系统的 时域图和相图。然后由 C-C 法求得系统的 S、?S 和 Scor 图,然后分析得到了系统的嵌入 维数 m 为 4, 延迟时间 τ 为 42。 然后再计算 Lyapunov 指数, 得到的 0.0280。 最大 Lyapunov 指数为正,证明系统在上述参数下是混沌系统。 %%对方程(5.13)编程

图 5.13 不光滑振动系统的时域

图 5.14 不光滑振动系统的相图

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图 5.15 C-C 法得到时间序列 S、 ?S 和 Scor 图

经过 Lyapunov 指数计算,再结合时间序列的时域图和相图知道系统在上述参数下 是混沌的。

5.3 本章小结
本章对 Chua 电路和振动系统进行了 Lyapunov 指数计算,其中对 Chua 进行了仔细 地分析。通过计算知道了混沌系统中 Lyapunov 指数的意义,确定了 Lyapunov 指数可以 用来判断系统的混沌性。而且,本章结合三维相图和时域图分析了系统混沌性。这样可 以双重地判断出系统是否为混沌。

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第六章 总结与展望

第六章 总结与展望
经过了几个月的研究和计算,通过计算不光滑混沌系统的 Lyapunov 指数,对系统 混沌的存在有了认识。虽然本文的课题是 Lyapunov 指数的计算,但是也通过了系统的 仿真来帮助判断系统的混沌性,而且通过图像来更好的分析系统,所以计算得出的 Lyapunov 指数更加准确。 本文计算了不光滑的混沌电路——Chua 电路和振动系统。Chua 电路的混沌性是通 过了非常多组数据计算,最终发现了不同的参数能使 Chua 电路产生不同的状况。尤其 是混沌特性的情况,更加说明了在设计电路时,对于参数选择要有理论的计算,还有要 进行仿真分析,并且电路制造时每个器件也要有一定的精度,因为可能仅仅差了 50 , 但是结果确相差很多,可能造成严重后果。振动系统是工程中最常见的系统,它混沌特 性的出现说明在一些有危险系数的环境中要对振动系统进行建模和混沌特性分析,提高 该系统的稳定和安全系数。 不过在课题进行的过程中,仍然出现了许多问题。首先是计算相空间重构的参数嵌 入维数和延迟时间时,用时非常长,计算 Lyapunov 指数时也用时很长时间,这耽误了 很多宝贵时间,所以这个问题应该在以后的混沌研究中寻找更加有效的方法,使计算的 速度能够快速很多。 Chua 电路和所选的振动系统是非常典型的不光滑混沌系统,但是对于其他的不光 滑系统还需要在以后的工作和学习进行建模,分析和计算。尤其是以后在工作中遇到静 摩擦(因为一般静摩擦问题都是不光滑的)的问题,仔细观察,建立数学模型,对其混 沌性进行研究,来判断一个系统的混沌特性。 最后,希望的所做的一切能对后来研究 Lyapunov 指数的人,或是研究混沌的人能 有一定的帮助,哪怕非常微小。混沌理论还比较年轻,需要更多人来研究,来发展它。

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第六章 总结与展望

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参考文献

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致谢

致谢
本文是在张玺麟老师指导下完成的。张老师知识渊博,思维敏锐,治学严谨,学生 深感佩服。张老师求实创新的治学精神和谦虚谨慎的处事作风将激励我今后更加勤奋地 学习,认真地工作。在此论文完成之际,对张老师说声:老师,您辛苦了!以表达我对 张老师深深的谢意和无限的敬意。 在本文制作的过程中,我还要感谢的就是我的同学和朋友们,是大家一起彼此互相 鼓励互相勤勉地完成各自的论文。即使我们彼此的课题不同,有研究电源的,有研究控 制系统的,也有研究算法的等等。虽然这样,但是大家还是互相协助,有时候不能坚持 做,想休息休息,这时候就有人会过来鼓励你,让你坚持。大家都在这种氛围中互相坚 持学习,慢慢就对自己所研究的课题有了了解,然后掌握等等。所以在大四下学期这个 忙碌而又不紧张的学期,我过得非常有意义。而且顺利地完成了我的毕业设计。 我能顺利完成我的毕业设计,也要感谢我的大学期间所有帮助过我,关心我的人。 首先感谢的学校对我的帮助,由于家庭条件的困难,我的生活比较艰难,而学校给我极 大的帮助,几次助学金和补助就是雪中送炭,解决了我的很多问题。 我还要感谢我的所有手下(职业发展协会的所有成员) ,由于他们对我的无限信任 和跟随, 让我有了自己的一个社团, 对我的自信心的提高, 性格的完善都有很大的帮助。 让我知道了团队的重要性。让我领悟了一句话:“聚是一团火,散做满天星”。 最后我要感谢我人生中最重要的人——我的父母,由于他们对我这个不孝子的容忍 和宽容。由于他们不辞辛苦,起早贪黑地工作,我才能完成了 10 几年的寒窗苦读。我 已 24 岁了,但仍无任何的成就,或成绩,实乃不孝。大学四年,我才体会了父母的伟 大!

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