【金版学案】2016-2017学年高中数学必修四(人教A版)模块综合评价


模块综合评价
(时间:120 分钟 满 分 :150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的) π 1.已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 ,若|a|=2,|b|=3,则|2a 3 -3b|=( A. 57 C.57 ) B. 61 D.61 π = 3 , 所 以 |2a - 3b| = 3

解 析 : 由 题 意 可 得 a· b = |a|· |b|cos

(2a-3b)2= 4|a|2+9|b|2-12a· b= 16+81-36= 61. 答案:B 2.已知角 α 的终边经过点 P(4,-3),则 2sin α+cos α 的值等 于( ) A.- C. 2 5 3 5 B. 4 5

2 D.- 5

解析:因为 α 的终边过点 P(4,-3), 所以 x=4,y=-3,r=|OP|=5, 4 y -3 所以 sin α= = ,cos α= , r 5 5
? 3? 4 2 所以 2sin α+cos α=2×?-5?+ =- . 5 ? ? 5

答案:D 3.下列各向量中,与 a=(3,2)垂直的是( )

A.(3,-2) C.(-4,6)

B.(2,3) D.(-3,2)

解析:因为(3,2)·(-4,6)=3×(-4)+2×6 =0. 答案:C
? π? 4.要得到函数 y=3sin?2x+4?的图象,只需将函数 y=3sin 2x ? ?

的图象(

) π B.向右平移 个单位 4 π D.向右平移 个单位 8
? ? ?

π A.向左平移 个单位 4 π C.向左平移 个单位 8
?

? π? ? π? 解析:因为 y=3sin?2x+4?=3sin?2x+8?,所以由 y=3sin 2x 的 ? π? π 图象向左平移 个单位可得 y=3sin?2x+4?的图象. 8 ? ?

答案:C
?π ? 5.已知向量 a=(2cos φ,2sin φ),φ∈?2,π?,b=(0,-1),则 ? ?

a 与 b 的夹角为( A.φ π C. +φ 2 解析:|a|=

) π B. -φ 2 3π D. -φ 2 (2cos φ)2+(2sin φ)2=2,|b|=1,a· b=-2sin a· b -2sin φ = =-sin φ=sin(- |a||b| 2×1

φ,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ= φ)=

?3π ? ?3π ? ?π ? 3π cos? 2 -φ?,即 cos θ=cos? 2 -φ?,且 -φ∈?2,π?,所以 θ= 2 ? ? ? ? ? ?

3π -φ. 2 答案:D 6.(2015· 广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的 是( ) A.y=x+sin 2x 1 C.y=2x+ x 2 B.y=x2-cos x D.y=x2+sin x

解析:A 项,定义域为 R,f(-x)=-x-sin 2x=-f(x),为奇函 数,故不符合题意;B 项,定义域为 R,f(-x)=x2-cos x=f(x),为 偶函数,故不符合题意;C 项,定义域为 R,f(-x)=2-x+ 1 x -x = 2 2

1 + x=f(x),为偶函数,故不符合题意;D 项,定义域为 R,f(-x) 2 =x2-sin x, -f(x)=-x2-sin x, 因为 f(-x)≠-f(x), 且 f(-x)≠f(x), 故为非奇非偶函数. 答案:D 7.如果点 P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,那么角 θ 所在的 象限是( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

解析:因为点 P 位于第三象限,
? ? ?sin θcos θ<0, ?cos θ<0, 所以? 所以? ?2cos θ<0, ?sin θ >0, ? ?

所以 θ 在第二象限. 答案:B π 8.将函数 y=sin x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=f(x) 2

的图象,则下列说法正确的是( A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为 π

)

π C.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 2
? π ? D.y=f(x)的图象关于点?-2,0?对称 ? ? ? π? 解析:由题意得 y=f(x)=sin?x+2?=cos x,显然 A,B,C 均错 ? ?

误,只有 D 正确. 答案:D 9. (2015· 课标全国Ⅰ卷)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所 示,则 f(x)的单调递减区间为( )

? 1 3? A.?kπ-4,kπ+4?,k∈Z ? ? ? 1 3? B.?2kπ-4,2kπ+4?,k∈Z ? ? ? 1 3? C.?k-4,k+4?,k∈Z ? ? ? ? 1 3? D.?2k-4,2k+4?,k∈Z ? ?5 1? 解析:由图象知,周期 T=2?4-4?=2, ? ?

所以

2π =2,所以 ω=π. ω

π π 1 由 π× +φ= +2kπ,k∈Z,不妨取 φ= , 2 4 4
? π? 所以 f(x)=cos?πx+4?. ? ?

π 1 3 由 2kπ<πx+ <2kπ+π,得 2k- <x<2k+ ,k∈Z, 4 4 4
? 1 3? 所以 f(x)的单调递减区间为?2k-4,2k+4?,k∈Z. ? ?

答案:D 10. 先令函数 y=cos x 的图象上各点纵坐标不变, 横坐标变为原 π 1 来的 ,再把图象沿 x 轴向左平移 个单位,则所得图象对应的函数 4 2 表达式为( ) B.y=-sin 2x
? ?x π? D.y=cos?2+4? ? ?

A.y=sin 2x
? π? C.y=cos?2x+4? ?

解析:第一步变换后所得函数表达式是 y=c os 2x,第二步变换
? ? π?? ? π? 后所得函数表达式是 y=cos?2?x+4 ??=cos?2x+2?=-sin 2x. ? ? ?? ? ?

答案:B
?π ? 11.函数 y=3sin?3-2x?的单调递增区间是( ? ? ? π π ? A.?-2+2kπ,2+2kπ?(k∈Z) ? ? ?π 3π ? B.?2+2kπ, 2 +2kπ?(k∈Z) ? ? ?5π 11π ? C.?12+kπ, 12 +kπ?(k∈Z) ? ? ? ? π 5π ? D.?-12+kπ,12+kπ?(k∈Z) ?

)

? π? π π 3π 解析:由题意可得 y=-3sin?2x-3?,由 +2kπ≤2x- ≤ + 2 3 2 ? ?

2kπ,k∈Z,得

5π 11π +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,所以原函数的单调递增 12 12
?

?5π 11π ? 区间是?12+kπ, 12 +kπ?(k∈Z). ?

答案:C
?x 7π? ?x 7π? 12.化简 cos2?2- 8 ?-cos2?2+ 8 ?=( ? ? ? ?

)

A.- C.-

2 sin x 2 2 cos x 2
? ? ?

B. D.

2 sin x 2 2 cos x 2
?

?x 7π? ?x 7π? 解析:cos2?2- 8 ?-cos2?2+ 8 ?= ? ?x 7π? ?x 7π?? ?cos? - ?+cos? + ??. ? ?2 8 ? ?2 8 ?? ? ?x 7π? ?x 7π?? ?cos? - ?-cos? + ??= ? ?2 8 ? ?2 8 ?? ? 7π? ? 7π? x x ?2cos cos ?·?2sin sin ? 2 8? ? 2 8 ?= ? ? 7π 7π? ? x x? ?2sin ?·?2sin cos ?= cos 2 2? 8 8? ? ?

sin

? π? 7π ·sin x=sin?2π-4?·sin x= 4 ? ?

-sin

π 2 ·sin x=- sin x. 4 2

答案:A 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案 填在题中的横线上)

?π ? 13.设 sin 2α=-sin α,α∈?2,π?,则 tan 2α 的值是________. ? ?

解析:因为 sin 2α=-sin α,所以 2sin αcos α=-sin α.
?π ? 因为 α∈?2,π?,sin α≠0, ? ?

1 所以 cos α=- . 2
?π ? 2 又因为 α∈?2,π?,所以 α= π, 3 ? ? ? π? π 4 所以 tan 2α=tan π=tan?π+ 3?=tan = 3. 3 3 ? ?

答案: 3 π 14. (2014· 陕西卷)设 0<θ< , 向量 a=(sin 2θ, cos θ), b=(cos θ, 2 1),若 a∥b,则 tan θ=________. 解析:因为 a∥b,所以 sin 2θ×1-cos2θ=0, π 所以 2sin θcos θ-cos2θ=0,因为 0<θ< ,所以 cos θ >0,所以 2 1 2sin θ=cos θ,所以 tan θ= . 2 答案: 1 2

15. (2015· 天津卷)在等腰梯形 ABCD 中, 已知 AB∥DC, AB=2, → 2 BC=1, ∠ABC=60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上, 且BE= 3 → → 1→ → → BC,DF= DC,则AE·AF的值为________. 6 → → → → → 2→ → → 解 析:取BA,BC为一组基底,则AE=BE-BA= BC-BA,AF 3 → → → → → 5 → 7 → → =AB+BC+CF=-BA+BC+ BA=- BA+BC, 12 12

→ → ?2 → → ? ? 7 → → ? 所以AE·AF=? BC-BA?·?- BA+BC?= ?3 ? ? 12 ? 7 → 2 25 → → 2 → 2 |BA| - BA·BC+ |BC| = 12 18 3 7 25 1 2 29 ×4- ×2×1× + = . 12 18 2 3 18 答案: 29 18

16.(2015· 天津卷)已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω>0),x∈ R.若函数 f(x)在区间(-ω,ω )内单调递增,且函数 y=f(x)的图象关 于直线 x=ω 对称,则 ω 的值为________.
? π? 解析:f(x)=sin ωx+cos ωx= 2sin?ωx+4?, ? ?

因为 f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线 x= ω 对称, π π 所以 f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有 ω· ω+ =2kπ+ , 4 2 π k∈Z,所以 ω2= +2kπ,k∈Z. 4 又 ω-(-ω)≤ π π 2π π ,即 ω2≤ ,所以 ω2= ,所以 ω= . 2 4 2 ω 2

答案:

π 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知|a|=1,|b|= 2,a 与 b 的夹角为 θ. (1)若 a∥b,求 a· b; (2)若 a-b 与 a 垂直,求 θ.

解:(1)因为 a∥b,所以 θ=0°或 180°, 所以 a· b=|a||b|cos θ=± 2. (2)因为 a-b 与 a 垂直, 所以(a-b)· a=0,即|a|2-a· b=1- 2cos θ=0, 所以 cos θ= 2 . 2

又 0°≤θ ≤180°,所以 θ=45°.
?4 3? 18.(本小题满分 12 分)已知角 α 的终边过点 P?5,-5?. ? ?

(1)求 sin α 的值; tan(α-π) ? ? (2 )求式子 · 的值. sin(α+π) cos(3π-α) 解:(1)因为|OP|=
?4?2 ? 3?2 ? ? +?- ? =1, ?5? ? 5? ?π ? sin?2-α?

所以点 P 在单位圆上, 3 由正弦函数定义得 sin α=- . 5 (2)原式= cos α sin α tan α 1 · = = , -sin α -cos α sin α·cos α cos α

3 由(1)得 sin α=- ,P 在单位圆上, 5 4 所以由已知条件得 cos α= . 5 5 所以原式= . 4 19.(本小题满分 12 分)如图所示,在平面直角坐标系中,锐角 α 和钝角 β 的终边分别与单位圆交于 A,B 两点.

4 12 (1)若 A,B 两点的纵坐标分别为 , ,求 cos( β-α)的值; 5 13 → → → → → (2)已知点 C 是单位圆上的一点, 且OC=OA+OB, 求OA和OB的 夹角 θ.
? 4? ? 12? ?4?2 2 解:(1)设 A?x1,5?,B?x2,13?,则 x1 +?5? =1,又 x1>0,所以 ? ? ? ? ? ? ?3 4? 3 x1= ,所以 A?5,5?. 5 ? ? ?12?2 5 ? =1,又 x2<0,所以 x2=- , x2 2+? 13 ?13? ? 5 12? 所以 B?-13,13?. ? ?

4 3 12 5 所以 sin α= ,cos α= ,sin β= ,cos β=- , 5 5 13 13 所以 cos( β-α)=cos βcos α+sin βsin α=
? 5 ? 3 12 4 33 ?- ?× + × = . ? 13? 5 13 5 65

→ → → → → → (2)根据题意知|OA|=1, |OB|=1,|OC|=1,又OC=OA+OB, 所以四边形 CAOB 是平行四边形. → → 又|OA|=|OB|,所以?CAOB 是菱形, → → → 又|OA|=|OB|=|OC|,所以△AOC 是等边三角形, 所以∠AOC=60°,所以∠AOB=120°, → → 即OA与OB的夹角 θ 为 120°.

? π? 20. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2cos x· sin?x+3?- 3sin2x ? ?

+sin x·cos x.

? π? (1)当 x∈?0,2?时,求 f(x)的值域; ? ? ? π 5π ? (2)用“五点法”在下图中作出 y= f(x)在闭区间?-6, 6 ? 上的 ? ?

简图; (3)说明 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变化得到?
? π? 解:f(x)=2cos x·sin?x+3?- 3sin2x+sin xcos x= ? ? ? π π? 2cos x?sin xcos 3+cos xsin 3?- 3·sin2x+sin xcos x=sin 2x+ ? ? ? π? 3cos 2x=2sin?2x+3?. ? ? ? π? π π 4π (1)因为 x∈?0,2?,所以 ≤2x+ ≤ , 3 3 3 ? ?

所以- 3,2].

? π? ? π? 3 ≤sin?2x+3?≤1, 所以当 x∈?0,2?时, f(x)的值域为[- 2 ? ? ? ?

(2)由 T=

2π ,得 T=π,列表: 2 π - 6

x

π 12

π 3

7π 12

5π 6

2x+

π 3
?

0 0

π 2 2

π 0

3π 2 -2

2π 0

? π? 2sin?2x+3? ?

图象如图.

(3)法一:由以下变换可得 f(x)的图象: π 先将 y=sin x 的图象向左平移 个单位,再将图象上各点的横坐 3 1 标缩短到原来的 ,最后将纵坐标伸长为原来的 2 倍. 2 法二:由以下变换可得 f(x)的图象:先将 y=sin x 的图象上各点 π 1 的横坐标缩短到原来的 ,再将图象向左平移 个单位,最后将纵坐 6 2 标伸长为原来的 2 倍. 21. (本小题满分 12 分)(2015· 广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知向量 m=?
? 2 ? π? 2? ,- ?,n=(sin x,cos x),x∈ ?0,2?. ? ? 2? ? 2

(1)若 m⊥n,求 tan x 的值; π (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值. 3 解:(1)若 m⊥n,则 m· n=0. 由向量数量积的坐标公式得 所以 tan x=1. 2 2 sin x- cos x=0, 2 2

π π (2)因为 m 与 n 的夹角为 ,所以 m· n=|m|· |n|cos , 3 3 即 2 2 1 sin x- cos x= , 2 2 2

? π? 1 所以 sin?x-4?= . ? ? 2 ? π? π ? π π? 又因为 x∈?0,2?,所以 x- ∈?-4,4?, 4 ? ? ? ?

π π 5π 所以 x- = ,即 x= . 4 6 12 1 22. (2015· 重庆卷)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= sin 2x- 3 2 cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; (2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍, 纵坐
?π ? 标不变,得到函数 g(x)的图象.当 x∈?2,π?时,求 g(x)的值域. ? ?

1 1 3 1 解: (1)f(x)= sin 2x- 3cos2x= sin 2x- (1+cos 2x)= sin 2x 2 2 2 2 -
? π? 3 3 3 cos 2x- =sin?2x-3?- , 2 2 2 ? ?

因此 f(x)的最小正周期为 π,最小值为-
? π? 3 (2)由条件可知 g(x)=sin?x-3?- . 2 ? ? ?π ? π ?π 2π? 当 x∈?2,π?时,有 x- ∈?6, 3 ?, 3 ? ? ? ? ? π? ?1 ? 从而 y=sin?x-3?的值域为?2,1?, ? ? ? ?

2+ 3 . 2

?1- 3 2- 3? ? π? 3 ?. 那么 y=sin?x-3?- 的值域为? , 2 ? ? 2 ? ? 2

?1- 3 2- 3? ?π ? ?. 故 g(x)在区间?2,π?上的值域是? , ? ? 2 ? ? 2


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