2017高考数学一轮复习第八章立体几何8.2空间点线面的位置关系课时练理


2017 高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间点、线、面的位 置关系课时练 理
时间:45 分钟 基础组 1.[2016·衡水中学期末]设 a,b,c 是三条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面, 则下列命题中,其逆命题不成立的是( A.当 c⊥α 时,若 c⊥β ,则 α ∥β B.当 b? α 时,若 b⊥β ,则 α ⊥β C.当 b? α ,且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 b⊥c,则 a⊥b D.当 b? α ,且 c?α 时,若 c∥α ,则 b∥c 答案 B 解析 A 的逆命题为:当 c⊥α 时,若 α ∥β ,则 c⊥β ,由线面垂直的性质知 c⊥β ; B 的逆命题为:当 b? α 时,若 α ⊥β ,则 b⊥β ,显然错误;C 的逆命题为:当 b? α , 且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 a⊥b,则 b⊥c,由三垂线的逆定理知 b⊥c;D 的逆命题为: 当 b? α ,且 c?α 时,若 b∥c,则 c∥α ,由线面平行的判定定理可得 c∥α .故选 B. 2.[2016·衡水二中热身]对于空间的两条直线 m,n 和一个平面 α ,下列命题中的真 命题是( ) B.若 m∥α ,n? α ,则 m∥n D.若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C.若 m∥α ,n⊥α ,则 m∥n 答案 D 解析 对 A,直线 m,n 可能平行、异面或相交,故 A 错误;对 B,直线 m 与 n 可能平行, 也可能异面,故 B 错误;对 C,m 与 n 垂直而非平行,故 C 错误;对 D,垂直于同一平面的 两直线平行,故 D 正确. 3.[2016·武邑中学期末]已知直线 a 和平面 α ,β ,α ∩β =l,a?α ,a?β ,且 a 在 α ,β 内的射影分别为直线 b 和 c,则直线 b 和 c 的位置关系是( A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 答案 D 解析 依题意,直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面,故选 D. 4.[2016·衡水二中预测]已知 a,b,c 为三条不同的直线,且 a? 平面 M,b? 平面 N, ) )

M∩N=c.①若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a,b 中的一条相交;②若 a 不垂直于 c,则 a
与 b 一定不垂直;③若 a∥b,则必有 a∥c;④若 a⊥b,a⊥c,则必有 M⊥N.其中正确命题 的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 命题①③正确,命题②④错误.其中命题②中 a 和 b 有可能垂直;命题④中当 b ∥c 时,平面 M,N 有可能不垂直,故选 C.
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5. [2016·枣强中学月考]已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 是 AA1 的中点, 则异面直线 D1C 与 BE 所成角的余弦值为( A. C. 1 5 10 10 ) B. D. 3 10 10 3 5

答案 B

解析 如图,连接 A1B.由题意知 A1D1 綊 BC,所以四边形 A1D1CB 为平行四边形,故 D1C∥

A1B.所以∠A1BE 为异面直线 D1C 与 BE 所成的角.不妨设 AA1=2AB=2,则 A1E=1,BE= 2, A1B= 5,在△A1BE 中,
cos∠A1BE= =

A1B2+EB2-A1E2 2A1B·EB

3 10 = ,故选 B. 10 2× 5× 2

5+2-1

6. [2016·衡水二中猜题]设 a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ③若 a 与 b 相交,b 与 c 相交, 则 a 与 c 相交; ④若 a? 平面 α ,b? 平面 β ,则 a,b 一定是异面直线. 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号). 答案 ① 解析 由公理 4 知①正确;当 a⊥b,b⊥c 时,a 与 c 可以相交、平行或异面,故②错; 当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故③错;a? α ,b? β ,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”,故④错. 7. [2016·衡水二中一轮检测]如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠ACB=90°, AA1=2,

AC=BC=1,则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是________.

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答案 解析

6 6 由于 AC∥A1C1,所以∠BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角.在△BA1C1

6+1-5 6 中,A1B= 6,A1C1=1,BC1= 5,cos∠BA1C1= = . 2 6×1 6 8.[2016·冀州中学周测]如图所示,在四面体 ABCD 中,E、F 分别是 AC、BD 的中点, 若 CD=2AB=2,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角等于________.

答案 30°

解析 如图所示,设 H 为 DA 的中点,连接 HF,HE,则易得 FH⊥EF.在 Rt△EFH 中,HE 1 =1,HF= , 2 ∴∠HEF=30°,即 EF 与 CD 所成的角为 30°. 9.[2016·冀州中学热身]如图所示,正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,将 此正方形沿 EF 折成直二面角后,异面直线 AF 与 BE 所成角的余弦值为________.
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答案

1 2

解析 过 F 点作 HF∥BE,过 A 点作 EF 的垂线 AG,垂足为 G.连接 HG,HE,AH.如图,设 正方形 ABCD 的边长为 2, ∵平面 AEF⊥平面 BCDFE, 且 AG⊥EF,∴AG⊥平面 BCDFE. ∵BE=BH=AE=AF=1,∴EH=EF= 2.∵G 为 EF 的中点,∴EG= =2,∴∠HEG=90°, ∴在 Rt△EHG 中,HG= ∴在 Rt△AGH 中, 10 ? 2?2 2 ? ? +? 2? = 2 . ?2? 2 2 ,AG= .又∵HF 2 2

AH=

? 10?2 ? 2?2 ? ? +? ? = 3. ? 2 ? ?2?

∵HF∥BE,∴AF 与 BE 所成的角即为∠AFH.在△AHF 中,AF=1,HF=2,AH= 3,∴∠

HAF=90°, AF 1 ∴cos∠AFH= = . HF 2
10.[2016·枣强中学周测]如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 CD,CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________.

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答案 90° 解析 连接 D1M,则 D1M 为 A1M 在平面 DCC1D1 上的射影,在正方形 DCC1D1 中,∵M,N 分 别是 CD,CC1 的中点,∴D1M⊥DN,由三垂线定理得 A1M⊥DN.即异面直线 A1M 与 DN 所成的角 为 90°. 11.[2016·冀州中学预测]在三棱锥 S-ACB 中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,

BC= 13,SB= 29,则 SC 与 AB 所成角的余弦值为____________.
答案 17 17

解析 解法一:如图,取 BC 的中点 E,分别在平面 ABC 内作 DE∥AB,在平面 SBC 内作

EF∥SC,则异面直线 SC 与 AB 所成的角为∠FED,过 F 作 FG⊥AB,连接 DG,则△DFG 为直角
三角形. 由题知 AC=2,BC= 13,SB= 29,可得 DE= 17 5 ,EF=2,DF= ,在△DEF 中,由 2 2

DE2+EF2-DF2 17 余弦定理可得 cos∠DEF= = . 2DE·EF 17

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解法二:如图,以 A 为原点,以 AB,AS 所在直线分别为 y,z 轴,以垂直于 y 轴、z 轴 的直线为 x 轴,建立空间直角坐标系,则由 AC=2,BC= 13,SB= 29,得 B(0, 17,0),

S(0,0,2 3),C?2


? ?

13 4 ? , ,0?, 17 17 ?

? SC=?2 ?
→ →

→ → → 13 4 ? , ,-2 3?, AB=(0, 17,0), 设 SC 与 AB 所成的角为 θ , ∵SC·AB 17 17 ?

=4,|SC||AB|=4 17, → → |SC·AB| 17 ∴cosθ = = . → → 17 |SC||AB| 12.[2016·衡水二中期中]如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形, ∠DAB=60°,对角线 AC 与 BD 交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成角为 60°.

(1)求四棱锥的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值. 解 (1)在四棱锥 P-ABCD 中, ∵PO⊥平面 ABCD, ∴∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, 即∠PBO=60°. 在 Rt△AOB 中,∵AB=2,∴BO=AB·sin30°=1. 在 Rt△POB 中,∵PO⊥OB,∴PO=BO·tan60°= 3, 1 3 ∵底面菱形的面积 S=2× ×2×2× =2 3, 2 2 1 ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 VP-ABCD= ×2 3× 3=2. 3

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(2)如图所示,取 AB 的中点 F,连接 EF,DF.∵E 为 PB 中点, ∴EF∥PA, ∴∠DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成角(或其补角). 在 Rt△AOB 中,

AO=AB·cos30°= 3=OP,
∴在 Rt△POA 中,PA= 6,∴EF= 6 . 2

在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中, DF = DE = 3 ,由余弦定理得 cos ∠ DEF =

DE +EF2-DF2 2DE·EF
? 3? +?
2

2



? 6?2 2 ? -? 3? ?2?
6 2

2× 3×

2 = = . 3 2 4 2 . 4 能力组

6 4

∴异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为

13.[2016·枣强中学模拟]已知 m、 n 为异面直线, m? 平面 α , n? 平面 β , α ∩β =l, 则 l( ) A.与 m、n 都相交 B.与 m、n 至少一条相交 C.与 m、n 都不相交 D.至多与 m、n 中的一条相交 答案 B 解析 若 l 与 m、n 都不相交,则 l∥m,l∥n. ∴m∥n 与已知矛盾,故 C、D 不正确. A 中与 m、n 都相交,也不一定,如 l∥m,n 与 l 相交于一点. 14.[2016·衡水二中期末]直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则 异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( A.30° C.60° B.45° D.90°
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)

答案 C

解析 分别取 AB,AA1,A1C1 的中点 D,E,F,则 BA1∥DE,AC1∥EF. 所以异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为∠DEF(或其补角), 设 AB=AC=AA1=2,则 DE=EF= 2,DF= 6, 由余弦定理得, cos∠DEF=

DE2+EF2-DF2 1 =- , 2DE·EF 2

则∠DEF=120°,从而异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为 60°. 15.[2016·武邑中学猜题]如图是三棱锥 D-ABC 的三视图,点 O 在三个视图中都是所 在边的中点,则异面直线 DO 和 AB 所成角的余弦值等于( )

A.

3 3

B. D.

1 2 2 2

C. 3 答案 A

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解析 由题意得如图的直观图,从 A 出发的三条线段,AB,AC,AD 两两垂直且 AB=AC =2,AD=1,O 是 BC 中点,取 AC 中点 E,连接 DE,DO,OE,则 OE=1,又可知 AE=1,由 于 OE∥AB,故∠DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角.在 Rt△DAE 中,DE= 2,由 于 O 是中点,在 Rt△ABC 中可以求得 AO= 2, 1+3-2 在直角三角形 DAO 中可以求得 DO= 3.在△DOE 中, 由余弦定理得 cos∠DOE= 2×1× 3 = 3 3 ,故所求余弦值为 . 3 3 16.[2016·冀州中学仿真]如图所示,三棱锥 P—ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=60°,

PA=AB=AC=2,E 是 PC 的中点.

(1)①求证:AE 与 PB 是异面直线; ②求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值; (2)求三棱锥 A-EBC 的体积. 解 (1)①证明:假设 AE 与 PB 共面,设平面为 α , ∵A∈α ,B∈α ,E∈α , ∴平面 α 即为平面 ABE, ∴P∈平面 ABE, 这与 P?平面 ABE 矛盾,

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所以 AE 与 PB 是异面直线. ②取 BC 的中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥PB,所以∠AEF 或其补角就是异面直线 AE 和

PB 所成角.
∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面 ABC, ∴AF= 3,AE= 2,EF= 2, 2+2-3 1 cos∠AEF= = , 2× 2× 2 4 1 所以异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为 . 4 1 (2)因为 E 是 PC 中点,所以 E 到平面 ABC 的距离为 PA=1, 2

VA-EBC=VE-ABC= ×? ×2×2×

1 ?1 3 ?2

3 3? ?×1= 3 . 2?

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