【轻松突破120分】2014高考数学精炼5 文


2014 高考数学(文)轻松突破 120 分 5
? ?x=2+sin θ 1.将参数方程? 2 ?y=sin θ ?
2

(θ 为参数)化为普通方程为____________.

答案: y=x-2(0≤y≤1) 1 ? ?x=t+ t 2.参数方程? ? ?y=2 (t 为参数)表示的曲线是________.

1 解析: 由 x=t+ 知 x≥2 或 x≤-2,

t

∴曲线方程为 y=2(x≥2 或 x≤-2),表示两条射线. 答案: 两条射线 ? ? ?x=1-2t, ?x=s, 3.若直线 l1:? (t 为参数)与直线 l2:? (s 为参数)垂直,则 k ?y=2+kt ?y=1-2s ? ? =________. 解析: 直线 l1:kx+2y=k+4,直线 l2:2x+y=1. ∵l1 与 l2 垂直,∴2k+2=0,∴k=-1. 答案: -1 ? ?x=cos θ , 4.若直线 2x+ky-1=0(k∈R)与曲线? (θ 为参数)相切,则 k 值为 ? ?y=-1+sin θ ________. 解析: 把曲线的参数方程转化为普通方程为 x2+(y+1)2=1. |2×0+? -1? ·k-1| 3 由题意得 =1,解得 k= . 2 2 2 2 +k 答案: 3 2
2

?x=2pt ? 5.已知曲线? ?y=2pt ?

(t 为参数,p 为常数,p>0)上的两点 M、N 对应的参数分别为 t1

和 t2,且 t1+t2=0,则|MN|=______. 2 解析: 曲线表示抛物线 y =2px,线段 MN 垂直于抛物线的对称轴,所以|MN|=2p|t1- t2|=4p|t1|. 答案: 4p|t1| ?x=2+t 2 2 6.直线? 被双曲线 x -y =1 截得的弦长为________. ?y= 3t

解析:

t x=2+ ? 2 ? 直线参数方程化为? 3 ? ?y=0+ 2 t
2 2 2



代入双曲线 x -y =1 得 t -4t-6=0. 设两交点对应的参数为 t1,t2,则 2 弦长 d=|t1-t2|= ? t1+t2? -4t1t2 =2 10. 答案: 2 10

-1-

7.求直线 l1:? -5)的距离.

?x=1+t ?y=-5+ 3t

和直线 x-y-2 3=0 的交点 P 的坐标,及点 P 与 Q(1,

解析: 将?

?x=1+t ?y=-5+ 3t

1 x=1+ t ? 2 ? 化为? 3 ? ?y=-5+ 2 t



代入 x-y-2 3=0 得 t=4 3, ∴P(1+2 3,1). 由参数 t 的几何意义得|PQ|=|t|=4 3. 1 ? ?x=t+t 8.过点 P(-3,0)且倾斜角为 30°的直线和曲线? 1 ? ?y=t-t 两点,求线段 AB 的长. 1 x=t+ ? ? t 曲线? 1 ? ?y=t-t

(t 为参数)相交于 A、B

解析:

的普通方程为 x -y =4.

2

2

过点 P(-3,0)且倾斜角为 30°的直线方程为 y=

3 x+ 3 , 3

? ?y= 3x+ 3, 3 联立方程组? 2 ? ?x -y2=4
21 ∴x1x2=- ,x1+x2=3, 2

2 2 消去 y 得, x -2x-7=0, 3

∴AB= 1+k |x1-x2| 2 2 = 1+k ? x1+x2? -4x1x2 =2 17. ? ? ?x=1+tcos α , ?x=cos θ 9.已知直线 C1:? (t 为参数),C2:? (θ 为参数). ? ? ?y=tsin α ?y=sin θ π (1)当 α = 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线. π 2 2 解析: (1)当 α = 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x +y =1. 3

2

?y= 3? x-1? , ?x2+y2=1, 3? ?1 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0),? ,- ?. 2? ?2
联立方程组? (2)C1 的普通方程为 xsinα -ycosα -sinα =0. A 点坐标为(sin2α ,-cosα sinα ),
-2-

故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 1 ? ?x=2sin α , ? 1 ? ?y=-2sin α cos α ,
2

(α 为参数).

1 16 ? 1 1 ? ? 故 P 点轨迹是圆心为? ,0?,半径为 的圆. 4 ?4 ?

P 点轨迹的普通方程为?x- ?2+y2= . 4

? ?

1?

12 2 10.已知椭圆 C 的极坐标方程为 ρ = ,点 F1、F2 为其左、右焦点,直线 2 2 3cos θ +4sin θ 2 ? ?x=2+ 2 t, l 的参数方程为? 2 ? ?y= 2 t

(t 为参数,t∈R).

(1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和. 解析: (1)直线 l 的普通方程为 y=x-2; 曲线 C 的普通方程为 + =1. 4 3 (2)∵F1(-1,0),F2(1,0), |-1-0-2| 3 2 ∴点 F1 到直线 l 的距离 d1= = , 2 2 |1-0-2| 2 点 F2 到直线 l 的距离 d2= = , 2 2 ∴d1+d2=2 2.
?x=1+cos θ ? 11.已知圆 M:? ?y=sin θ ? ?x=2pt ? (θ 为参数)的圆心 F 是抛物线 E:? ?y=2pt ?
2

x2 y2

的焦点,

过焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,求 AF·FB 的取值范围.?【解析方法代码 108001169】 ? ?x=1+cos θ 2 2 解析: 曲线 M:? 的普通方程是(x-1) +y =1, ?y=sin θ ? 所以 F(1,0). 2 ? ?x=2pt 抛物线 E:? ?y=2pt ?

的普通方程是 y =2px,
2

2

所以 =1,p=2,抛物线的方程为 y =4x. 2 设过焦点 F 的直线的参数方程为 ?x=1+tcos θ ? ? (t 为参数), ? ?y=tsin θ 2 2 2 代入 y =4x,得 t sin θ -4tcosθ -4=0. 4 所以 AF·FB=|t1t2|= 2 . sin θ 2 因为 0<sin θ ≤1,所以 AF·FB 的取值范围是[4,+∞).

p

-3-

π 12.已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α = . 6 (1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆? 积. 3 ? ?x=1+ 2 t (1)直线的参数方程是? 1 ? ?y=1+2t
? ?x=2cos θ ?y=2sin θ ?

(θ 是参数)相交于两点 A,B,求点 P 到 A,B 两点的距离之

解析:

(t 是参数).

(2)∵点 A,B 都在直线 l 上,∴可设点 A,B 对应的参数分别为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐 3 1 ? ? 3 1 ? ? 标分别为 A?1+ t1,1+ t1?,B?1+ t2,1+ t2?, 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 将直线 l 的参数方程代入圆的方程 x +y =4, 2 整理得 t +( 3+1)t-2=0.① ∵t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2, ∴|PA|·|PB|=|t1t2|=|-2|=2. ?x=2+t, 2 13. 已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数), 曲线 C 的极坐标方程为 ρ cos2θ ?y= 3t =1. (1)求曲线 C 的普通方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.?【解析方法代码 108001170】 2 2 2 2 解析: (1)由曲线 C:ρ cos2θ =ρ (cos θ -sin θ )=1, 2 2 2 2 2 2 得 ρ cos θ -ρ sin θ =1,化成普通方程为 x -y =1.① (2)方法一:把直线参数方程化为标准参数方程为 1 x=2+ t, ? 2 ? ? 3 ? ?y= 2 t

(t 为参数)②

? 1 ?2 ? 3 ?2 把②代入①得:?2+ t? -? t? =1, ? 2 ? ?2 ? 2 整理,得 t -4t-6=0. 设其两根为 t1,t2,则 t1+t2=4,t1·t2=-6. 2 2 从而弦长为|t1-t2|= ? t1+t2? -4t1t2= 4 -4×? -6? = 40=2 10. 方法二:把直线 l 的参数方程化为普通方程为 y= 3(x-2), 2 2 2 代入 x -y =1,得 2x -12x+13=0. 设直线 l 与曲线 C 交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 13 则 x1+x2=6,x1·x2= , 2
∴|AB|= 1+3· ? x1+x2? 2 =2 6 -26=2 10.
2

-4x1x2
?x=4-2t, ? ? ?y=t

14.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为?

(t 为参数),椭圆 C

-4-

的方程为?

?x=2cos θ , ? ?y=sin θ ?

(θ 为参数,θ ∈R).试在椭圆 C 上求一点 P,使得 P 到直线 l 的

距离最小. 解析: 方法一:直线 l 的普通方程为 x+2y-4=0, 设 P(2cosθ ,sinθ ),点 P 到直线 l 的距离为 π ?? |2cos θ +2sin θ -4| 1 ? ? d= = ?4-2 2sin?θ + ??, 4 ?? ? 5 5? π? ? 所以当 sin?θ + ?=1 时,d 有最小值. 4? ? π? π? π? π π? π 2 ?? ? ? 此时 sinθ =sin??θ + ?- ?=sin?θ + ?cos -cos?θ + ?sin = , 4? 4? 4? 4? 4 4 2 ? ? ?? π? π? π? π π? π 2 ?? ? ? cosθ =cos??θ + ?- ?=cos?θ + ?cos +sin?θ + ?sin = , 4 4 4 4 4 4 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 所以点 P 的坐标为? 2,

? ?

2? ?. 2?

从而椭圆 C 上到直线 l 的距离最小的点 P 的坐标为? 2,

? ?

2? ?. 2 ?

方法二:设与直线 l 平行的直线 l′的方程为 x+2y=m. 当 l′与椭圆 C 只有一个公共点且 l′与 l 距离最小时,l′与椭圆 C 的公共点即为所求 的点 P. 椭圆的普通方程为 +y =1. 4

x2

2

x ? ? +y2=1, 联立? 4 ? ?x+2y=m

2

消去 x,得 8y -4my+m -4=0.

2

2

因为 l′与椭圆 C 只有一个公共点, 2 2 所以 Δ =16m -32(m -4)=0, 解得 m=2 2或 m=-2 2. |m-4| l′与 l 的距离为 d= , 5 所以当 m=2 2时,d 最小,此时点 P 的坐标为? 2,

? ?

2? ?. 2?

-5-


相关文档

更多相关文档

【轻松突破120分】2014高考数学精炼6 文
【轻松突破120分】2014高考数学精炼3 文
2014高考数学百题精练分项解析9
2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷专题综合测试1 Word版含解析
【轻松突破120分】2014高考数学精炼16 文
电脑版