东北三省四市教研联合体2015届高考数学一模试卷(理科)


东北三省四市教研联合体 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)设集合 M={x|﹣2<x<3},N={x|2 ≤1},则 M∩(?RN)=() A.(3,+∞) B.(﹣2,﹣1] C.(﹣1,3) D.[﹣1,3) 2. (5 分)复数 A.第一象限 (i 是虚数单位)在复平面所对应的点位于的象限() B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
x+1

3. (5 分)下列四个命题中真命题的个数是() 2 ①“x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件 ②命题“?x∈R,sinx≤1”的否定是“?x∈R,sinx>1” ③“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真命题 2 ④命题 p;?x∈[1,+∞) ,lgx≥0,命题 q:?x∈R,x +x+1<0,则 p∨q 为真命题. A.0 B. 1 C. 2 D.3 4. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()
2 2

A.20

B.30

C.40

D.50

5. (5 分)将函数 f(x)=cos2x 的图象向右平移 性质() A.最大值为 a,图象关于直线 x= B. 在(0, C. 在(﹣ 对称

个单位后得到函数 g(x) ,则 g(x)具有

)上单调递增,为奇函数 , )上单调递增,为偶函数 ,0)对称

D.周期为 π,图象关于点(

6. (5 分)等比数列{an}中,a4=2,a7=5,则数列{lgan}的前 10 项和等于() A.2 B.lg50 C.10 D.5 7. (5 分)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是圆心角为 60°的扇形, 则该几何体的侧面积为()

A.12+

B.6+

C.12+2π

D.6+4π

8. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0)与椭圆

2

(a>b>0)有相同的焦点 F,点 A

是两曲线的一个公共点,且 AF⊥x 轴,则椭圆的离心率为() A. ﹣1 B. ﹣1 C. D.

9. (5 分)已知∠ABC=90°,PA⊥平面 ABC,若 PA=AB=BC=1,则四面体 PABC 的外接球(顶 点都在球面上)的表面积为() A.π B. π C . 2π D.3π 10. (5 分)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界) ,若目标函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则 的最大值是()

A.

B.

C.

D.

11. (5 分) 设 G 是△ ABC 的重心, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 若a 则角 A=() A.90°

+b

+

c

= ,

B.60°

C.45°

D.30° ,a100=a96,则 a2014+a3=() D.

12. (5 分)已知数列{an}中,an>0,a1=1,an+2= A. B. C.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. (5 分)设随机变量 x 服从正态分布 N(1,4) ,若 P(x>a+1)=P(x<2a﹣5) ,则 a=. 14. (5 分)设 a= 2xdx,则(ax﹣ ) 的展开式中常数项为.
6

15. (5 分)在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平 面内一点 P 满足 ,则
x
﹣x

=.
2x﹣1 1﹣2x

16. (5 分)已知函数 f(x)=x(e ﹣e )﹣(2x﹣1) (e 实数 x 的取值范围为.

﹣e

) ,则满足 f(x)>0 的

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B= (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 b﹣c= ,求△ ABC 的面积. ,tan(A+ )=﹣ .

18. (12 分)2014 年 7 月 16 日,中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状 况报告》 ,报告显示:我国网络购物用户已达 3.32 亿.为了了解网购者一次性购物金额情况, 某统计部门随机抽查了 6 月 1 日这一天 100 名网购者的网购情况,得到如下数据统计表.已 知网购金额在 2000 元以上(不含 2000 元)的频率为 0.4. 网购金额(元)频数频率 (0,500] 5 0.05 (500,1000] x p (1000,1500] 15 0.15 (1500,2000] 25 0.25 (2000,2500] 30 0.3 (2500,3000] y q 合计 100 1.00 (Ⅰ)确定 x,y,p,q 的值,并补全频率分布直方图;

(Ⅱ)为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关,对这 100 名网购者调查显示:购物金 额在 2000 元以上的网购者中网龄 3 年以上的有 35 人,购物金额在 2000 元以下(含 2000 元) 的网购者中网龄不足 3 年的有 20 人. ①请将列联表补充完整; 网龄 3 年以上 网龄不足 3 年 合计 购物金额在 2000 元以上 35 购物金额在 2000 元以下 20 合计 100 ②并据此列联表判断,是否有 97.5%的把握认为网购金额超过 2000 元与网龄在三年以上有 关? 参考数据: P(K ≥k) 0.15 k 2.072 (参考公式:K =
2 2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

,其中 n=a+b+c+d)

19. (12 分)已知四棱锥 P﹣ABCD,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧面 PAD 为等边三角形,底面 ABCD 为棱形且∠DAB= .

(Ⅰ)求证:PB⊥AD; (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的角(锐角)的余弦值.

20. (12 分)设抛物线的顶点在坐标原点,焦点 F 在 y 轴正半轴上,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,线段 AB 的长是 8,AB 的中点到 x 轴的距离是 3. (Ⅰ)求抛物线的标准方程;

(Ⅱ)在抛物线上是否存在不与原点重合的点 P,使得过点 P 的直线交抛物线于另一点 Q,满 足 PF⊥QF,且直线 PQ 与抛物线在点 P 处的切线垂直?并请说明理由. 21. (12 分)已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a≠0) . (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; 2 (Ⅱ)若 f(x)+(a+1)x+4﹣e≤0 对任意 x∈[e,e ]恒成立,求实数 a 的取值范围(e 为自然 常数) ; (Ⅲ) 求证 ln (2 +1) +ln (3 +1) +ln (4 +1) +…+ln (n +1) <1=2lnn! (n≥2, n∈N ) (n!=1×2×3×…×n) .
2 2 2 2 *

四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (一) 选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,A,B,C 为⊙O 上的三个点,AD 是∠BAC 的平分线,交⊙O 于点 D,过 B 作⊙O 的切线交 Ad 的延长线于点 E. (Ⅰ)证明:BD 平分∠EBC; (Ⅱ)证明:AE?DC=AB?BE.

(二)选修 4-4:坐标系与参数方程 23.设函数 f(x)=|x+2|+|2x﹣4|,g(x)=a+x. (Ⅰ)当 a=3 时,解不等式 f(x)≥g(x) ; (Ⅱ)画出函数 y=f(x)的图象,根据图象求使 f(x)≥g(x)恒成立的实数 a 的取值范围.

三、选修 4-5:不等式选讲 24.已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数) ,定点 A

(0,﹣ ) ,F1、F2 是圆锥曲线 C 的左、右焦点. (Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点 F1 且平行于直线 AF2 的直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)设(Ⅰ)中直线 l 与圆锥曲线 C 交于 M,N 两点,求|F1M|?|F1N|.

东北三省四市教研联合体 2015 届高考数学一模试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) x+1 1. (5 分)设集合 M={x|﹣2<x<3},N={x|2 ≤1},则 M∩(?RN)=() A.(3,+∞) B.(﹣2,﹣1] C.(﹣1,3) D.[﹣1,3) 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 N 中不等式的解集确定出 N,进而求出 N 的补集,找出 M 与 N 补集的交集即 可. 解答: 解:由 N 中不等式变形得:2 解得:x≤﹣1,即 N=(﹣∞,﹣1],
x+1

≤1=2 ,即 x+1≤0,

0

∴?RN=(﹣1,+∞) , ∵M=(﹣2,3) , ∴M∩(?RN)=(﹣1,3) , 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2. (5 分)复数 A.第一象限

(i 是虚数单位)在复平面所对应的点位于的象限() B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则和几何意义即可得出. 解答: 解:复数 位于第一象限. 故选:A. = = =i+1 在复平面所对应的点(1,1)

点评: 本题考查了复数的运算法则、几何意义等基础知识,属于基础题. 3. (5 分)下列四个命题中真命题的个数是() 2 ①“x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件 ②命题“?x∈R,sinx≤1”的否定是“?x∈R,sinx>1” 2 2 ③“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真命题 2 ④命题 p;?x∈[1,+∞) ,lgx≥0,命题 q:?x∈R,x +x+1<0,则 p∨q 为真命题. A.0 B. 1 C. 2 D.3 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 对四个,命题分别进行判断,即可得出结论. 解答: 解:①由 x=1,则 1 ﹣3×1+2=0,即 x ﹣3x+2=0 成立,反之,由 x ﹣3x+2=0,得: 2 x=1,或 x=2.所以,“x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件,故正确; ②命题“?x∈R,sinx≤1”的否定是“?x∈R,sinx>1”,正确; 2 2 2 2 ③“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为“若 a<b,则 am <bm ”是假命题,故不正确; 2 ④命题 p:?x∈[1,+∞) ,lgx≥0,正确,命题 q:?x∈R,x +x+1<0 错误,因为 x +x+1=
2 2 2 2

>0 恒成立,p∨q 为真,故正确.

故选:D. 点评: 此题注重对基础知识的考查,特别是四种命题之间的真假关系,复合命题的真假关 系,特称命题与全称命题的真假及否定,是学生易错点,属中档题. 4. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()

A.20

B.30

C.40

D.50

考点: 程序框图. 专题: 常规题型;算法和程序框图. 分析: 根据程序框图,列出每次执行循环体后的 S,i,T 的值,当满足条件 T>S 时,退出 循环体,输出 T 的值. 解答: 解:根据程序框图,第一次执行循环体后 S=7,i=3,T=3; 第二次执行循环体后 S=13,i=6,T=9; 第三次执行循环体后 S=19,i=9,T=18; 第四次执行循环体后 S=25,i=12,T=30;满足条件 T>S,退出循环体,输出 T=30. 故选 B.

点评: 本题通过程序框图考查了算法的三种结构,解决题目的关键是正确列出每次执行循 环体后得到的 S,i,T 的值. 5. (5 分)将函数 f(x)=cos2x 的图象向右平移 性质() A.最大值为 a,图象关于直线 x= B. 在(0, C. 在(﹣ 对称 个单位后得到函数 g(x) ,则 g(x)具有

)上单调递增,为奇函数 , )上单调递增,为偶函数 ,0)对称

D.周期为 π,图象关于点(

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据诱导公式、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得 g(x)的解析式, 再利用正弦函数的图象性质得出结论. 解答: 解:将函数 f(x)=cos2x 的图象向右平移 =sin2x 的图象, 故当 x∈(0, )时,2x∈(0, ) ,故函数 g(x)在(0, )上单调递增,为奇函数, 个单位后得到函数 g(x)=cos2(x﹣ )

故选:B. 点评: 本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的 图象性质,属于基础题. 6. (5 分)等比数列{an}中,a4=2,a7=5,则数列{lgan}的前 10 项和等于() A.2 B.lg50 C.10 D.5 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 5 分析: 由等比数列的性质和对数的运算可得 S=lga1a2…a10=lg10 ,化简可得. 解答: 解:∵等比数列{an}中,a4=2,a7=5, ∴a1a10=a2a9=…=a4a7=10, ∴数列{lgan}的前 10 项和 S=lga1+lga2+…+lga10 5 =lga1a2…a10=lg10 =5 故选:D 点评: 本题考查等比数列的性质和求和公式,涉及对数的运算,属基础题. 7. (5 分)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是圆心角为 60°的扇形, 则该几何体的侧面积为()

A.12+

B.6+

C.12+2π

D.6+4π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由俯视图为扇形及正视及侧视图为矩形知,该几何体由圆柱切割而成,故分矩形及 曲面求侧面积. 解答: 解:该几何体的侧面积由矩形的面积及曲面面积构成, 其中矩形的面积为 2×3×2=12, 曲面的面积为 ×2×3=2π,

故其侧面积 S=12+2π, 故选 C. 点评: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建 直观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力.

8. (5 分)已知抛物线 y =2px(p>0)与椭圆

2

(a>b>0)有相同的焦点 F,点 A

是两曲线的一个公共点,且 AF⊥x 轴,则椭圆的离心率为() A. ﹣1 B. ﹣1 C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 如图所示,由 AF⊥x 轴,可得 =c,分别代入椭圆与抛物线标准方程可得:
2 2 2

A

,即 A(c,2c) .代入椭圆的方程可得:

=1,又 b =a ﹣c ,利用离心

率计算公式即可得出. 解答: 解:如图所示, ∵AF⊥x 轴, ∴ =c,

把 x= 代入抛物线方程可得:y = ∴A ,即 A(c,2c) .

2

,解得 y=p.

代入椭圆的方程可得: 又 b =a ﹣c , ∴
4 2 2 2 2

=1,

=1,

化为 e ﹣6e +1=0,0<e<1. 2 解得 e =3﹣2 , ∴ ﹣1. 故选:B.

点评: 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. 9. (5 分)已知∠ABC=90°,PA⊥平面 ABC,若 PA=AB=BC=1,则四面体 PABC 的外接球(顶 点都在球面上)的表面积为() A.π B. π C . 2π D.3π 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 取 PC 的中点 O, 连结 OA、 OB. 由线面垂直的判定与性质, 证出 BC⊥PB 且 PA⊥AC, 得到△ PAC 与△ PBC 是具有公共斜边的直角三角形, 从而得出 OA=OB=OC=OP= PC, 所以 P、 A、B、C 四点在以 O 为球心的球面上.根据题中的数据,利用勾股定理算出 PC 长,进而得 到球半径 R= ,利用球的表面积公式加以计算,可得答案.

解答: 解:取 PC 的中点 O,连结 OA、OB ∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,∴PA⊥BC, 又∵AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC,

∵PB?平面 PAC,∴BC⊥PB, ∵OB 是 Rt△ PBC 的斜边上的中线,OB= PC. 同理可得:Rt△ PAC 中,OA= PC, ∴OA=OB=OC=OP= PC,可得 P、A、B、C 四点在以 O 为球心的球面上. Rt△ ABC 中,AB=BC=1,可得 AC= Rt△ PAC 中,PA=1,可得 PC= . ∴球 O 的半径 R= PC= 故选:D. ,
2

,可得球 O 的表面积为 S=4πR =3π.

点评: 本题给出特殊的三棱锥,由它的外接球的表面积.着重考查了线面垂直的判定与性 质、勾股定理与球的表面积公式等知识,属于中档题. 10. (5 分)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界) ,若目标函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则 的最大值是()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题设条件,目标函数 z=x+ay,取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边 界上而不是在顶点上,故目标函数中 y 的系数必为负,最小值应在左上方边界 AC 上取到,即 x+ay=0 应与直线 AC 平行,进而计算可得 a 值,最后结合目标函数 的几何意义求出答案

即可. 解答: 解:由题意,最优解应在线段 AC 上取到,故 x+ay=0 应与直线 AC 平行,

∵kAC= ∴﹣ = , ∴a=﹣3, 则 =

= ,

表示点 P(﹣3,0)与可行域内的点 Q(x,y)连线的斜率,

由图得,当 Q(x,y)=C(4,2)时, 其取得最大值,最大值是 故选 A. = .

点评: 本题考查线性规划最优解的判定,属于该知识的逆用题型,利用最优解的特征,判 断出最优解的位置求参数,属于中档题. 11. (5 分) 设 G 是△ ABC 的重心, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 若a 则角 A=() A.90°

+b

+

c

= ,

B.60°

C.45°

D.30°

考点: 余弦定理;平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据三角形重心的性质得到 项化简,可得 a=b= = ,可得 .由已知向量等式移 ,从而可得

,根据平面向量基本定理得到

c,最后根据余弦定理加以计算,可得角 A 的大小.

解答: 解:∵G 是△ ABC 的重心, ∴ 又∵ ∴移项化简,得 由平面向量基本定理,得 ,可得 , . ,可得 a=b= c, .

设 c=

,可得 a=b=1,由余弦定理得 cosA=

=

=



∵A 为三角形的内角,得 0°<A<180°,∴A=30°. 故选:D 点评: 本题给出三角形中的向量等式,求角 A 的大小,着重考查了三角形重心的性质、平 面向量基本定理和利用余弦定理解三角形等知识,属于中档题. 12. (5 分)已知数列{an}中,an>0,a1=1,an+2= A. B. C. ,a100=a96,则 a2014+a3=() D.

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 由数列递推式求出 a3,结合 a100=a96 求得 a96,然后由 an+2= 答案可求. 解答: 解:∵a1=1,an+2= ∴ 由 a100=a96,得 , , , 可得 a2014=a96,则

即 ∴ 则 a2014+a3=

,解得 . .

(an>0) .

故选:C. 点评: 本题考查了数列递推式,解答此题的关键是对数列规律性的发现,是中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. (5 分)设随机变量 x 服从正态分布 N(1,4) ,若 P(x>a+1)=P(x<2a﹣5) ,则 a=2. 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据随机变量符合正态分布,又知正态曲线关于 x=1 对称,得到两个概率相等的区 间关于 x=1 对称,得到关于 a 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,4) ,P(x>a+1)=P(x<2a﹣5) , ∴2a﹣5+a+1=2,

∴3a=6, ∴a=2, 故答案为:2. 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查曲线关于 x=1 对称,是一 个基础题.
6

14. (5 分)设 a=

2xdx,则(ax﹣ ) 的展开式中常数项为﹣540.

考点: 二项式系数的性质;定积分. 专题: 二项式定理. 分析: 求定积分得到 a 的值,在(ax﹣ ) 的二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等 于 0,求出 r 的值,即可求得常数项. 解答: 解:a= Tr+1= ?(﹣1) ?3
r 6

2xdx=x
6﹣r

2

=4﹣1=3,则(ax﹣ ) =(3x﹣ ) 的展开式的通项公式为 ,
6

6

6

?x

6﹣2r

令 6﹣2r=0,求得 r=3,可得(ax﹣ ) 的展开式中常数项为﹣

?3 =﹣540,

3

故答案为:﹣540. 点评: 本题主要考查求定积分,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题. 15. (5 分)在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平 面内一点 P 满足 ,则 =﹣1.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 建立坐标系,得到 A,B,C,D 的坐标,由 的数量积运算解答. 解答: 解:如图在坐标系中,A(0,2) ,B(0,0) ,C(2,0) ,D(1,2) ,所以 2) , 由 所以 =(2,0) , ,得到 =(1,1) , =(0, 得到 P 的坐标,再由向量

=(1,﹣1) (0,1)=﹣1;

故答案为:﹣1.

点评: 本题考查了向量数量积的坐标运算;关键是距离坐标系,利用坐标法解答本题. 16. (5 分)已知函数 f(x)=x(e ﹣e )﹣(2x﹣1) (e 实数 x 的取值范围为( ,1) .
x
﹣x

2x﹣1

﹣e

1﹣2x

) ,则满足 f(x)>0 的

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据条件构造函数 g(x) ,利用函数的奇偶性和单调性的性质解不等式即可 解答: 解:构造函数 g(x)=x (e +e ) , ﹣x x 则 g(x)=x(e ﹣e )为偶函数,且当 x>0 时,g(x)单调递增, ﹣x x 2x﹣1 1﹣2x 则由 f(x)>0,得 x(e ﹣e )>(2x﹣1) (e +e ) , 即 g(x)>g(2x﹣1) , ∴不等式等价为 g(|x|)>g(|2x﹣1|) , 即|x|>|2x﹣1|, 2 2 即 x >(2x﹣1) , 2 ∴3x ﹣4x+1<0, 解得: <x<1, 故答案为: ( ,1) . 点评: 本题主要考查不等式的解法,利用条件构造函数,利用函数的奇偶性和单调性是解 决本题的关键 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (12 分)△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B= (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 b﹣c= ,求△ ABC 的面积. ,tan(A+ )=﹣ .
2 x
﹣x

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由题意和内角和定理求出 A 的范围,再求出 A+ 由内角和定理即可求出角 C; (2)根据正弦定理求出 的值,代入 b﹣c= 式求出 sinA 的值,再代入三角形的面积公式求解. 解答: 解: (1)由题意知,B= ∴ <A+ <π, )=﹣ ,∴A+ = ,则 A= ,…(2 分) ,则 0<A< , ,求出 b、c 的值,利用两角和的正弦公 的范围,结合条件求出角 A,

∵tan(A+

∴C=π﹣A﹣B=

…(4 分)

(2)由正弦定理得

,则 =

=

,①…(6 分)

∵b﹣c= ,②, 由①②得,b= 、c= (8 分) ∵sinA=sin(B+C)= ∴S△ ABC= = = …(10 分) = …(12 分)

点评: 本题考查正弦定理,两角和的正弦公式,以及三角形的面积公式,注意角的范围确 定,属于中档题. 18. (12 分)2014 年 7 月 16 日,中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状 况报告》 ,报告显示:我国网络购物用户已达 3.32 亿.为了了解网购者一次性购物金额情况, 某统计部门随机抽查了 6 月 1 日这一天 100 名网购者的网购情况,得到如下数据统计表.已 知网购金额在 2000 元以上(不含 2000 元)的频率为 0.4. 网购金额(元)频数频率 (0,500] 5 0.05 (500,1000] x p (1000,1500] 15 0.15 (1500,2000] 25 0.25 (2000,2500] 30 0.3 (2500,3000] y q 合计 100 1.00 (Ⅰ)确定 x,y,p,q 的值,并补全频率分布直方图;

(Ⅱ)为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关,对这 100 名网购者调查显示:购物金 额在 2000 元以上的网购者中网龄 3 年以上的有 35 人,购物金额在 2000 元以下(含 2000 元) 的网购者中网龄不足 3 年的有 20 人. ①请将列联表补充完整; 网龄 3 年以上 网龄不足 3 年 合计 购物金额在 2000 元以上 35 购物金额在 2000 元以下 20 合计 100 ②并据此列联表判断,是否有 97.5%的把握认为网购金额超过 2000 元与网龄在三年以上有 关? 参考数据: P(K ≥k) 0.15 k 2.072 (参考公式:K =
2 2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

,其中 n=a+b+c+d)

考点: 独立性检验. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)求出网购金额在 2000 元以上的人数,可得 x,y 的值,由此能求出 x,y,p,q 的值,并补全频率分布直方图. (2)由数据可得列联表,利用公式,可得结论. 解答: 解: (1)因为网购金额在 2000 元以上的频率为 0.4, 所以网购金额在 2000 元以上的人数为 100×0.4=40 所以 30+y=40, 所以 y=10,…(1 分) x=15,…(2 分) 所以 p=0.15,q=0.1…(4 分) 所以频率分布直方图如右图…(5 分) (2)由题设列联表如下 网龄 3 年以上 网龄不足 3 年 合计 购物金额在 2000 元以上 35 5 40 购物金额在 2000 元以下 40 20 60

合计 …(7 分) 所以 K =
2

75

25

100

≈5.56>5.024…(10 分)

所以据此列联表判断,有 97.5%的把握认为网购金额超过 2000 元与网龄在三年以上有关.… (12 分)

点评: 本题考查频率分布直方图,考查独立性检验的运用,考查学生的计算能力,属于中 档题. 19. (12 分)已知四棱锥 P﹣ABCD,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧面 PAD 为等边三角形,底面 ABCD 为棱形且∠DAB= .

(Ⅰ)求证:PB⊥AD; (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的角(锐角)的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)取 AD 中点 O,连结 PO,BO,由等边三角形性质得 PO⊥AD,由菱形性质得 BO⊥AD,从而 AD⊥平面 POB,由此能证明 PB⊥AD. (Ⅱ)以 O 为原点,OA 为 x 轴,OB 为 y 轴,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,设 AB=2, 求出平面 PAB 的法向量和平面 PCD 的法向量,由此利用向量法能求出平面 PAB 与平面 PCD 所成的角(锐角)的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:取 AD 上点 O,连结 PO,BO,

∵侧面 PAD 为等边三角形,∴PO⊥AD, ∵底面 ABCD 为棱形且∠DAB= ,

∴BO⊥AD,又 PO∩BO=O, ∴AD⊥平面 POB, 又 PB?平面 POB,∴PB⊥AD. (Ⅱ)解:∵四棱锥 P﹣ABCD,侧面 PAD⊥底面 ABCD, ∴PO⊥平面 ABCD,又 OA⊥OB, ∴以 O 为原点,OA 为 x 轴,OB 为 y 轴,OP 为 z 轴, 建立空间直角坐标系,设 AB=2, 则 A(1,0,0) ,B(0, ,0) ,P(0,0, ) , C(﹣2, ,0) ,D(﹣1,0,0) , =(1,0,﹣ ) , =(0, ) ,

设平面 PAB 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,取 y= ,得 =(3, ) ,

=(﹣2,

) ,

=(﹣1,0,﹣

) ,

设平面 PCD 的法向量 =(a,b,c) , 则 ,取 c= ,得 =(﹣3,﹣ , ) ,

设平面 PAB 与平面 PCD 所成的角(锐角)为 θ, cosθ=|cos< >|=| |=| |= .

平面 PAB 与平面 PCD 所成的角(锐角)的余弦值为 .

点评: 本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系,考查线线垂 直、二面角的概念、求法等知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力,是中档题. 20. (12 分)设抛物线的顶点在坐标原点,焦点 F 在 y 轴正半轴上,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,线段 AB 的长是 8,AB 的中点到 x 轴的距离是 3. (Ⅰ)求抛物线的标准方程; (Ⅱ)在抛物线上是否存在不与原点重合的点 P,使得过点 P 的直线交抛物线于另一点 Q,满 足 PF⊥QF,且直线 PQ 与抛物线在点 P 处的切线垂直?并请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设抛物线的方程为 x =2py,由抛物线的定义和已知条件可得 p 的方程,解 p 可得; (Ⅱ)设 P(x1,y1) ,x1≠0,Q(x2,y2) ,由切线和垂直关系以及韦达定理可得 y1 的方程, 解 y1 进而可得 x1,可得符合题意的点 P. 2 解答: 解: (Ⅰ)设抛物线的方程为 x =2py(p>0) , 设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) , 由抛物线定义可知 yA+yB+p=8, 又 AB 中点到 x 轴的距离为 3, ∴yA+yB=6,∴p=2, 2 ∴抛物线的标准方程是 x =4y; (Ⅱ)设 P(x1,y1) ,x1≠0,Q(x2,y2) , 则 x =4y 在 P 处的切线方程是 y= 直线 PQ:y=﹣
2 2 2

x﹣y1,
2

x+2+y1 代入 x =4y 得 x + ,x1x2=﹣8﹣4y1,

x﹣4(2+y1)=0,

由韦达定理可得 x1+x2=

∴x2=

﹣x1,y2=

+y1+4,



=y1 ﹣2y1﹣
3 2

2

﹣7=0,

整理可得 y1 ﹣2y1 ﹣7y1﹣4=0, (y1>0) , 2 分解因式可得(y1+1) (y1﹣4)=0, 解得 y1=4,故存在点 P(±4,4)满足题意. 点评: 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,涉及抛物线的标准方程和韦达定理的应用, 属中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a≠0) . (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; 2 (Ⅱ)若 f(x)+(a+1)x+4﹣e≤0 对任意 x∈[e,e ]恒成立,求实数 a 的取值范围(e 为自然 常数) ;

(Ⅲ) 求证 ln (2 +1) +ln (3 +1) +ln (4 +1) +…+ln (n +1) <1=2lnn! (n≥2, n∈N ) (n!=1×2×3×…×n) . 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;不等式的证明. 专题: 计算题;证明题;压轴题;函数的性质及应用;导数的综合应用;等差数列与等比 数列;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)求导 f′(x)= (x>0) ,从而判断函数的单调性; ,再由导

2

2

2

2

*

(Ⅱ)令 F(x)=alnx﹣ax﹣3+(a+1)x+4﹣e=alnx+x+1﹣e,从而求导 F′(x)=

数的正负讨论确定函数的单调性,从而求函数的最大值,从而化恒成立问题为最值问题即可; (Ⅲ)令 a=﹣1,此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,从而可得 f(1)=﹣2,且 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在 (1,+∞)上单调递增,从而可得﹣lnx+x﹣1>0,即 lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+∞)成立, 从而可得若 n≥2,n∈N ,则有 ln(
2 2 2 *

+1)<


*

=

﹣ ,从而化 ln(2 +1) +1)+ln( +1)+…+ln

2

+ln(3 +1)+ln(4 +1)+…+ln(n +1)<1+2lnn!(n≥2,n∈N )为 ln( ( +1)<1(n≥2,n∈N ) ;从而证明. (x>0) ,
*

解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=

当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],单调减区间为[1,+∞) ; 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞) ,单调减区间为(0,1]; (Ⅱ)令 F(x)=alnx﹣ax﹣3+(a+1)x+4﹣e=alnx+x+1﹣e,则 F′(x)= 若﹣a≤e,即 a≥﹣e, F(x)在[e,e ]上是增函数, 2 2 F(x)max=F(e )=2a+e ﹣e+1≤0, a≤
2 2



,无解.
2

若 e<﹣a≤e ,即﹣e ≤a<﹣e, 2 F(x)在[e,﹣a]上是减函数;在[﹣a,e ]上是增函数, F(e)=a+1≤0,即 a≤﹣1. F(e )=2a+e ﹣e+1≤0,即 a≤
2 2



∴﹣e ≤a≤
2

2


2

若﹣a>e ,即 a<﹣e , 2 F(x)在[e,e ]上是减函数, F(x)max=F(e)=a+1≤0,即 a≤﹣1, 2 ∴a<﹣e ,

综上所述,a≤



(Ⅲ)证明:令 a=﹣1,此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以 f(1)=﹣2, 由(Ⅰ)知 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+∞)上单调递增, ∴当 x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1) ,即﹣lnx+x﹣1>0, ∴lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+∞)成立, ∵n≥2,n∈N ,则有 ln(
2 2 *

+1)<
2


2

=

﹣ ,
*

要证 ln(2 +1)+ln(3 +1)+ln(4 +1)+…+ln(n +1)<1+2lnn!(n≥2,n∈N ) , 只需证 ln( ln( +1)+ln( +1)+…+ln( +1) ﹣ )=1﹣ <1; +1)<1(n≥2,n∈N ) ;
*

+1)+ln(

+1)+…+ln(

<(1﹣ )+( ﹣ )+…+(

所以原不等式成立. 点评: 本题考查了导数的综合应用,放缩法证明不等式,裂项求和法等的应用,同时考查 了恒成立问题及分类讨论的数学思想应用,属于难题. 四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (一) 选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,A,B,C 为⊙O 上的三个点,AD 是∠BAC 的平分线,交⊙O 于点 D,过 B 作⊙O 的切线交 Ad 的延长线于点 E. (Ⅰ)证明:BD 平分∠EBC; (Ⅱ)证明:AE?DC=AB?BE.

考点: 相似三角形的判定;与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1) 由 BE 是⊙O 的切线, 可得∠EBD=∠BAD, 又∠CBD=∠CAD, ∠BAD=∠CAD, 从而可求∠EBD=∠CBD,即可得解. (2)先证明△ BDE∽△ABE,可得 ,即可得解. 解答: 解: (1)因为 BE 是⊙O 的切线,所以∠EBD=∠BAD…(2 分) ,又可求∠BCD=∠DBC,BD=CD,从而可得

又因为∠CBD=∠CAD,∠BAD=∠CAD…(4 分) 所以∠EBD=∠CBD,即 BD 平分∠EBC.…(5 分) (2)由(1)可知∠EBD=∠BAD,且∠BED=∠BED,有△ BDE∽△ABE,所以 (7 分) 又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC,所以∠BCD=∠DBC,BD=CD…(8 分) 所以 ,…(9 分) ,…

所以 AE?DC=AB?BE…(10 分)

点评: 本题主要考查了相似三角形的判定,与圆有关的比例线段的应用,解题时要认真审 题,注意圆的切线的性质的灵活运用,属于中档题. (二)选修 4-4:坐标系与参数方程 23.设函数 f(x)=|x+2|+|2x﹣4|,g(x)=a+x. (Ⅰ)当 a=3 时,解不等式 f(x)≥g(x) ; (Ⅱ)画出函数 y=f(x)的图象,根据图象求使 f(x)≥g(x)恒成立的实数 a 的取值范围.

考点: 绝对值不等式的解法;指数函数的图像变换. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 a=3 时,化简函数 f(x)的解析式,分类讨论求得不等式 f(x)≥g(x)的 解集. (2)画出函数 f(x)的图象,数形结合求得 f(x)的最小值为 f(2)=4,由题意可得 f(2) ≥g(2) ,由此求得 a 的范围.

解答: 解: (Ⅰ)当 a=3 时,函数 f(x)=|x+2|+|2x﹣4|=



不等式即 f(x)≥x+3. ∴ ①或 ②或 ③.

解①求得 x<﹣2,解②求得﹣2≤x≤ ,解③求得 x≥ , 综上可得,不等式的解集为(﹣∞, ]∪[ ,+∞) . (2)根据 f(x)的解析式,画出函数 f(x)的图象,如图所示: 数形结合求得 f(x)的最小值为 f(2)=4,由于 g(x)=a+x 结合由题意可得 f(2)≥g(2) , 即 4≥a+2,求得 a≤2.

点评: 本题主要考查带有绝对值的函数,函数的恒成立问题,绝对值不等式的解法,体现 了转化、数形结合、分类讨论的数学思想,属于中档题. 三、选修 4-5:不等式选讲 24.已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数) ,定点 A

(0,﹣ ) ,F1、F2 是圆锥曲线 C 的左、右焦点. (Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点 F1 且平行于直线 AF2 的直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)设(Ⅰ)中直线 l 与圆锥曲线 C 交于 M,N 两点,求|F1M|?|F1N|. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 2 2 分析: (1)利用 cos θ+sin θ=1 可得曲线 C 的普通方程,即可得出焦点坐标,得到直线 l 的点斜式方程,化为极坐标方程即可;
2

(2)直线的参数方程是

(为参数) ,代入椭圆方程得 5t ﹣4t﹣12=0,利用参数的

意义即可得出.

解答: 解: (1)圆锥曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数) ,

∴普通方程为 C: =

=1,A(0,﹣

) ,F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,

,直线 l 的方程为 y=

(x+1) , ,化为 = .

∴直线 l 极坐标方程为:

(2)直线的参数方程是
2

(为参数) ,

代入椭圆方程得 5t ﹣4t﹣12=0, ∴ ∴|F1M|?|F1N|= . .

点评: 本题考查了直线的直角坐标方程化为极坐标、椭圆的参数方程化为普通方程、参数 的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.


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