高三数学滚动试卷(一)答案


专题检测(一)
2.设全集 U=R,集合 A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln (1-x)},则图中阴影部分表示的集合为

A.{x|x≥1} C.{x|0<x≤1}

B.{x|x≤1} D.{x|1≤x<2}

解析 由 x(x-2)<0,A={x|0<x<2},由 1-x>0 得 x<1,故 B={x|x<1}, 所以 A∩B={x|0<x<1},所以?A(A∩B)={x|1≤x<2}, 答案 D 1+an 2.在数列{an}中,a1=-2,an+1= ,则 a2 010 等于 1-an A.-2 1 C.-2 解析 1 B.-3 D.3

1 1 1 由条件可得:a1=-2,a2=-3,a3=-2,a4=3,a5=-2,a6=-3,?,所以数列

1 {an}是以 4 为周期的周期数列,所以 a2 010=a2=-3.故选 B. 3.(2011· 皖南八校第二次联考)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 010)+f(2 011)的值为 A.-2 C.2 B.-1 D.1

解析 由 f(x+2)=f(x)知 f(x)是周期为 2 的函数, ∴f(-2 010)+f(2 011)=f(2 010)+f(2 011)=f(0)+f(1)=log21+log22=1. 答案 D 4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=13,S3=S11,当 Sn 最大时,n 的值是 A.5 C.7 B.6 D.8

解析 由 S3=S11,可得 a7+a8=0,根据首项等于 13 可推知这个数列递减,从而得到 a7>0, a8<0,故 n=7 时 Sn 最大.故选 C.
-1-

答案 C S3 1 S6 5.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若S =3,则S 等于
6 12

3 A.10 1 C.8

1 B.3 1 D.9

S3 3a1+3d 1 解析 由等差数列的求和公式,可得S = = ,可得 a1=2d 且 d≠0, 6 6a1+15d 3 S6 6a1+15d 27d 3 所以S = = = ,故选 A. 12 12a1+66d 90d 10 2 012π 1 ?3? log 1 ,则 a,b,c 的大小关系是 6.设 a=?2?0.1,b=ln sin , c = 3 2 ? ?
3

A.a>b>c C.b>a>c ?3? ?3? 所以 a=?2?0.1>?2?0=1; ? ? ? ? 因为 sin

B.a>c>b D.b>c>a,

2π? 2 012π 2π 3 ? ?670π+ 3 ?=sin = 2 <1, 3 =sin ? 3 ? 2 012π 3 1 1 log 1 1<c= log 1 < log 1 =1. 3 =ln 2 <ln 1=0,所以 0= 2 3
3 3 3

所以 ln sin

所以 b<0<c<1<a,故选 B. 答案 B 1 7.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t· 5n-2-5,则实数 t 的值为 A.4 4 C.5 B.5 1 D.5

1 1 4 解析 ∵a1=S1=5t-5,a2=S2-S1=5t,a3=S3-S2=4t, ?4 ? ?1 1? 由{an}是等比数列,知?5t?2=?5t-5?×4t,显然 t≠0,解得 t=5. ? ? ? ?
? ? 1 ? ? 8.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数为 f′(x)=2x+2.则数列?f?n??(n∈N+)的前 n 项和是 ? ? ? ?

A.

n+1 2?n+2?

B.

n+1 n+2
-2-

C.

n?3n+5? 4?n+1??n+2?

D.

3n+4 4?n+1?

解析 依题意得 f′(x)=mxm-1+a=2x+2, 则 m=a=2,f(x)=x2+2x, 1 ? 1 1 1?1 = 2 =2?n-n+2?, f?n? n +2n ? ?
? 1 ? ? ? 数列?f?n??的前 n 项和等于 ? ? ? ?

1 ?? 1? ?1 1? 1?? ?1 ??1-3?+?2-4?+?+?n-n+2?? 2?? ? ? ? ? ?? 1 ?? 1 1? ?1 1 1?? =2??1+2+?+n?-?3+4+?+n+2?? ? ? ?? ?? 1 1 1 ? n?3n+5? 1? =2?1+2-n+1-n+2?= ,选 ? ? 4?n+1??n+2? 1 9.如果曲线 y=x4-x 在点 P 处的切线垂直于直线 y=-3x,那么点 P 的坐标为 A.(1,0) C.(0,1) B.(0,-1) D.(-1,0)

解析 由 y′=4x3-1,当 y′=3 时,有 4x3-1=3, 可解得 x=1,此时,点 P 的坐标为(1,0).故选 A. 10.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 A.(-∞,-1] C.[3,+∞) 解析 ∵等比数列{an}中,a2=1, 1 ?1 ? ∴S3=a1+a2+a3=a2?q+1+q?=1+q+q. ? ? 1 当公比 q>0 时,S3=1+q+q≥1+2 1? ? 当公比 q<0 时,S3=1-?-q-q? ? ? ≤1-2 ? 1? ?-q?=-1, ?-q?· ? ? 1 q· q=3, B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

∴S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞). 11.(2011· 南宁模拟)函数 y=2x+1-(x+1)2 的图象大致是

-3-

解析 令 y=f(x),则 f(1)=0,f(3)=0 排除选项 B、C, 又 f(-1)>0,f(-2)<0,排除选项 D.因此选 A. 答案 A ?1? 12.(2011· 华师附中模考)已知函数 f(x)=|lg x|-?2?x 有两个零点 x1,x2,则有 ? ? A.x1x2<0 C.x1x2>1 B.x1x2=1 D.0<x1x2<1

解析 根据分析,不妨设 0<x1<1,x2>1, 根据函数零点的概念, ?1? ?1? ?1? ?1? 则有|lg x1|-?2?x1=0,|lg x2|-?2?x2=0,即-lg x1=?2?x1,lg x2=?2?x2, ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? 后面的方程减去前面的方程,得 lg(x1x2)=?2?x2-?2?x1, ? ? ? ? ?1? ?1? 由于 x2>x1,根据指数函数的性质,?2?x2-?2?x1<0, ? ? ? ? 所以 lg(x1x2)<0,即 0<x1x2<1.故选 D. 答案 D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共计 16 分.把答案填在题中的横线上) 14.函数 y= loga?3x-2?(0<a<1)的定义域是______________________.

2 解析 ∵0<3x-2≤1,∴3<x≤1. 15.已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=________. ?a2=2, 解析 由 a2=2,a4-a3=4 得方程组? 2 ?q2-q-2=0, ?a2q -a2q=4 解得 q=2 或 q=-1.又{an}是递增等比数列,故 q=2. ?1 ? 16.已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在 R 上为减函数;q:函数 f(x)=x2-2cx+1 在?2,+∞? ? ? 上为增函数,若“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为真命题,则实数 c 的取值范围是________. 三、 解答题(本大题共 6 小题, 共 74 分. 解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.
-4-

18 已知等比数列{an}的公比 q>1,4 2是 a1 和 a4 的等比中项, a2 和 a3 的等差中项为 6, 若数列 {bn}满足 bn=log2an(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Sn. 解析 (1)因为 4 2是 a1 和 a4 的等比中项,所以 a1· a4=(4 2)2=32. 从而可知 a2· a3=32.①因为 6 是 a2 和 a3 的等差中项,所以 a2+a3=12.② ?a2=4, 因为 q>1,所以 a3>a2.联立①②,解得? ?a3=8. a3 所以 q= =2,a1=2.故数列{an}的通项公式为 an=2n. a2 (2)因为 bn=log2an(n∈N+),所以 anbn=n· 2n . 所以 Sn=1· 2+2· 22+3· 23+?+(n-1)· 2n-1+n· 2n.③ 2Sn=1· 22+2· 23+?+(n-1)· 2n+n· 2n+1.④ ③-④得,-Sn=2+22+23+?+2n-n· 2n+1 2?1-2n? = -n· 2n+1. 1-2 所以 Sn=2-2n+1+n· 2n+1. 19.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨) x2 之间的函数关系式可以近似地表示为 y= 5 -48x+8 000,已知此生产线年产量最大为 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利 润是多少? y 【解】 (1)每吨平均成本为x(万元). y x 8 000 则x=5+ x -48≥2 x 8 000 x 8 000 5· x -48=32,当且仅当5= x ,即 x=200 时取等号.

∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低为 32 万元. (2)设年获得总利润为 R(x)万元, x2 则 R(x)=40x-y=40x- 5 +48x-8 000 x2 1 =- 5 +88x-8 000=-5(x-220)2+1 680(0≤x≤210). ∵R(x)在[0,210]上是增函数,
-5-

1 ∴x=210 时,R(x)有最大值为-5(210-220)2+1 680=1 660.
∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润 1 660 万元.

20.(12 分)已知定义域为 R 的奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=ln x-ax+1(a∈R). (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 y=f(x)在 R 上恰有 5 个零点,求实数 a 的取值范围. 解析 (1)设 x<0,则-x>0,∵f(x)是奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-ln(-x)-ax-1,

?ln x-ax+1 ?x>0? 当 x=0 时,f(x)=0,所以函数 f(x)=?0 ?x=0? ?-ln?-x?-ax-1?x<0?

.

(2)∵函数 f(x)是奇函数,∴函数 y=f(x)的零点关于原点对称,由 f(x)=0 恰有 5 个不同的实数 根知 5 个实数根中有两个正根、两个负根、一个零根,且两个正根和两个负根互为相反数. ∴要使方程 f(x)=0 恰有 5 个不同的实数根,只要使方程 f(x)=0 在(0,+∞)上恰有两个不同 的实数根. 下面研究 x>0 时的情况: 1 ∵f′(x)= x-a,∴当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数, ∴方程 f(x)=0 在(0,+∞)上不可能有两个不同的实数根. ? 1? -a?x-a? ? ? 当 a>0 时,f′(x)= , x 1 令 f′(x)=0,得 x=a. 1 当 0<x<a时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 1 当 x>a时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减, 1 ∴函数 f(x)在 x=a处取得极大值-ln a, 所以要使方程 f(x)=0 在(0,+∞)上恰有两个不同实数根, 只要-ln a>0,解得 0<a<1,故 a 的取值范围是(0,1). 20 21.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26.{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn;
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(2)令 bn=

(n∈N+),求数列{bn}的前 a2 n-1

1

n 项和 Tn.

解析 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 由于 a3=7,a5+a7=26,所以 a1+2d=7,2a1+10d=26,解得 a1=3,d=2. n?a1+an? 由于 an=a1+(n-1)d,Sn= ,所以 an=2n+1,Sn=n(n+2). 2 (2)因为 an=2n+1, 所以 a2 n-1=4n(n+1), 1 ? 1 1?1 因此 bn= =4?n-n+1?.故 Tn=b1+b2+?+bn 4n?n+1? ? ? 1 1 1 1 1 ? 1? =4?1-2+2-3+?+n-n+1? ? ? 1 ? 1? n =4?1-n+1?= , ? ? 4?n+1? n 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn= . 4?n+1? 22.已知函数 f(x)= 2mx-m2+1 (x∈R). x2+1

(1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 m>0 时,求函数 f(x)的单调区间与极值. 解析 (1)当 m=1 时,f(x)= 又 f′(x)= 2x 4 ,f(2)=5, x +1
2

2?x2+1?-4x2 2-2x2 6 = 2 2 2 2,则 f′(2)=- . 25 ?x +1? ?x +1?

所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 4 6 y-5=-25(x-2),即 6x+25y-32=0. (2)f′(x)= = 2m?x2+1?-2x?2mx-m2+1? ?x2+1?2

-2?x-m??mx+1? , ?x2+1?2

1 令 f′(x)=0,得 x1=-m,x2=m, 1 因为 m>0,所以-m<m, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
-7-

x f′(x) f(x)

1? ? ?-∞,-m? ? ? - ↘?

1 - m 0 极小值

? 1 ? ?-m,m? ? ? + ↗?

m 0 极大值

(m,+∞) - ↘?

1? ? ? 1 ? 所以 f(x)在区间?-∞,-m?,(m,+∞)上为减函数,在区间?-m,m?上为增函数. ? ? ? ? ? 1? 故函数 f(x)的极小值为 f?-m?=-m2, ? ? 极大值为 f(m)=1.

-8-


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