云南省昆明一中2017届高三(上)第五次月考数学试卷(解析版)(理科)


2016-2017 学年云南省昆明一中高三(上)第五次月考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 m 为实数,i 为虚数单位,若 m+(m2﹣1)i>0,则 A.﹣1 B.1 C.﹣i D.i },B={y|y=2x+lna},且 A? ?RB,则实数 a 的取值范围 =( )

2.已知集合 A={x|y= 是( )

A.[e,+∞) B.(0,e] C.(﹣∞,1] D.(0,1] 3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成 等差数列,上面 3 节的容积共 9 升,下面 3 节的容积共 45 升,则第五节的容积 为( )

A.7 升 B.8 升 C.9 升 D.11 升 4.如表是 x,y 的对应数据,由表中数据得线性回归方程为 =0.8x﹣ .那么, 当 x=60 时,相应的 为( x y 15 6 20 12 25 14 30 20 ) 35 23

A.38 B.43 C.48 D.52 5.下列说法中正确的是( )

A.“a>b”是“log2a>log2b”的充要条件 B.若函数 y=sin2x 的图象向左平移 C.命题“在△ABC 中, D.若数列{an}的前 n 项和为 6 .若双曲线 ,则 个单位得到的函数图象关于 y 轴对称 ”的逆否命题为真命题 ,则数列{an}是等比数列 的一条渐近线的倾斜角是直线 l: x ﹣ )

2y+1=0 倾斜角的两倍,则双曲线的离心率为(

A.

B.

C.

D. )

7.由 0,1,2,3,5 组成的无重复数字的五位偶数共有( A.36 个 B.42 个 C.48 个 D.120 个

8.阅读如图所示的程序框图,若输入

,则输出的 k 值是(



A.9

B.10 C.11 D.12 ,则 z=2x+y 的取值范围是( )

9.已知实数 x,y 满足约束条件

A.

B.[﹣2,0]

C.

D.

10.已知直线 l1 是抛物线 C:y2=8x 的准线,P 是 C 上的一动点,则 P 到直线 l1 与直线 l2:3x﹣4y+24=0 的距离之和的最小值为( A. B. C.6 D. ) )

11.函数 y=sin(x+17°)﹣sin(x+257°)的最大值为( A.1 B.2 C. D.

12.设定义在区间[﹣k,k]上的函数 f(x)=lg

是奇函数,且 f(﹣ )≠f

( ),若[x]表示不超过 x 的最大整数,x0 是函数 g(x)=lnx+2x+k﹣6 的零点, 则[x0]=( A.1 ) C.2 D.3

B.1 或 2

二、填空题已知向量 数 m= .

.若

,则实

14. b∈[﹣1, 1], 已知 a, 则不等式 x2﹣2ax+b≥0 在 x∈R 上恒成立的概率为



15.核算某项税率,需用公式 K=(1﹣7x)n(n∈N*).现已知 K 的展开式中各 项的二项式系数之和是 64,用四舍五入的方法计算当 到 0.001,其千分位上的数字应是 . 时 K 的值.若精确

16.四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为正方形,PA⊥底面 ABCD,AB=2,若该四棱 锥的所有顶点都在表面积为 16π 的同一球面上,则 PA= .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17 . ( 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 是 a , b , c , 且 . (1)求角 A 的大小; (2)若 ,D 是 BC 的中点,求 AD 的长.

18.(12 分)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图(如图 1)和频率分布 直方图(如图 2)都受到不同程度的污损,其中,频率分布直方图的分组区间分 别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],据此解答如 下问题.(注:直方图中[50,60)与[90,100]对应的长方形的高度一样)

(1)若按题中的分组情况进行分层抽样,共抽取 16 人,那么成绩在[80,90) 之间应抽取多少人? (2)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取 2 份分析学生失分情况,设抽取的

试卷分数在[90,100]之间 份数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 19.(12 分)如图是一几何体的直观图、主观图、俯视图、左视图. (1)求该几何体的体积 V; (2)证明:BD∥平面 PEC; (3)求平面 PEC 与平面 PDA 所成的二面角(锐角)的余弦值.

20. (12 分) 设非零向量 F1、F2 是椭圆 顶点、上顶点,若 (1)求椭圆 C 的方程;

, 规定:

(其中

) ,

的左、右焦点,点 A,B 分别是椭圆 C 的右 ,椭圆 C 的长轴的长为 4.

(2)过点 F2 的直线 l 交椭圆 C 于点 M,N,若 21.(12 分)已知函数 (1)求函数 f(x)的解析式和单调区间; .

,求直线 l 的方程.

(2)设 g(x)=﹣x2+2bx﹣4,若对任意 x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式 f (x1)≥g(x2)恒成立,求实数 b 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选 修 4-4:坐标系与参数方程] 22. (10 分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴, 建立极坐标系.已知曲线 C 的极坐标方程为:ρ=4cosθ,直线 l 的参数方程为: (t 为参数),直线 l 与 C 交于 P1,P2 两点.

(1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2)已知 Q(3,0),求||P1Q|﹣|P2Q||的值.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x+1|+|x﹣1|. (1)若? x0∈R,使得不等式 f(x0)≤m 成立,求实数 m 的最小值 M; (2)在(1)的条件下,若正数 a,b 满足 3a+b=m,求 的最小值.

2016-2017 学年云南省昆明一中高三(上)第五次月考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 m 为实数,i 为虚数单位,若 m+(m2﹣1)i>0,则 A.﹣1 B.1 C.﹣i D.i =( )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由 m+(m2﹣1)i>0,得 ,求解得到 m 的值,然后代入 ,

再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:∵m+(m2﹣1)i>0, ∴ 则 = ,解得:m=1. .

故选:D. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础 题.

2.已知集合 A={x|y= 是( )

},B={y|y=2x+lna},且 A? ?RB,则实数 a 的取值范围

A.[e,+∞) B.(0,e] C.(﹣∞,1] D.(0,1] 【考点】子集与真子集. 【分析】分别求出关于 A、B 的不等式组,求出 B 的补集,根据集合的包含关系 判断即可. 【解答】解:A={x|y= }={x|x≤1},

B=y={y|y=2x+lna}={y|y>lna}, 则?RB={y|y≤lna}, 若 A? ?RB,则 lna≥1,解得:a≥e, 则实数 a 的取值范围是[e,+∞), 故选:A. 【点评】本题考查了集合的包含关系,考查集合的运算,是一道基础题.

3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成 等差数列,上面 3 节的容积共 9 升,下面 3 节的容积共 45 升,则第五节的容积 为( )

A.7 升 B.8 升 C.9 升 D.11 升 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】设等差数列为{an},由题意可得:a1+a2+a3=9,a7+a8+a9=45,解出即可 得答案. 【解答】解:设等差数列为{an}, 由题意可得:a1+a2+a3=9,a7+a8+a9=45, ∵a1+a9=a2+a8=a3+a7=2a5, ∴上述两式相加可得:6a5=54. ∴a5=9. 故选:C. 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式及其性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题.

4.如表是 x,y 的对应数据,由表中数据得线性回归方程为 =0.8x﹣ .那么, 当 x=60 时,相应的 为( x y 15 6 20 12 25 14 30 20 ) 35 23

A.38 B.43 C.48 D.52 【考点】线性回归方程.

【分析】先计算平均数,利用线性回归方程恒过样本中心点,求出 =5,即可得 到结论. 【解答】解:由题意, =25, =15,

代入 =0.8x﹣ ,可得 =5, ∴x=60 时,相应的 =0.8×60﹣5=43, 故选 B. 【点评】本题考查线性回归方程,考查学生的计算能力,利用线性回归方程恒过 样本中心点是解题的关键.

5.下列说法中正确的是(



A.“a>b”是“log2a>log2b”的充要条件 B.若函数 y=sin2x 的图象向左平移 C.命题“在△ABC 中, D.若数列{an}的前 n 项和为 ,则 个单位得到的函数图象关于 y 轴对称 ”的逆否命题为真命题 ,则数列{an}是等比数列

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据对数函数的性质判断 A,根据三角函数的性质判断 B、C,举例判 断 D. 【解答】解:若 a=0,b=﹣1,log2a 和 log2b 无意义,故 A 错误; 若函数 y=sin2x 的图象向左平移 函数的解析式为 y=sin2(x﹣ 确; 在△ABC 中,令 A= ,则 sinA= < ,此命题是假命题, 个单位, )=sin(2x﹣ ),图象关于 y 轴对称,故 B 正

故其逆否命题为假命题,故 C 错误; 数列{1,2,5}和是 8=23,但数列不是等比数列,故 D 错误; 故选:B. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查对数函数以及三角函数的性质,是一道

中档题.

6 .若双曲线

的一条渐近线的倾斜角是直线 l : x ﹣ )

2y+1=0 倾斜角的两倍,则双曲线的离心率为( A. B. C. D.

【考点】直线与双曲线的位置关系. 【分析】由题意,tanα= ,tan2α= 结论. 【解答】解:由题意,tanα= ,tan2α= ∴ = , ∴e= 故选 A. 【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查二倍角公式的运用,属于中档题. = , = , = ,得出 = ,利用 e= 得出

7.由 0,1,2,3,5 组成的无重复数字的五位偶数共有( A.36 个 B.42 个 C.48 个 D.120 个



【考点】排列、组合的实际应用. 【分析】分两类,当末尾是 0 时和末尾不是 0 时,根据分类计数原理可得答案. 【解答】解:末尾是 0 时,有 A44=24 种; 末尾不是 0 时,有 1 种选择,首位有 3 种选择,中间任意排,故有 C11C31A33=18 种 故共有 24+18=42 种. 故选:B 【点评】 本题考查计数原理的运用, 考查学生分析解决问题的能力, 属于基础题.

8.阅读如图所示的程序框图,若输入

,则输出的 k 值是(



A.9

B.10 C.11 D.12

【考点】程序框图. 【分析】根据程序框图的流程,计算运行 n 次的结果,根据输入 满足的条件,从而求出输出的 k 值. 【解答】解:由程序框图知第一次运行 s=0+ 第二次运行 s=0+ … ∴第 n 次运行 s=0+ ) = ×(1﹣ 当输入 a= 故选:D. 【点评】 本题考查了直到型循环结构的程序框图,由程序框图判断程序运行的功 能,用裂项相消法求和是解答本题的关键,属于基础题. )= , + +…+ = × (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ,k=3; ,k=2; ,判断 n

时,由 S>a 得 n>10,程序运行了 11 次,输出的 k 值为 12.

9.已知实数 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的取值范围是(



A.

B.[﹣2,0]

C.

D.

【考点】简单线性规划. 【分析】由题意作出其平面区域,将 z=2x+y 化为 y=﹣2x+z,z 相当于直线 y=﹣ 2x+z 的纵截距,由几何意义可得最小值,利用直线与圆的位置关系求解 z 的范围 即可.

【解答】解:由题意作出约束条件

的平面区域,

将 z=2x+y 化为 y=﹣2x+z,z 相当于直线 y=﹣2x+z 的纵截距, 由 解得,A(﹣1,0);此时 z=2x+y 的最小值为:﹣2. 解得,﹣2 ≤z , ].

综上 Z=2x+y 的取值范围为[﹣2,2 故选:A.

【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,考查数形结合以及转化思 想的应用,属于中档题.

10.已知直线 l1 是抛物线 C:y2=8x 的准线,P 是 C 上的一动点,则 P 到直线 l1 与直线 l2:3x﹣4y+24=0 的距离之和的最小值为( )

A.

B.

C.6

D.

【考点】直线与抛物线的位置关系. 【分析】由题意可知:点 P 到直线 3x﹣4y+24=0 的距离为丨 PA 丨,点 P 到 x=﹣ 2 的距离为丨 PB 丨,则点 P 到直线 l2:3x﹣4y+24=0 和 x=﹣2 的距离之和为丨 PF 丨+丨 PB 丨,当 A,P 和 F 共线时,点 P 到直线 l2:3x﹣4y+24=0 和直线 x=﹣2 的距离之和的最小,利用点到直线的距离公式,即可求得答案. 【解答】解:由抛物线的方程,焦点 F(2,0), 准线方程 x=﹣2,根据题意作图如右图, 点 P 到直线 l2:3x﹣4y+24=0 的距离为丨 PA 丨, 点 P 到 x=﹣2 的距离为丨 PB 丨; 而由抛物线的定义知:丨 PB 丨=丨 PF 丨, 故点 P 到直线 l2:3x﹣4y+24=0 和 x=﹣2 的距离之和为 丨 PF 丨+丨 PA 丨, 而点 F(2,0),到直线 l2:3x﹣4y+24=0 的距离为 =6,

P 到直线 l2:3x﹣4y+24=0 和直线 x=﹣2 的距离之和的最小值:6, 故选:C.

【点评】 本题考查抛物线的定义的应用及简单几何性质,考查点到直线的距离公 式,考查计算能力,属于中档题.

11.函数 y=sin(x+17°)﹣sin(x+257°)的最大值为(



A.1

B.2

C.

D.

【考点】三角函数的最值;两角和与差的正弦函数. 【分析】 根据诱导公式、 两角和的正弦函数、 角之间的关系化简函数 y 的解析式, 由正弦函数的最大值求出此函数的最大值. 【解答】解:由题意得,y=sin(x+17°)﹣sin(x+257°) =sin(x+17°)﹣sin(180°+x+77°) =sin(x+17°)+sin[60°+(x+17°)] =sin(x+17°)+ = sin(x+17°)+ = = [ cos(x+17°)+ sin(x+17°) cos(x+17°)

sin(x+17°)+ cos(x+17°)] = ,

因为 sin(x+47°)的最大值是 1,所以函数 y 的最大值是 故选:D.

【点评】本题考查正弦函数的最值,诱导公式、两角和的正弦函数,以及变角在 化简中的应用,考查化简、变形能力.

12.设定义在区间[﹣k,k]上的函数 f(x)=lg

是奇函数,且 f(﹣ )≠f

( ),若[x]表示不超过 x 的最大整数,x0 是函数 g(x)=lnx+2x+k﹣6 的零点, 则[x0]=( A.1 ) C.2 D.3

B.1 或 2

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】利用定义在区间[﹣k,k]上的函数 f(x)=lg 是奇函数,求出 m=1,

0<k<1,利用函数 g(x)=lnx+2x+k﹣6 在(0,+∞)上单调递增,g(2)=ln2+k ﹣2<0,g(3)=ln3+k>0,即可得出结论. 【解答】解:∵定义在区间[﹣k,k]上的函数 f(x)=lg ∴f(﹣x)=﹣f(x),∴1﹣m2x2=1﹣x2,∴m=±1, m=﹣1 时,f(x)=0,不满足 f(﹣ )≠f( ),∴m=1, 是奇函数,

∴f(x)=lg

,定义域为(﹣1,1),

∴[﹣k,k]? [﹣1,1],∴0<k<1, ∵函数 g(x)=lnx+2x+k﹣6 在(0,+∞)上单调递增, g(2)=ln2+k﹣2<0,g(3)=ln3+k>0, ∴x0∈(2,3), ∴[x0]=2, 故选 C. 【点评】本题考查函数奇偶性,考查函数的零点,考查学生的计算能力,属于中 档题.

二 、 填 空 题 ( 2016

秋 ? 五 华 区 校 级 月 考 ) 已 知 向 量 .若 ,则实数 m= ﹣4 .

【考点】平行向量与共线向量. 【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理,列出方程解方程即可. 【解答】解:向量 则 +2 =(1,4), 又 , ,

∴m﹣4×(﹣1)=0, 解得 m=﹣4. 故答案为:﹣4. 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题,是基础题.

14.已知 a,b∈[﹣1,1],则不等式 x2﹣2ax+b≥0 在 x∈R 上恒成立的概率为 . 【考点】几何概型. 【分析】由于涉及两个变量,故以面积为测度,计算概率. 【解答】解:a,b∈[﹣1,1],则区域面积为 4, 不 等 式 x2 ﹣ 2ax+b ≥ 0 在 x ∈ R 上 恒 成 立 , 则 4a2 ﹣ 4b ≤ 0 , 区 域 面 积 为

2

= ,

∴不等式 x2﹣2ax+b≥0 在 x∈R 上恒成立的概率为 , 故答案为 . 【点评】本题主要考查概率的建模和解模能力,本题涉及两个变量,故以面积为 测度,再求比值.

15.核算某项税率,需用公式 K=(1﹣7x)n(n∈N*).现已知 K 的展开式中各 项的二项式系数之和是 64,用四舍五入的方法计算当 到 0.001,其千分位上的数字应是 【考点】二项式定理的应用. 【分析】利用二项式系数和公式 2n,列出方程求出 n,利用二项式定理将二项式 展开求出近似值. 【解答】解:由 2n=64,得 n=6. 于是 y≈C60+C61? =1﹣0.18+0.0135≈0.834. 故答案为:4 【点评】 本题考查二项式系数和公式是 2n; 利用二项式定理的展开式求二项式的 近似值. +C62 4 . 时 K 的值.若精确

16.四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为正方形,PA⊥底面 ABCD,AB=2,若该四棱 锥的所有顶点都在表面积为 16π 的同一球面上,则 PA= 【考点】球的体积和表面积. 【分析】连结 AC、BD,交于点 E,则 E 是 AC 中点,取 PC 中点 O,连结 OE,推 导出 O 是该四棱锥的外接的球心,可得球半径,由四棱锥的所有顶点都在表面 积为 16π,建立方程求出 PA 即可. 【解答】解:连结 AC,BD 交于点 E,取 PC 的中点 O,连结 OE,则 OE∥PA,所 以 OE⊥底面 ABCD,则 O 到四棱锥的所有顶点的距离相等,即 O 球心,均为 .

=

, )2=16π,解得 PA= ,

所以由球的表面积可得 4π( 故答案为: .

【点评】本题考查四面体的外接球的表面积,考查勾股定理的运用,是中档题, 解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17.(12 分)(2016 秋?五华区校级月考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分 别是 a,b,c,且 (1)求角 A 的大小; (2)若 ,D 是 BC 的中点,求 AD 的长. .

【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】(1)利用正弦定理、和差公式即可得出. (2)解法一:由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=4,可得 a=2,再利用勾股定理 的逆定理可得 解法二:由 【解答】解:(1)由 利用正弦定理可得, 从而可得 又 B 为三角形的内角,所以 sinB≠0,于是 , . ,再利用余弦定理即可得出. ,利用数量积运算性质即可得出. . ,

又 A 为三角形内角,∴



(2)解法一:由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=4? a=2, 又∵ ∴ 解法二:∵ ∴ ∴ . , , ,∴△ABC 是直角三角形, ,∴ . ,

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、勾股定理的逆定理、数量积 运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

18.(12 分)(2016 秋?五华区校级月考)如图所示,某班一次数学测试成绩的 茎叶图(如图 1)和频率分布直方图(如图 2)都受到不同程度的污损,其中, 频率分布直方图的分组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100],据此解答如下问题.(注:直方图中[50,60)与[90,100]对应的 长方形的高度一样)

(1)若按题中的分组情况进行分层抽样,共抽取 16 人,那么成绩在[80,90) 之间应抽取多少人? (2)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取 2 份分析学生失分情况,设抽取的 试卷分数在[90,100]之间 份数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】(1)由茎叶图求出总人数,得到分数在[80,90)的人数,然后求解成 绩在[80,90)之间应抽人数.

(2)分数在[80,90)的人数为 6,分数在[90,100]的人数为 4,得到 ξ 的可能 取值为:0,1,2,求出概率,得到分布列,求解期望即可. 【解答】解:(1)由茎叶图知分数在[50,60)的人数为 4,[60,70)的人数 为 8,[70,80)的人数为 10, 由频率分布直方图知:[50,60)与[90,100]的人数都为 4, 故总人数为 90) 32﹣4﹣8﹣10﹣4=6, , ∴分数在[80, 的人数为: 人.

∴成绩在[80,90)之间应抽:

(2)∵分数在[80,90)的人数为 6,分数在[90,100]的人数为 4, ∴ξ 的可能取值为:0,1,2, ∵ ∴ξ 的分布列为 ξ P ∴ . 0 1 2 ,

【点评】 本题考查茎叶图以及频率分布直方图的应用,离散性随机变量的分布列 以及期望的求法,考查计算能力.

19.(12 分)(2016 秋?五华区校级月考)如图是一几何体的直观图、主观图、 俯视图、左视图. (1)求该几何体的体积 V; (2)证明:BD∥平面 PEC; (3)求平面 PEC 与平面 PDA 所成的二面角(锐角)的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】(1)判断几何体底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,四边形 APEB 是直角 梯形,求出底面面积以及高,转化求解几何体的体积即可. (2)取 PC 的中点 F,连接 BD 与 AC 交于点 M,连接 FM,EF.证明 EF∥BM, 推出 BD∥平面 PEC. (3)以 BC,BA,BE 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,平 面 PDA 的一个法向量.平面 PEC 的法向量,利用空间向量的数量积求解即可. 【解答】 (1)解:由三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,四边形 APEB 是直角梯形,PA⊥平面 ABCD,CB⊥平面 APEB,PA=AB=2EB=4,CB=4.连接 AC, ∴ = .

(2)证明:如图,取 PC 的中点 F,连接 BD 与 AC 交于点 M,连接 FM,EF. ∴ ,∴FM∥EB,FM=EB,

故四边形 BMFE 为平行四边形,∴EF∥BM, 又 EF? 平面 PEC,BD?平面 PEC,∴BD∥平面 PEC.

(3)解:如图,分别以 BC,BA,BE 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 C(4,0,0),E(0,0,2),A(0,4,0),p(0,4,4), ∴ 为平面 PDA 的一个法向量. ,则 ,

设平面 PEC 的法向量为

令 x=1,∴

,∴

, .

∴平面 PEC 与平面 PDA 所成的二面角(锐角)的余弦值为

【点评】 本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面平行以及几何体的体积的 求法,考查空间想象能力以及计算能力.

20 . ( 12 分 ) ( 2016 秋 ? 五 华 区 校 级 月 考 ) 设 非 零 向 量 (其中 F 1、 F2 是椭圆 ) ,

,规定:

的左、右焦点,点 A,B 分别是椭圆 C 的右顶点、上顶点,若 C 的长轴的长为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 F2 的直线 l 交椭圆 C 于点 M,N,若 【考点】椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题.

,椭圆

,求直线 l 的方程.

【分析】(1)由题意求出 a 利用新定义求出 b,即可求解椭圆 C 的方程. (2)①当直线 l 为:y=0,验证是否符合题意;②当直线 l 不在 x 轴上时,由(1) 知 F2 为(1,0),设 l 为:x=my+1,将其代入椭圆 C 的方程利用韦达定理以及 弦长公式,通过三角形的面积,求出 m,得到直线方程. 【解答】解:(1)由题意:2a=4? a=2, ∴ ,∴所求椭圆 C 为: . ,

(2)①当直线 l 为:y=0,即在 x 轴上时, 不符合题意; ②当直线 l 不在 x 轴上时,由(1)知 F2 为(1,0), 设 l 为:x=my+1,将其代入椭圆 C 的方程得:(3m2+4)x2+6my﹣9=0,









又 = 解得:m2=1 或 (舍去),即 m=±1. ,

综上,直线 l 的方程为:y=x﹣1 或 y=﹣x+1. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,椭圆的简单性质的应用,直线与椭圆的位 置关系的应用,考查计算能力.

21 . ( 12

分 ) ( 2016

秋 ? 五 华 区 校 级 月 考 ) 已 知 函 数 .

(1)求函数 f(x)的解析式和单调区间; (2)设 g(x)=﹣x2+2bx﹣4,若对任意 x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式 f (x1)≥g(x2)恒成立,求实数 b 的取值范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)利用函数的导数,求解 f′(2),推出函数的解析式,通过导函数 的符号,得到函数的单调区间. (2)若对任意 x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式 f(x1)≥g(x2)恒成立,问 题等价于 f(x)min≥g(x)max,分别求解两个函数的最小值,通过 b 的范围讨论 推出结果. 【解答】解:(1) ∴ ∴ ∴ ,∴ , , , ,

由 x>0 及 f'(x)>0 得 1<x<3;由 x>0 及 f'(x)<0 得 0<x<1 或 x>3, 故函数 f(x)的单调递增区间是(1,3),单调递减区间是(0,1),(3,+ ∞).

(2)若对任意 x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式 f(x1)≥g(x2)恒成立, 问题等价于 f(x)min≥g(x)max, 由(1)可知,在(0,2)上,x=1 是函数 f(x)的极小值点, 这个极小值点是唯一的极值点,故也是最小点, 所以 ,g(x)=﹣x2+2bx﹣4,x∈[1,2],

当 b<1 时,g(x)max=g(1)=2b﹣5; 当 1≤b≤2 时, ;

当 b>2 时,g(x)max=g(2)=4b﹣8; 问题等价于 解得 b<1 或 或 或 b?φ,即 . 或 , ,

所以实数 b 的取值范围是

【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的最值的求法,考查转化思想以 及计算能力.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选 修 4-4:坐标系与参数方程] 22.(10 分)(2016 秋?五华区校级月考)在平面直角坐标系中,以坐标原点为 极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线 C 的极坐标方程为: ρ=4cosθ,直线 l 的参数方程为: P2 两点. (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2)已知 Q(3,0),求||P1Q|﹣|P2Q||的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】(1)曲线 C 的极坐标方程转化为 ρ2=4ρcosθ,由 能求出曲 (t 为参数),直线 l 与 C 交于 P1,

线 C 的直角坐标方程,直线 l 消去参数 t 得能求出直线 l 的直角坐标方程. (2)将直线 l 的参数方程代入 x2+y2=4x,得: 在圆 C 的内部,能求出||P1Q|﹣|P2Q||的值. 【解答】解:(1)∵曲线 C 的极坐标方程为:ρ=4cosθ,∴ρ2=4ρcosθ, 由 得 x2+y2=4x, ,再由点 Q(3,0)

即 C 的直角坐标方程为:(x﹣2)2+y2=4, ∵直线 l 的参数方程为: (t 为参数), . , ,

∴直线 l 消去参数 t 得直线 l 的普通方程为: (2)将直线 l 的参数方程代入 x2+y2=4x,得: 设 P1,P2 的对应参数分别为 t1,t2,∴ 而(3﹣2)2+02<4,即点 Q(3,0)在圆 C 的内部, ∴ .

【点评】本题考查曲线的直线坐标方程、直线的普通方程的求法,考查两线段的 之差的绝对值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极坐标、直线坐标互 化公式的合理运用.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.(2016 秋?五华区校级月考)已知函数 f(x)=|x+1|+|x﹣1|. (1)若? x0∈R,使得不等式 f(x0)≤m 成立,求实数 m 的最小值 M; (2)在(1)的条件下,若正数 a,b 满足 3a+b=m,求 【考点】绝对值不等式的解法;基本不等式. 【分析】(1)由绝对值不等式的性质,求得 f(x)的最小值,令 m 不小于最小 值,即可得到所求 M; (2)由题意可得 3a+b=2,运用乘 1 法和基本不等式,即可得证. 【解答】解:(1)由题意,不等式|x+1|+|x﹣1|≤m 有解,即 m≥(|x+1|+|x 的最小值.

﹣1|)min=M. ∵|x+1|+|x﹣1|≥|(x+1)﹣(x﹣1)|=2,当且仅当(x+1)(x﹣1)≤0? ﹣1 ≤x≤1 时取等号, ∴M=2. (2)由(1)得 3a+b=2, ∴ = 当且仅当 故 . , 时取等号,

【点评】 本题考查绝对值不等式的性质的运用: 求最值, 考查存在性问题的解法, 以及基本不等式的运用,注意运用乘 1 法和满足的条件:一正二定三等,考查化 简整理的运算能力,属于中档题.


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