2015届绵阳一诊(文科)数学试卷及答案


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绵阳市高 2012 级第一次诊断性考试

数学 ( 文史类 ) 参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BBDDC BACCA 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11 . ?

3 5

12 . - 1

13 . - 2

14 . 15

15 . (0 , 2)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16 . 解: ( Ⅰ) f ( x) ? 2 m· n - 1 ? 2 sin?x ? cos ?x ? 2 cos 2 ?x ? 1 = sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ? 由题意知: T ? ? ,即

?
4

) . …………………………… 6 分

2? ? ? ,解得 ? ? 1 .………………………………… 7 分 2?

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ) 知 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ∵

?
4

),

3? 7? ? ≤ 2x ? ≤ , 12 4 6 4 4 7? 3? 又函数 y =sin x 在 [ , ] 上是减函数, 12 4

?

≤x≤

?

,得

∴ f ( x) max ?

2 sin

? 2 sin cos ? 2 cos sin 4 3 4 3
=

7? ? ? ? 2 sin( ? ) …………………………………… 10 分 12 4 3 ? ? ? ?

3 ?1 .………………………………………………………… 12 分 2

?2 ? t ? 0, 2) .…………………… 3 分 17 . 解: ( Ⅰ) 由题知 ? 解得 1 ? t ? 2 ,即 D ? [1, ?t ? 1 ? 0,
( Ⅱ ) g ( x )= x 2 +2 mx - m 2 = ( x ? m)2 ? 2m2 ,此二次函数对称轴为 x ? ?m .…… 4 分

2) 上单调递减,不存在最小值; ① 若 ? m ≥ 2 ,即 m ≤ - 2 时, g ( x ) 在 [1, ? m) 上单调递减, (?m , 2] 上递增,此时 ②若 1 ? ? m ? 2 ,即 ? 2 ? m ? ?1 时, g ( x ) 在 [1,

g ( x) min ? g (?m) ? ?2m2 ? 2 ,此时 m 值不存在;
2) 上单调递增, ③? m ≤ 1 即 m ≥ - 1 时, g ( x ) 在 [1,
此时 g ( x)mi n ? g (1) ? 1 ? 2m ? m2 ? 2 ,解得 m =1 . ………………………… 11 分 综上: m ? 1 . ………………………………………………………………… 12 分

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18 . 解 : ( Ⅰ) AB ? 5 , cos ?ABC ?

1 , BC ? 4 , 5
2 6 , 5

又 ?ABC ? (0, ? ) ,所以 sin?ABC ? 1 ? cos2 ?ABC ?
∴ S ?ABC ?

1 1 2 6 BA ? BC ? sin ?ABC ? ? 5 ? 4 ? ?4 6. ……………… 6 分 2 2 5 ( Ⅱ ) 以 BA,BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE ,如图,
则 cos ?BCE ? ? cos ?ABC ? ? , BE =2 BD =7 ,

1 5

A
D B C

E

CE = AB =5 , 在△ BCE 中,由余弦定理:

BE 2 ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE .

1 即 49 ? CB2 ? 25 ? 2 ? 5 ? CB ? (? ) , 5
解得: CB ? 4 . ……………………………………………………………… 10 分 19 . 解 : ( Ⅰ) 由 S3 ? 9,a5 ? a3 ? a8 ,
2

3? 2 ? d ? 9, ?3a1 ? 2 得: ? 解得: a1 ? 2,d ? 1 . ?(a ? 4d ) 2 ? (a ? 2d ) ? (a ? 7d ), 1 1 ? 1
∴ an ? n ? 1 , S n ?

n(2 ? n ? 1) n 2 3 ? ? n . ………………………………… 5 分 2 2 2
……………………………………………… 6 分

( Ⅱ ) 由题知 cn ? n2 ? ? (n ? 1) . 若使 {cn } 为单调递增数列,

则 cn ?1 ? cn ? (n ? 1)2 ? ? (n ? 2) ? [n2 ? ? (n ? 1)] = 2n ? 1 ? ? ? 0 对一切 n ∈ N * 恒成立, 即: ? ? ?2n ? 1 对一切 n ∈ N * 恒成立, 又 ? (n) ? ?2n ? 1 是单调递减的 , ∴ 当 n ? 1 时, ? (n) max = - 3 , ∴ ? ? ?3 . ………………………………………………………………… 12 分 20 . ( Ⅰ ) 证明 : 由 f ( x) ? e x ? ax ? 1,得 f ?( x) ? e x ? a .………………………… 1 分 由 f ?( x) >0 ,即 e x ? a >0 ,解得 x >ln a ,同理由 f ?( x) <0 解得 x <ln a , ∴ f ( x) 在 ( - ∞, ln a ) 上是减函数,在 (ln a , + ∞ ) 上是增函数, 于是 f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值. 又∵ 函数 f ( x) 恰有一个零点,则 f ( x)min ? f (ln a) ? 0 , ………………… 4 分 即 eln a ? a ln a ? 1 ? 0 .………………………………………………………… 5 分 化简得: a ? a ln a ?1 ? 0 , 即a ln a ? a ?1, 于是ln aa ? a ?1 , ∴ a a ? e a ?1 . ………………………………………………………………… 6 分 ( Ⅱ ) 解 :由 ( Ⅰ ) 知, f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值 f (lna ) , 由题意得 f (ln a ) ≥ 0 ,即 a ? a ln a ? 1 ≥ 0 ,…………………………………… 8 分 令 h(a) ? a ? a ln a ? 1,则 h?(a) ? ? ln a ,
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………………………………… 10 分

由 h?(a) ? 0 可得 0< a <1 ,由 h?(a) ? 0 可得 a >1 . ∴ h(a) 在 (0 , 1) 上单调递增,在 (1 , + ∞ ) 上单调递减,即 h(a)max ? h(1) ? 0 , ∴ 当 0< a <1 或 a >1 时, h ( a )<0 , ∴ 要使得 f ( x) ≥ 0 对任意 x ∈ R 恒成立, a ? 1. ∴ a 的取值集合为 {1} …………………………… 13 分 21 . 解 : ( Ⅰ ) a ? b ? 1 时, f ( x) ? ∴ f (1) ? ?

1 2 1 x ? x ? ln x , f ?( x) ? x ? 1 ? , 2 x

1 , k ? f ?(1) ? 1 ,………………………………………………… 2 分 2 故 f ( x) 点 ( 1, f (1) ) 处的切线方程是 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 .…………………… 3 分
ax 2 ? bx ? 1 a 2 . x ? bx ? ln x ,x ? ?0 , ? ?? ,得 f ?( x) ? x 2 1 ? bx (1) 当 a ? 0 时, f ?( x) ? . x
( Ⅱ ) 由 f ?x ? ? ①若 b ≤ 0 ,

? ?) . 由 x ? 0 知 f ?( x) ? 0 恒成立,即函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0,
……………………………………………… 5 分 ②若 b ? 0 ,

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . b b 1 1 即函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0 , ) ,单调递减区间是 ( , +∞) . b b
当0? x? …………………………………………… 7 分 (2) 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,得 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 , 由 ? ? b 2 ? 4a ? 0 得 x1 ? 显然, x1 ? 0 ,x2 ? 0 , 当 0 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调递增, 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调递减,

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a ,x2 ? . 2a 2a

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a ) ,单调递减区间是 ( , 2a 2a +∞) .……………………………………………………………… 9 分
所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0 , 综上所述:

? ?) ; 当 a =0 , b ≤ 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0,
当 a =0 , b >0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0 , 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0 ,

1 1 ) ,单调递减区间是 ( , +∞) ; b b

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a ) ,单调递减区间是 ( , 2a 2a +∞) . …………………………………………………………… 10 分 ( Ⅲ ) 由题意知函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得最大值.
由 (II) 知,

b ? b 2 ? 4a 是 f ( x) 的唯一的极大值点, 2a
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b ? b 2 ? 4a =2 ,整理得 ? 2b ? ?1 ? 4a . 2a 于是 ln(?a ) ? (? 2 b ) ? ln( ?a )? ( ?1 ? a 4 )? ln( ? a ) ? 1 ? a4
故 令 g ( x) ? ln x ? 1 ? 4 x( x ? 0) ,则 g ?( x ) ? 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 ? 4. x

1 1 1 ,当 x ? (0 , ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增;当 x ? ( ,? ?) 时, 4 4 4

g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减.

1 1 ? 0 ,又 ? a ? 0 , 4 4 ?a) ? 1 ? 4a ? 0 ,即 ln(?a ) ? ? 1? 4 a ? ?2 b, 故 g (?a) ? 0 ,即 ln (
因此对任意 x ? 0 , g ( x) ≤ g ( ) ? ln ∴ ln(?a) ? ?2b .…………………………………………………………… 14 分

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