直线和抛物线的位置关系学案


高二数学选修 2--1 学案

姓名 直线和抛物线的位置关系 2.4.3

班级

【学习目标】 1.掌握抛物线定义及其标准方程和抛物线的几何性质., 2.掌握直线和抛物线的位置关系的判断方法. 3.熟练掌握直线和抛物线的位置关系的应用 【预习达标】 1.直线与抛物线的位置关系: (1)位置关系的判定:
2 2 2 2 联立直线 l : y ? kx ? m 和抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 消 y 整理得: k x ? 2(km ? p) x ? m ? 0

当a ? 0时 ? ? 0 ?直线与抛物线相交,有两个不同公共交点 ? ? 0 ? 直线与抛物线相切,只有一个公共交点 ? ? 0 ? 直线与抛物线相离,没有公共交点 当 a ? 0 时,则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时直线与抛物线相交,只 有一个公共交点,但不能成为相切 (2) 若直线与抛物线相交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 则弦长 AB ? 1 ? k
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 或

AB ? 1 ?

1 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ,特别注意解题是结合韦达定理来处理问题 k2
p ,0) 的直线与抛物线交于 A( x1 , y1 ), B( x1 , y1 ) , 2
,则有

2.焦点弦问题: 设过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ( 直线 与

的斜率分别为 k1 , k 2 ,直线 的倾斜角为

2 ① y1 y2 ? ? p ;② x1 x 2 ?

2p p2 ;③ k1k 2 ? ?4 ;④ AB ? x1 ? x 2 ? p ? , sin 2 ? 4

⑤ FA ?

p p 1 1 2 , FB ? ;⑥ ? ? , 1 ? cos ? 1 ? cos ? AF BF p
0

⑦过 A, B 两点做准线的垂线,垂足分别为 M , N ,则 ?MFN ? 90 , ⑧通径 AB ? 2P ;⑨以弦 AB 长为直径的圆总与准线相切

直线和抛物线的位置关系 2.4.3

1

【例题讲解】
题型一:直线和抛物线位置关系 例 1.设抛物线 y 2 ? 8x 的准线与 x 轴交于点 Q , 若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点, 求直线 l 的斜率的取值范围 (

??1,1?



例 2.已知直线 l : y ? kx ? 1 和抛物线 y 2 ? 8x (1)若直线 l 与抛物线有两个公共点,求 k 的取值范围 (2)若直线 l 与抛物线只有一个公共点,求 k 的取值范围 (3)若直线 l 与抛物线没有公共点,求 k 的取值范围 变式练习: 1.已知直线 y ? kx ? k 及抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,请判断直线和抛物线的位置关系 2.已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值. ( a ? 0, ?1, ? 3. 求过定点 P(0,1) 且与抛物线 y 2 ? 2 x 只有一个公共点的直线的方程。 ( x ? 0 或 y ? 1或 y ?

4 ) 5

1 x ?1 ) 2

2 4.已知直线 l : y ? x ? b 与抛物线 C : x ? 4 y 相切于点 A

(1)求实数 b 的值 (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程 题型二:和弦长有关问题
2 例 3.已知直线 y ? kx ? 2 交抛物线 y ? 8x 于 A, B 两点, 且 AB 的中点为 M (2, y0 ) , 求 y0

及弦 AB 的长
2 例 4. 已知抛物线 y ? ? x 与直线 y ? k ( x ? 1) 相交于 A, B 两点,当 ?OAB 的面积等于

10 时,求 k 的值
变式练习:

直线和抛物线的位置关系 2.4.3

2

1. 经过 y 2 ? 8x 的焦点 F 作与对称轴成

? 的直线与抛物线相交于 A、B 两点,求|AB|。 3

2.已知抛物线 y 2 ? 4 x 截直线 y ? 2 x ? b 所得的弦 AB 的长为 3 5 , P 是其对称轴上一点, 若 S△PAB=39,求 P 点的坐标。 【 P(15,0)或(-11,0) 】

3. 已知抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点为 F,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B. (1) 若 AB ?
16 ,求直线 l 的方程. 3

(2) 求 AB 的最小值.

题型三:中点弦问题 例 5. 已知抛物线 y 2 ? 6 x ,过点 P(4,1) 引一弦,使它恰好在点 P 被平分,求这条弦所在 的直线方程 变式练习: 1 已知抛物线 y 2 ? 6 x ,求过点 (0,1) 的直线被抛物线所截得弦中点的轨迹方程 2.已知抛物线 y 2 ? 6 x 及定点 M (4,3) ,求被点 M 平分的抛物线的弦所在直线的方程, 并求此弦长。 3.已知抛物线 y ? ?8x ,过点 P(?1,1) 引一条弦,使此弦在 P 点处被平分,求弦所在的直线方
2

程。

( 4x ? y ? 3 ? 0 )

题型四:和抛物线有关最值问题 例 6. 过定点 M (4,0) 作直线 l 交抛物线 y ? 4 x 于 A, B 两点, F 为抛物线的焦点,求 ?AFB
2

面积的最小值 例 7.求抛物线 y ? 64 x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 46 ? 0 的距离的最小值, 并求取得最小值时的
2

抛物线上的点的坐标
2 例 8.设抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 上各点到直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 的距离的最小值为 1,求 p 值。

(p?

21 ) 8
直线和抛物线的位置关系 2.4.3

3

变式练习: 1.求抛物线 y 2 ? 12x 上的点到直线 l : 3x ? y ? 5 ? 0 的距离的最小值, 并求取得最小值 的点的坐标。 2. P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上一点,且 PA ? d ,设 A(a,0)(a ? 0) ,试求 d 的取值范围 3.点 P 在抛物线 y 2 ? x 上,点 Q 在圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 上,求 PQ 的最小值 【

11 ? 2 】 2

4.已知 A(0, ?1), B(3,2) , P 是抛物线 y ? 3x 2 ? 1 上任一点,求△ PAB 面积最小值及此时 P 点的 坐标。 【最小值为

23 1 13 , P( , ) 】 8 6 12

5.定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y 2 ? x 上移动,求 AB 中点到 y 轴的距离的最小 值。 【M 点的坐标为 ( ,? 题型五:综合应用 例 9. 设抛物线 y ? 4 px( p ? 0) 的准线与 x 轴的交点为 M , 过点 M 作直线 l 交抛物线于 A, B
2

5 4

5 2 ) 时,M 到 y 的最短距离是 】 4 2

两点(1)求线段 AB 中点的轨迹方程 (2)若线段 AB 的垂直平分线交对称轴于 N ( x0 ,0) 求证: x0 ? 3 p
2 例 10.设抛物线 y ? x 的一条弦 PQ 被直线 l : y ? k ( x ? 1) ? 1 垂直平分

(1)求 k 的取值范围 (2)若 k ? Z ,求此弦长
2 例 11. 已知 A, B 是抛物线 y ? 2 x 上的两点,且 OA ? OB ( O 为坐标原点),

①求证: A, B 这两点的横坐标之积为定值,纵坐标之积也是定值; ②求证:直线 AB 过定点; ③求线段 AB 中点 M 的轨迹方程。 例 12 .直线 y ?

1 1 x 与抛物线 y ? x 2 ? 4 交于 A, B 两点,线段 AB 的垂直平分线与直线 2 8
直线和抛物线的位置关系 2.4.3 4

(1)求点 Q 的坐标。 y ? ?5 交于 Q 点, (2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含 AB )的动点时,求 ?OPQ 面积的最大值。 变式练习: 1. 已知抛物线 C1 : y 2 ? 4 x , F 为抛物线的焦点,椭圆 C2 : 3x 2 ? 2 y 2 ? 2 ,过 F 点的直线 l 交

C1 于 A, B 两点,弦长 AB ? 8 ,且 l 与 C2 相交于两个不同交点,求直线 l 的斜率取值范围。
【1 ? k ? 3 】
2
2 2. A 为抛物线 y ? ?

7 119 x 上一点, F 为抛物线的焦点, AF ? ,求过点 F 且与 OA 垂直的 2 8
【 8x ? 4 y ? 7 ? 0 】

直线 l 的方程

3.抛物线 y 2 ? x 上,存在 P, Q 两点,并且 P, Q 关于直线 l; y ? 1 ? k ( x ? 1) 对称,求 k 的取值 范围 【同步练习】 1. 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为 轴,且与圆 x ? y ? 4 相交的公共弦长等于
2 2

【 k ? (?2,0) 】

2 3 ,求此抛物线的方程。

2.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点 F , a2 b2

且垂直于椭圆两焦点所在直线,已知抛物线与椭圆的一个交点为 M ( , 和抛物线的方程。

2 2 6 ) ,求椭圆 3 3

3. 过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5, 则这样的直线 ( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无数条 D.不存在
2 4. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,斜边长为 2 13 ,

直线和抛物线的位置关系 2.4.3

5

一直角边的方程是 y ? 2 x ,求抛物线的方程. 5. 抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线
x2 a2 ? y2 b2
3

=1(a>0,b>0)的一个焦点,并与双曲线实

? 轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为 ? ? , 6 ? ,求抛物线与双曲线方程. ?2 ?

6. 顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线截直线 2 x ? y ? 4 ? 0 所得的弦长为 3 5 ,求抛物线的 方程。 ( y 2 ? 4 x 或 y 2 ? ?36x )

7.设 A( a ,0) 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 对称轴上的一个定点,过 A 作抛物线的弦 PQ ,求证:

P, Q 这两点的横坐标之积为定值,纵坐标之积也是定值。
8.正方形 ABCD 中,一条边 AB 在直线 y=x+4 上,另外两顶点 C , D 在抛物线 y 2 ? x 上, 求正方形的面积. 9.如图所示,倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F ,且与抛物线交于 A、B 两点. (1)求抛物线焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (2)若 ? 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P , 证明 FP ? FP cos2 ? 为定值,并求此定值.

10.在直角坐标系 xoy 中,椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 .F2 也是抛 a 2 b2
5 3

物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 MF2 ? (1)求 C1 的方程;

(2)平面上的点 N 满足 MN = MF1 + MF2 ,直线 l ∥MN,且与 C1 交于 A, B 两点,若 OA · OB =0, 求直线 l 的方程.

直线和抛物线的位置关系 2.4.3

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