1.1集合的含义与表示


1.1 集 合 的 含 义 与 表 示

康托尔?G. Cantor,1845 ~ 1918 ?. 德国数学家, 集合论创始人, 他 于1895 年谈到"集合"一词.

一.问题情境
考察下列问题: (1)本班所有的男同学;(2)中国的直辖市; (3)1~20以内的所有质数;(4)绝对值小于3的整数; (5)平面上到定点o的距离等于定长的所有的点。

在生活中 , 我们会遇到各种各样的 事物.为了方便讨论 , 我们需要在一定范围内 , 按一定标准 对所讨论的事物 进行分类 .分类后, 我们会用一些术语来描 述它们, 例如 " 群体"、 " 全体"、 "集合"等 .
问题:归纳总结并给出集合的含义(描述性概念) 思考1:以上集合中的元素分别是什么? 思考2:一般地,怎样理解“元素”与“集合”?

二.学生活动:
1. 列举生活中的集合实例; 2. 回忆,初中学过的内容中哪些涉 及到“集合”的术语? 初中学过哪些数,能否把它们归归类?

想 一 想 ?

三.数学建构
1.集合的含义 一般地,一定范围内某些确定的,不同的对象的全体构 成一个集合; 集合中的每个对象称为这个集合的元素。
集合常用大写字母表示,如 A, B, C…… 元素常用小写字母表示,如 a, b, c ……

2.集合中元素的性质 (1)确定性:集合中的元素必须是确定的
若a是集合A中的元素,就说a属于集合A,记作

a? A 若a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作 a ? A

(2)互异性:集合中的元素必须是互不相同的 (3)无序性:集合中的元素是无先后顺序的

三.数学建构
3.常见的数集 (1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集 (2) N * 或 N ? : 正整数集(不含0) (3) Z:整数集 (4) Q:有理数集 (5) R:实数集

三.数学建构
4.集合的表示方法 (1)列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于大括号内。
如:{北京,天津,上海,重庆} 注:元素之间要用逗号分隔,列举时与元素次序无关。

(2)描述法: 将集合的所有元素都具有的性质(满足条件) 表示出来,写成 {x ︳p(x) }
如: {x ︳x为中国的直辖市 }

(3)图示法:常常画一条封闭的曲线,用其内部表示一个集合。
如: 北京, 天津, 上海, 重庆

三.数学建构
5.集合的分类 (1) 有限集:含有有限个元素的集合 (2) 无限集:含有无限个元素的集合 (3) 空集:不含任何元素的集合 记作:

?

四.数学应用
例1.判断下列说法是否正确?并说明理由。

(1)所有正数组成一个集合;
(2)1,3,0,5,? 3 这些数组成的集合有5个元素; (3)集合{1,3,5,7}与 {3,1,7,5}表示同一个集合; (4)高一(8)班身材高的同学可以组成一个集合; (5)方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 所有实数解组成的集合

练 习一
1 下面的各组对象能否构成集合? (1)高个子的人; (2)小于2004的数;

(3)和2004非常接近的数.

2判断下列说法是否正确: (1) {x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2}



(2) 若4x=3,则 x?N

√ (3) 若x ?Q,则 x ?R × (4)若X∈N,则x∈N+ ×

? 3. 用符号“∈”或“
空 (1) 3.14 ?

”填 Q

?
Q (2)

?

?

(3) 0 ? N+ 2 3 (5) Q

(4) (6)

? 0 (-2) N+ 2 3?
R

四.数学应用

例 2 求不等式2 x ? 3 ? 5的解集.
解 由2 x ? 3 ? 5 可得 x ? 4 , 所不等式 2 x ? 3 ? 5 的 解集为 ?x | x ? 4, x ? R?.

?x | x ? 4?. 这里, ?x | x ? 4, x ? R?可简记为
例 3 求方程 x ? x ? 1 ? 0 所有实数解
2

的集合.
解 因为 x2 ? x ? 1 ? 0 没有实数解 , 所以 x | x2 ? x ? 1 ? 0 , x ? R ? ?.

?

?

练 习二
1.写出集合的元素,并用符号表示下列集合:
①方程x2 - 9=0的解的集合;

②大于0且小于10的奇数的集合;
③不等式x-3>2的解集; ④抛物线y=x2上的点集; ⑤方程x2+x +1=0的解集合.

四.数学应用
例 4.已知集合A ? {x, x 2 , y 2 ? 1}, B ? {0, y, x }且A ? B, 求x, y的值.

四.数学应用
例5.已知集合A={ x
︳ax2 +2x+1=0,x∈R

},a为实数

(1)若 A是空集,求a的取值范围; (2)若A是单元集,求a的取值范围; 解: (1)若A是空集,则 ?a ? 0 ?a ? 1 ? ?? ? 4 ? 4a ? 0
1? (2) ⅰ.当a=0时,A= ? ? ? ? ,此时A为单元集; ? 2?

ⅱ.当a≠0时,要使A为单元集,则 ? ? 0,即a ? 1 综上所述,a=0或a=1 变题:若A中至多只有一个元素,求a的取值范围 a=0或a≥1 分析:A中至多只有一个元素,即A是空集或是单元集

练 习三
1.已知集合 A={x ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R} 只有一个元素,求a的值和这个元 素..

五.课堂练习
(1)已知 x2
∈{1,0,x},则实数x的值

(2)用列举法和描述法表示方程x2 -1=0 所有实数解构成的集合 (3)写出不等式组

{

2 x?4?0 表示的整数解的集合为 1? x?2 x?1

(4)已知集合A={x︱ax2 +4x+4=0 }只有一个元素, 求a的值
x ? y ??1 (5)方程组 x? y ?1 的解集为

{

六.回顾小结:
1.集合的概念: 2.集合中元素的性质:确定性 互异性 无序性 3.集合的表示方法 :描述法、列举法、文恩图法 4.集合的分类:有限集、无限集、空集 5.特殊集合的表示:

七.布置作业:

谢谢观看

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