点到直线的距离教案 公开课


《点到直线的距离》教案
教学目标 (1)知识与技能:让学生至少掌握一种点到直线距离公式的推导方法,掌握点到直线 的距离公式及其应用。 (2)过程与方法:培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力;数形结合、综合应 用知识分析问题解决问题的能力;探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。 (3)情感态度与价值观:培养学生勤奋思考、勇于探索解决问题的能力。引导学生用 联系与转化的观点看问题,在团队合作探索解决问题的过程中获得成功的体验。 教学重点:点到直线的距离公式的推导及公式的应用 教学难点:点到直线的距离公式的推导 教学方法:启发引导法、讨论法 学习方法:任务驱动下的研究性学习 教学工具:计算机多媒体、三角板 教学过程: 一、 创设情境、提出问题 多媒体显示实际的例子: 如图,在铁路的附近,有一大型仓库,现要修建一公路与之连接起来,那么怎样设计能 使公路最短?

铁路

仓库

这个实际问题要解决, 要转化成什么样的数学问题?学生得出就是求点到直线的距离。 教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离,并板书写课题:点到直线的距离。 二、师生互动 、探究新知 教师:假定在直角坐标系上,已知一个定点 P(x0 ,y0)和一条定直线 l : Ax+By+C=0, 那么如何求点 P 到直线 l 的距离 d ?请学生思考并回答。 学生:先过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,则|PQ|的长度就是点 P 到直线 l 的距离 d , 将点线距离转化为定点到垂足的距离。 接着,多媒体显示下列 2 道题(尝试性题组),请 2 位学生上黑板练习(其余学生在下 面自己练习,每做完一题立即讲评) (1)求 P(x0 ,y0)到直线 l :By+C=0(B≠0)的距离 d ; (答案: d ? y0 ?

C ) B

1

(2) 求 P(x0 ,y0)到直线 l :Ax+C=0(A≠0)的距离 d ; (答案: d ? x0 ?

C ) A

第(1) 、 (2)题虽然含有字母参数,但由于直线的位置比较特殊,学生不难得出正确 结论。 教师:根据以上 2 题的运算结果,你能得到什么启示? 学生:当直线的位置比较特殊(水平或竖直)时,点到直线的距离容易求得,多媒体 显示并板书:

l l

当A ? 0时, l : By ? C ? 0, PQ ? y 0 ? y Q ? y 0 ?

By 0 ? C C ? B B Ax 0 ? C C ? A A

当B ? 0时, l : Ax ? C ? 0, PQ ? x0 ? xQ ? x0 ?

教师:当 AB ? 0 时,那么,而当直线是倾斜位置时, l : Ax ? By ? C ? 0 ,此时直线 含有多个字母则较难;,虽然有一些思路,但具体操作起来因计算量很大难以得出结果。点 到直线的距离有没有运算量小一点的推导方法呢?我们能不能根据刚才的第(1) 、 (2)的 启示或者是以前学过的方法的启示,借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一 般情况呢?请同学们分小组讨论 学生们积极探讨;教师来回巡视,回答各研究小组的询问…… 教师根据学生提出的方案,收集思路。 思路一:利用定义 ①求垂线 PQ 的方程(由 PQ⊥ l 以及直线 l 的斜率可知垂线 PQ 的斜率,点斜式) Q ②求交点 Q 坐标(联立方程组求解) O ③两点间距离公式 上述方法虽然思路自然,但是会遇到一只拦路虎——运算较为繁琐。
y

P (x0 ,y0)

x

2

(思路一)解:直线 PQ : y ? y 0 ?

B ?x ? x0 ?, ?x ? x0 ? ,即 Bx ? Ay ? Bx0 ? Ay0 A

B 2 x0 ? ABy0 ? AC ?Bx ? Ay ? Bx0 ? Ay0 由? , xQ ? A2 ? B 2 ? Ax ? By ? C ? 0 B 2 x0 ? ABy0 ? AC ? A2 x0 ? B 2 x0 ? A ? Ax0 ? By0 ? C ? xQ ? x0 ? ? A2 ? B 2 A2 ? B 2
yQ ? y0 ? B Ax ? By ? C ? x ? x0 ?? ? B 0 2 0 2 A A ?B

?d ?
?

?x

Q

? x0 ? ? ? y Q ? y 0 ?
2

2

1 2 A ? B2

?A

2

? B 2 ? Ax0 ? By0 ? C ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

教师评价:此方法思路自然,但运算繁琐。如果没有小组想到另外一种思路,教师继 续提出问题:根据以往求两点间距离公式的图形构造方法,求线段长度可以构造图形吗? 什么图形?如何构造? 思路二: 利用直角三角形等面积法 如图,设 A≠0,B≠0。 引导过程: ①点 P 的坐标的意义。 ②过 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线。 ③构成三角形,转化为求直角三角形高的问题。 ④如果知道面积和底边,就可以求出高。现在 要求 RP、PS、SR 的长度。 ⑤两点间距离公式,转化问求 R、P、S 的坐标。 多媒体显示、师生一起推导: (思路二)解:设 P?x0 , y 0 ? , Q xQ , yQ , R?xR , y0 ? , S ?x0 , y S ?

?

?

AxR ? By0 ? C ? 0 , x R ? ?

By0 ? C Ax0 ? C ; Ax0 ? ByS ? C ? 0 , y S ? ? A B

RP ? x0 ? x R ?

Ax0 ? By0 ? C A

3

PS ? y0 ? y S ?

Ax0 ? By0 ? C B

由 PQ ? RS ? PR ? PS , PQ ?

PR ? PS RS
A2 ? B 2 A2 B 2

而 RS ?

RP ? PS

2

2

? Ax0 ? By0 ? C

?

Ax0 ? By0 ? C AB

A2 ? B 2

? PQ ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

思路三:将来可以为利用三角函数、不等式、向量等方法求解。 各小组同学都运用了不同的解法, 此类题解法灵活多样,同学们要注意选择适当、最优的 方法来解题,以便取得最佳效果。 说明:学生只初略学习了三角函数、不等式、向量等未学。如果学生没有想到思路三,教 师提示做课后思考作业题目。 教师提问:①上式是由条件下 当AB ? 0时 得出,对 当A ? 0,或B ? 0时 成立吗?(成立) 1.当 A=0,B ? 0 时, l : By ? C ? 0 此时,直线为: y ? ?

C ,直线为平行于 x 轴(或重合于 x 轴)的直线 B

则: PQ ? PS ? y 0 ? (?

By0 ? C Ax0 ? By0 ? C C C ) ? y0 ? ? ? B B B A2 ? B 2

2.当 A ? 0,B=0 时, l : Ax ? C ? 0 此时,直线为: x ? ?

C ,直线为平行于 y 轴(或重合于 y 轴)的直线 A

则: PQ ? PR ? x0 ? (?

Ax0 ? C Ax0 ? By0 ? C C C ) ? x0 ? ? ? A A A A2 ? B 2

②点 P 在直线 l 上成立吗?(成立) ③公式结构特点是什么?用公式时直线方程是什么形式? 由此推导出点 P(x0,y0)到直线 l :Ax+By+C=0 距离公式:
4

?d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

适用于任意点、任意直线。

三、变式训练 、学会应用 练习 1 (学生上台展示) 1.求点 A(-2,3)到直线 3x+4y+3=0 的距离。 2.求点 C(1,-2)到直线 4x+3y=0 的距离。 3.点 P(-1,2)到直线 3x=2 的距离。 4.点 P(-1,2)到直线 3y=2 的距离。 5.点 A(a,6)到直线 x+y+1=0 的距离为 4,求 a 的值。 练习选择:平行坐标轴的特殊直线,直线方程的非一般形式。 练习目的:熟悉公式结构,记忆并简单应用公式。 教师强调:直线方程的一般形式,点到直线的距离公式熟练掌握才能在解题时游刃有余。 四、拓展延伸、升华提高 例 1:已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求 三角形ABC的面积。

解:设 AB 边上的高为 h ,则 S ?ABC ?

1 | AB | ?h , 2

| AB |? (3 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2 ,
AB 边上的高为 h 就是点 C 到 AB 的距离, AB 边所在直线方程为: x ? y ? 4 ? 0 . 点 C (?1,0) 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离

h?

| ?1 ? 4 ? 0 | 12 ? 12

?

5 2

.

因此, S ?ABC ?

1 5 ?2 2? ? 5. 2 2

5

五、当堂检测

1.点( 3,m)到直线l:x ? 3 y ? 4 ? 0的距离等于 1 ,则m等于( A. 3 B. ? 3 C. ?

)

3 3 D. 3 或 ? 3 3 2.若点P( x, y )在直线x ? y ? 4 ? 0上,O是原点,则| OP | 的最小值是() A. 10 B.2 2 C. 6 D.2

六、学生小结 、教师点评 1.知识:点到直线的距离公式的推导及其运用。 2.思想方法 转化:将点线距离转化为定点到垂足的距离;等积法将其转化为直角三角形中三顶点的距。 离数形结合、特殊到一般的思想方法。 七、课外练习 巩固提高 ① 课本习题 3.3A 组第 8,9 题; ② 总结写出点到直线距离公式的多种方法。 八、板书设计 3.3.3 点到直线的距离 1.两种特殊情况 当 A=0,B ? 0 时, l : By ? C ? 0 当 A ? 0,B=0 时, l : Ax ? C ? 0

2.一般情况 AB ? 0 时, l : Ax ? By ? C ? 0 思路一:按定义 思路二:等面积法

6


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