高考复习:函数图象及其变换


高考复习:

函数图像及其变换

1.几种函数的图像

函数

图像

一次函数 y=kx+b

函数

图像

二次函数 y=ax2+bx+c

函数

图像

指数函数 y=ax

函数

图像

对数函数 y=logax

基本初等函数及图象(大致图像)
函数
一次函数 y=kx+b

图像

二次函数 y=ax2+bx+c

指数函数 y=ax 对数函数 y=logax

y=f(x+h)

y=f(mx+h)

②上下平移: k>0时,上移k个单位 f(x)+ k y=k<0时,下移 ――→ f ( x ) y = _______. |k|个单位

f(ωx)
Af(x)

(3)对称变换 x轴 对 ①y=f(x)与y=-f(x)的图象关于______ 称; y轴 对 ②y=f(x)与y=f(-x)的图象关于_____ 称; 原点 对 ③y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于_____ 称;

④y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称; ________ ⑤y=f(x)与y=-f-1(-x)的图象关于直线 y=-x 对称; _______ ⑥y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线 x=a 对称. ______

(4)翻折变换 ①作出y=f(x)的图象,将图象位于x轴下方 的部分以x轴为对称轴翻折到上方,其余部 y=|f(x)| 的图象; 分不变,得到_________ ②作出y=f(x)在y轴上及y轴右边的图象部 分,并作y轴右边的图象关于y轴对称的图 y=f(|x|) 的图象. 象,即得__________

(3)伸缩变换
①y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的 A 纵坐标变为原来的 不变 倍,横坐标 而得到;

②y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的 横坐标变为原来的 不变 倍,纵坐标 而得到.

1. f(x)=|x-1|的图象为如下图所示中的 ( )

【解析】

【答案】

B

2.为了得到函数 y=2 -1 的图象,只需 把函数 y=2x 的图象上所有的点( ) A.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 B.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 C.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 D.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度

x-3

【解析】 由 y=2x 得到 y=2x-3-1, 需 用 x-3 换 x,用 y+1 换 y,即 ? ?x′=x+3, ? ?y′=y-1, ? ∴按平移向量 (3,- 1)平移,即向右平 移 3 个单位,向下平移 1 个单位.

【答案】

A

3.函数f(x)=a x-b的图象如右图所示,其中 a、b为常数,则下列结论正确的是( ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 【解析】 因图象是递减的,故0<a<1.又图 象是将y=ax的图象向左平移了,故b<0,∴ 选D. 【答案】 D

4.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时,f(x)的图像如图所示,则不等式 f(x)<0的解集是________. 【解析】 由奇函数的图象关于原点对称, 画出x∈[-5,0]的图象,可知不等式f(x)<0的解 集是(-2,0)∪(2,5]. 【答案】 (-2,0)∪(2,5]

作出下列各个函数的图像: (1)y=2-2x;(2)y=log1[3(x+2)];(3)y=|log1(-x)|.
3 2

(1)作函数y=2x的图象关于x轴对称的图象 得到y=-2x的图象,再将图象向上平移2个 单位,可得y=2-2x的图象.如图1;

(2)因为 y=log1[3(x+2)]
3

=-log3[3(x+2)] =-log3(x+2)-1. 所以可以先将函数 y=log3x 的图象向左平移 2 个单位,可得 y=log3(x+2)的图象,再作图象 关于 x 轴对称的图象,得 y=-log3(x+2)的图 象,最后将图象向下平移 1 个单位,得 y=- log3(x+2)-1 的图象, 即为 y=log1[3(x+2)]的图象.如图 2;
3

(3)作 y=log1x 的图象关于 y 轴对称的图
2

象,得 y=log1(-x)的图象,再把 x 轴
2

下方的部分翻折到 x 轴上方,可得到 y=|log1(-x)|的图象.如图 3.
2

1.作函数图象的一般步骤为: (1)确定函数的定义域. (2)化简函数解析式. (3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶 性、周期性、最值、极限等)以及图象上的 特殊点(如最值点、与坐标轴的交点、间断 点等)、线(如对称轴、渐近线等). (4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数 图象.

2.采用图象变换法时,变换后的函数图象 要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点,以 显示图象的主要特征,处理这类问题的关键 是找出基本函数,将函数的解析式分解为只 有单一变换的函数链,然后依次进行单一变 换,最终得到所要的函数图象.

作出下列函数的图像.

1 (1) y ? (lg x ? | lg x |); 2 2x ?1 (2) y ? ; x ?1 1 | x| (3) y ? ( ) . 2
思维启迪 首先将简单的复合函数化归为基本初 等函数,然后由基本初等函数图象变换得到.



?0 (0 ? x ? 1), (1) y ? ? ?lg x ( x ? 1).

2x ?1 1 (2)由y ? , 得y ? ? 2. x ?1 x ?1

1 作出 y ? 1 的图象,将 y ? 的图象向右平移一
个单位,再向上平移2个单位得 y ?

x

x

(3)作出 y ? ( 1 ) x的图象,保留 y ? ( 1 ) x 图象中 2 2 1 x x≥0的部分,加上 y ? ( ) 的图象中x>0的部分关于 2 1 | x| y轴的对称部分,即得 y ? ( ) 的图象.其图象依次 2 如下:

1 ? 2 的图象. x ?1

探究提高 (1)若函数解析式中含绝对值,可先通过讨
论去绝对值,再分段作图. (2)利用图象变换作图.

作出下列函数的大致图像: x+2 x3 (1)y= ;(2)y= ; |x| x-1 |x-1| (3)y=|log2x-1|;(4)y=2 .

x2 (x>0) 【解析】 (1)y= ,利用二次 2 -x (x<0) 函数的图象作出其图象,如图①.
? ? ? ? ? ? ?

(3)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平 移一个单位,保留x轴上及x轴上方的部分,将 x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x1|的图象,如图③. (4)先作出y=2x的图象,再将其图象在y轴左边 的部分去掉,并作出y轴右边的图象关于y轴对 称的图象,即得y=2|x|的图象,再将y=2|x|的图 象向右平移一个单位,即得y=2|x-1|的图象, 如图④.

由图象求解析式

如图所示, 函数的图象由两条射线 及抛物线的一部分组成, 求函数解析式.

【思路点拨】 分段求函数解析式,再 合成分段函数形式,本题分别设为一次 函数和二次函数形式,应抓住特殊点 (0,2),(1,1),(2,2),(3,1)和(4,2).

设左侧射线对应的解析式为 y=kx+b(x≤1), ∵点(0,2),(1,1)在此射线上. ? ? ?k+b=1 ?k=-1 ∴? ?? . ? ? ?b=2 ?b=2 ∴ 左侧射线对应的解析式为 y =- x + 2(x≤1). 同理,当 x≥3 时,右侧射线对应的解析 式为 y=x-2(x≥3).

设抛物线对应的解析式为 y=a(x-2)2+ 2(1≤x≤3,a<0). 将点(1,1)代入得 a+2=1,∴a=-1. ∴抛物线对应的解析式为 y=-x2+4x- 2(1≤x≤3) 综上所述,所求函数解析式为
?-x+2 (x<1), ? 2 y=?-x +4x-2 (1≤x≤3), ? ?x-2 (x>3).

由函数图象求其解析式,要注意观察各段函 数所属的基本函数模型,常用待定系数法, 抓住特殊点,从而确定系数.

1.现有四个函数:(1)y=x· sin x;(2)y= x· cos x;(3)y=x· |cos x|;(4)y=x· 2x的图象(部 分)如下,但顺序被打乱,则图象(1)(2)(3)(4) 对应的函数序号安排正确的一组是( )

A. (4) (1) (2) (3) C. (1) (4) (2) (3)

B. (1) (4) (3) (2) D. (3) (4) (2) (1)

【解析】 题图①对应的是偶函数图象,对 应(1);题图②对应的函数是非奇非偶函数, 对应(4);题图③对应的函数,当x>0时存 在函数值为负数,对应(2);故选C. 【答案】 C

例2

设a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是 ( C)

解析

当x>b时,y>0,x<b时,y≤0.故选C.

(1)函数y=

的图象大致为
A

(

)

3.如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入

一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液
体,经3分钟漏完.已知圆柱中液面上 升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落 的距离,则H与下落时间t(分)的函数关系表示的 图象只可能是( )

例4:方程x ? 2 x ? 3 ? lg x 的实根个数有
2

( B)

A、1个 B、2个

C、3个

D、4个

5.f(x)=|4x-x2|-a与x轴恰有三个交点,则a= 4 . 解析 y1=|4x-x2|,y2=a,则两函数图象恰有三个
不同的交点. 如图所示,当a=4时满足条件.

已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=mx 有四个不相等的实根}.

【思路点拨】 (1)画出 f(x) 根据图象写出单调区间. (2)

m

M.

【解析】f(x)= ?(x-2)2-1, x∈(-∞,1]∪[3,+∞) ? , 2 ?-(x-2) +1, x∈(1,3) 作出图象如图所示.

(1)递增区间为[1,2],[3,+∞), 递减区间为(-∞,1],[2,3].

(2)由图象可知y=f(x)与y=mx图象有四个不同的 交点,直线y=mx应介于x轴与切线l1之间.

函数的图象形象地显示了函数的性质,为研 究数量关系问题提供了“形”的直观性,它 是探求解题途径、获得问题结果、检验解答 是否正确的重要工具,也是运用数形结合思 想解题的前提.

从图象的左右分布,分析函数的定义域;从 图象的上下分布,分析函数的值域;从图象 的最高点、最低点,分析函数的最值、极值; 从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图 象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性 等.

2.已知x1是方程xlg x=2008的根,x2是方程 x10x=2008的根,则x1x2等于( ) A.2005 B.2006 C.2007 D.2008

【解析】

【答案】

D

ax2+1 (12 分)已知函数 f(x)= (a>0,b bx+c >0,c∈R)是奇函数,当 x>0 时,f(x)有最小 5 * 值 2,其中 b∈N 且 f(1)< . 2 (1)试求函数 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点 (1,0) 对 称的两点?若存在, 求出点的坐标; 若不存在, 说明理由.

【思路点拨】 (1)根据下列条件:①f(x) 为奇函数;②当 x>0 时,f(x)有最小值 2; 5 * ③b∈N ,且 f(1)< ,可求 a,b,c 的值, 2 从而可以确定函数 f(x)的解析式. (2) 可先假设存在,然后根据对称性来解 决.

【规范解答】 (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-1)=-f(1), a+1 a+1 ∴ =- , -b+c b+c ax2+1 ∴c=-c,∴c=0.此时 f(x)= bx 显然是 奇函数.2 分 1 a ∵a > 0 , b > 0 , x > 0 , ∴f(x) = b x + bx a ≥2 , b2

当且仅当 x=

1 等号成立. 于是 2 a时,

a 2= b

2, ∴a=b2.5 分 2 b +1 5 5 a+1 5 由 f(1)< 得 b < ,即 b < ,∴2b2-5b 2 2 2 +2<0. 1 * 解得 <b<2,又 b∈N , 2 ∴b=1,∴a=1, 1 ∴f(x)=x+x.8 分

(2)设存在一点(x0,y0)在 y=f(x)的图象上,并 且关于点(1,0)的对称点(2-x0, -y0)也在 y=f(x) 的图象上. 2 x2 + 1 (2 - x ) 0 0 +1 则 =y0, =-y0,10 分 x0 2-x0 2 消去 y0 得 x0 -2x0-1=0. ∴x0=1± 2, ∴y=f(x)的图象上存在两点 (1+ 2,2 2),(1- 2,-2 2)关于点(1,0)对 称.12 分

函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性 常会放置在一起综合考查.函数f(x)上的某 点A(x0,y0)关于点(a,b)的对称点为A′(2a- x0,2b-y0),利用此关系可求点的坐标或证明 函数关于某点的对称问题.

1.要准确记忆一次函数、二次函数、反比 例函数、指数函数、对数函数、三角函数等 各种基本初等函数的图象. 2.掌握函数作图的两种基本方法:(1)描点 法;(2)图象变换法,包括平移变换、对称变 换、伸缩变换.

3.合理处理识图题与用图题 (1)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、 上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研 究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、 周期性,注意图象与函数解析式中参数的关 系.

(2)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究 数量关系问题提供了“形”的直观性,它是 探求解题途径,获得问题结果的重要工 具.要重视数形结合解题的思想方法.常用 函数图象研究含参数的方程或不等式解集的 情况.


相关文档

更多相关文档

烟台芝罘区数学2015-2016高三专题复习-函数(3)函数图象变换及经典例题练习
高中数学函数图象及其变换专题
2016年专项练习题集-变换法画函数的图像
高中数学必修1函数的图象 人教版课件
指数函数及其性质的应用
电脑版