【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修四) 第二章平面向量 2.3.1 课时作业]


§ 2.3 2.3.1

向量的坐标表示 平面向量基本定理

课时目标 1.通过实例了解平面向量的基本定理及其意义.2.能选取适当的基底来表示其它的向量, 并能解决一些简单几何问题.

1.平面向量基本定理 (1)定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个________________的向量,那么对于这一平面 内的________向量 a,________________________实数 λ1,λ2,使 a=____________. (2)基底:把____________的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内________向量的一组基底. 2.正交分解 一个平面向量用一组基底 e1 , e2 表示成 a = λ1e1+ λ2e2 的形式,我们称它为向量 a 的 ________,当 e1,e2 所在直线互相________时,就称为向量的正交分解.

一、填空题 1.下面三种说法中,正确的是________.(填序号) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;②一个平面内有 无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量. 2 .若 e1 , e2 是平面内的一组基底,则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是 ________.(写出所有满足条件的序号) 1 ①e1-e2,e2-e1;②2e1+e2,e1+ e2; 2 ③2e2-3e1,6e1-4e2;④e1+e2,e1-e2. 3.若 a,b 不共线,且(λ-1)a+(μ+1)b=0(λ,μ∈R),则 λ=________,μ=________. 4.设向量 m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,试用 m,n 表示 p 的结果是________. → → → → → 5.在△ABC 中,AB=c,AC=b.若点 D 满足BD=2DC,则AD=____________. 6.若 ke1+e2 与 e1+ke2 可以作为平面内的一组基底,若 e1 与 e2 不共线,则实数 k 的取值 范围为________. 7.如果 e1,e2 是平面 α 内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是________.(填 对应说法的序号) ①λe1+μe2(λ、μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量; ②对于平面 α 内任一向量 a,使 a=λe1+μe2 的实数对(λ,μ)有无穷多个; ③若向量 λ1e1+μ1e2 与 λ2e1+μ2e2 共线,则有且只有一个实数 λ,使得 λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+ μ2e2); ④若实数 λ,μ 使得 λe1+μe2=0,则 λ=μ=0. → → → 8.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若AC=λAE+μAF,其中 λ、μ∈R,则 λ+μ=________. 9.

如图所示,OM∥AB,点 P 在由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不 1 → → → 含边界)运动,且OP=xOA+yOB,则 x 的取值范围是________;当 x=- 时,y 的取值 2

范围是______________. 10.设 e1、e2 是平面的一组基底,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则 e1+e2=________a+ ________b. 二、解答题 11.

→ → 已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点,若AB=a,AC=b,用 a,b → → → 表示AD,AE,AF.

12.如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求证:AP∶PM=4∶1.

能力提升 → → → 13.设 I 为△ABC 的内心,当 AB=AC=5,BC=6 时,AI =xAB+yBC,则 x+y 的值是 ________. AF 1 14.如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,F 是 AD 上的一点,且 = ,连结 CF FD 5

AE 并延长交 AB 于 E,则 =________. EB

1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征:①基底是两个不共线向量;②基底的选择是不惟一的.平面内 两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方 向分解成两个向量和的形式,且分解是惟一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以 选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决. 3.关于向量的分解及正交分解 向量的正交分解是平面向量基本定理的特殊形式, 此时 e1⊥e2, 它类似于平面直角坐标 系 中的两条相互垂直的坐标轴,它是平面向量的直角坐标表示的理论基础,在平面直角坐 标系内,每一个平面向量都可以用一组有序实数对惟一表示,从而建立了向量与实数的 关系,为向量运算数量化、代数化奠定了基础,沟通了数与形的联系.

§ 2.3 2.3.1

向量的坐标表示 平面向量基本定理

知识梳理 1.(1)不共线 任一 有且只有一对 λ1e1+λ2e2 (2)不共线 所有 2.分解 垂直 作业设计 1.②③ 2.①②③ 3.1 -1 7 13 4.p=- m+ n 4 8 解析 设 p=xm+yn,则 3a+2b=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x-2y)b 7 x=- ?2x+4y=3 4 ? 则? ,解得, . 13 ?-3x-2y=2 ? y= 8 2 1 5. b+ c 3 3 → → → → 2→ 解析 AD=AB+BD=AB+ BC 3

? ? ?

→ 2 → → =AB+ (AC-AB) 3 1→ 2 → 2 1 = AB+ AC= b+ c. 3 3 3 3 6.k≠± 1 解析 要作为基底, 则 ke1+e2 与 e1+ke2 不共线, 可知当 ke1+e2 与 e1+ke2 共线时, k=± 1, 在这里,得 k≠± 1. 7.②③ 解析 由平面向量基本定理可知,①④是正确的. 对于②,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此 基底下的实数对是惟一的.对于③,当两向量的系数均为零,即 λ1=λ2=μ1=μ2=0 时, 这样的 λ 有无数个. 4 8. 3 解析

→ → 设AB=a,AD=b, → 1 则AE= a+b, 2 1 → AF=a+ b, 2 → 又∵AC=a+b, 2 4 → 2 → → ∴AC= (AE+AF),即 λ=μ= ,∴λ+μ= . 3 3 3 1 3 ? 9.(-∞,0) ? ?2,2? 解析 由题意得: → → → + OP=aOM+bOB(a,b∈R ,0<b<1) → → → → → =aλAB+bOB(λ>0)=aλ(OB-OA)+bOB → → =-aλOA+(aλ+b)OB. 由-aλ<0,求得 x∈(-∞,0). → → → 又由OP=xOA+yOB,则有 0<x+y<1, 1 3? 1 1 当 x=- 时,有 0<- +y<1,求得 y∈? ?2,2?. 2 2 2 1 10. - 3 3 解析 由方程组: ? ?a=e1+2e2,
? ?b=-e1+e2, ?

?e =3a-3b, 解得:? 1 1 ?e =3a+3b.
1 2

1

2

1 2 ? ?1 1 ? 所以 e1+e2=? ?3a-3b?+?3a+3b? 1 2 - ?b. = a+? 3 ? 3?

→ → → 11.解 AD=AB+BD → 1→ =AB+ BC 2 1 1 1 =a+ (b-a)= a+ b; 2 2 2 1 → → → → 1→ AE=AB+BE=AB+ BC=a+ (b-a) 3 3 2 1 = a+ b; 3 3 2 → → → → 2→ AF=AB+BF=AB+ BC=a+ (b-a) 3 3 1 2 = a+ b. 3 3 → → 12.证明 设AB=b,AC=c, → 1 1 → 2→ 2 则AM= b+ c,AN= AC= c, 2 2 3 3 → → → 2 BN=BA+AN= c-b. 3 → → → → ∵AP∥AM,BP∥BN, ∴存在 λ,μ∈R, → → → → 使得AP=λAM,BP=μBN, → → → 又∵AP+PB=AB, → → → ∴λAM-μBN=AB, 1 1 ? ?2 ? ∴由 λ? ?2b+2c?-μ?3c-b?=b 得 ?1λ+μ?b+?1λ-2μ?c=b. ?2 ? ?2 3 ? 又∵b 与 c 不共线. 1 4 λ+μ=1, λ= , 2 5 ∴ 解得 1 2 3 λ- μ=0. μ= . 2 3 5 → 4→ 故AP= AM,即 AP∶PM=4∶1. 5 15 13. 16

? ? ?

? ? ?

解析 如图,设 AI 交 BC 于点 D, ∵△ABC 是等腰三角形,故 D 为 BC 的中点,BD=3,在△ABD 中,由内角平分线定理 可知: AI AB 5 → 5→ = = ,故AI = AD, ID BD 3 8 → → → → 1→ 又AD=AB+BD=AB+ BC. 2 → 5 → 1 → 5→ 5 → AI = (AB+ BC)= AB+ BC, 8 2 8 16

5 5 15 即 x= ,y= .∴x+y= . 8 16 16 1 14. 10 AE → → 解析 设AB=a,AC=b, =λ. EB AF 1 → → → ∵ = ,∴CF=CA+AF FD 5 → 1→ 1 → → → =CA+ AD= (AB+AC)-AC 6 12 1 → 11 → 1 11 = AB- AC= a- b. 12 12 12 12 λ → → → → → CE=CA+AE=CA+ AB 1+λ λ → → λ = AB-AC= a-b. 1+λ 1+λ λ 1 + λ 1 1 → → ∵CF∥CE,∴ = .∴λ= . 1 11 10 12 12


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