【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修四) 第二章平面向量 2.2.3 课时作业]


2.2.3

向量的数乘

课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量 共线的条件.

1.向量数乘运算 实数 λ 与向量 a 相乘,叫做向量的________,记作________,其长度与方向规定如下: (1)|λa|=________. ? 时,与a方向相同 ?当 (2)λa (a≠0)的方向? ; ?当 时,与a方向相反 ? 特别地,当 λ=0 或 a=0 时,0a=________或 λ0=________. 2.向量数乘的运算律 (1)λ(μa)=________. (2)(λ+μ)a=________. (3)λ(a+b)=________. 特别地,有(-λ)a=________=________; λ(a-b)=________. 3.向量的线性运算 向量的________与向量的________、________统称为向量的线性运算,对于任意向量 a、 b,以及任意实数 λ、μ1、μ2,恒有 λ(μ1a± μ2b)=________________. 4.向量共线定理 如果有一个实数 λ,使________________(a≠0),那么 b 与 a 是共线向量;反之,如果 b 与 a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数 λ 使 b=λa.

一、填空题 1 ? 1 1 .若 2 ? ?y-3a? - 2 (c + b - 3y) + b = 0 ,其中 a 、 b 、 c 为已知向量,则未知向量 y = ________________. → → → 2.已知平面内 O,A,B,C 四点,其中 A,B,C 三点共线,且OC=xOA+yOB,则 x+ y=________. 3.设 e1,e2 是两个不共线的向量,若向量 m=-e1+ke2 (k∈R)与向量 n=e2-2e1 共线, 则 k=________. → → → 4.已知向量 a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是 ________. → → → → 5.已知△ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P,且PA+PB+PC=AB,则点 P 与△ ABC 的关系为________.(填序号) ①P 在△ABC 内部; ②P 在△ABC 外部; ③P 在 AB 边上或其延长线上; ④P 在 AC 边上. 6.

→ 如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量CD=______.(填写正确的序号) → 1→ → 1→ → 1→ ①-BC+ BA;②-BC- BA;③BC- BA; 2 2 2 → 1→ ④BC+ BA. 2 7.

如图所示, 在 a,b 表示)

→ → → → → ABCD 中, AB=a, AD=b, AN=3NC, M 为 BC 的中点, 则MN=________.(用

→ → → → → → 8.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得AB+AC=mAM成立, 则 m=________. → → → → 9. 在△ABC 中, 点 D 在直线 CB 的延长线上, 且CD=4BD=rAB+sAC, 则 r-s=________. →2 → → → → 10.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,BC =16,|AB+AC|=|AB-AC|,则 → |AM|=______. 二、解答题 11.两个非零向量 a、b 不共线. (1)若 A B =a+b,B C =2a+8b,C D =3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)求实数 k 使 ka+b 与 2a+kb 共线.







12.

1 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,点 M 是 AB 的中点,点 N 在 BD 上,且 BN= BD. 3 求证:M、N、C 三点共线.

能力提升 → → 13.已知 O 是平面内一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OP=OA+ → → ? AB AC ? + λ? (λ∈[0,+∞)),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________.(填序号即可) → →? ?|AB| |AC|? ①外心;②内心;③重心;④垂心. 14.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 → → → CD 交于点 F.若AC=a,BD=b,则AF=________.(用 a,b 表示)

1. 实数与向量可以进行数乘运算, 但不能进行加减运算, 例如 λ+a, λ-a 是没有意义的. a 2. λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍. 向量 表 |a| 示与向量 a 同向的单位向量. 3. 共线向量定理是证明三点共线的重要工具, 即三点共线问题通常转化为向量共线问题.

2.2.3

向量的数乘

知识梳理 1.数乘 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 0 0 2.(1)(λμ)a (2)λa+μa (3)λa+λb -(λa) λ(-a) λa-λb 3.数乘 加法 减法 λμ1a± λμ2b 4.b=λa 作业设计 4 1 1 1. a- b+ c 21 7 7 2.1 解析 ∵A,B,C 三点共线, → → ∴?λ∈R 使AC=λAB. → → → → ∴OC-OA=λ(OB-OA). → → → ∴OC=(1-λ)OA+λOB. ∴x=1-λ,y=λ,∴x+y=1. 1 3. 2 1 1 解析 当 k= 时,m=-e1+ e2,n=-2e1+e2. 2 2 ∴n=2m,此时,m,n 共线. 4.A、B、D → → → → 解析 ∵BD=BC+CD=2a+4b=2AB, ∴A、B、D 三点共线. 5.④

→ → → → → 解析 ∵PA+PB+PC=PB-PA, → → ∴PC=-2PA,∴P 在 AC 边上. 6.① → 1→ → 1→ 解析 -BC+ BA=CB+ BA 2 2 → → → =CB+BD=CD. 1 7. (b-a) 4 → → → → 解析 MN=MB+BA+AN 1 3→ =- b-a+ AC 2 4 1 3 =- b-a+ (a+b) 2 4 1 = (b-a). 4 8.3 → → → 解析 ∵MA+MB+MC=0, ∴点 M 是△ABC 的重心. → → → ∴AB+AC=3AM,∴m=3. 8 9. 3 → → → → 解析 ∵CD=CB+BD=4BD, → → ∴CB=3BD. → → → → → → ∴CD=AD-AC=AB+BD-AC → 1→ → =AB+ CB-AC 3 → 1 → → → =AB+ (AB-AC)-AC 3 4→ 4 → = AB- AC 3 3 4 4 8 ∴r= ,s=- ,r-s= . 3 3 3 10.2 → 解析 ∵BC2=16, → → → → ∴|BC|=4.又|AB-AC|=|CB|=4, → → ∴|AB+AC|=4. → 1 → → ∵M 为 BC 中点,∴AM= (AB+AC), 2 1 → → → ∴|AM|= |AB+AC|=2. 2 11.(1)证明 ∵A D =A B +B C +C D =a+b+2a+8b+3a-3b=6a+6b=6A B , ∴A、B、D 三点共线. (2)解 ∵ka+b 与 2a+kb 共线,∴ka+b=λ(2a+kb). ∴(k-2λ)a+(1-λk)b=0, ? ?k-2λ=0, ∴? ?k=± 2. ?1-λk=0 ?











→ → → → → 1→ → 12. 证明 设BA=a, BC=b, 则由向量加法的三角形法则可知: CM=BM-BC= BA-BC 2 1 = a-b. 2 又∵N 在 BD 上且 BD=3BN, 1 → 1→ 1 → → ∴BN= BD= (BC+CD)= (a+b), 3 3 3 → → → 1 ∴CN=BN-BC= (a+b)-b 3 1 2 2? 1 = a- b= ?2a-b? ?, 3 3 3 → 2→ → → ∴CN= CM,又∵CN与CM共点为 C, 3 ∴C、M、N 三点共线. 13.② → → → → AB → AC → AB AC 解析 为AB上的单位向量, 为AC上的单位向量,则 + 的方向为∠BAC 的 → → → → |AB| |AC| |AB| |AC| → 角平分线AD的方向. → → → → ? AB AC ? AB AC → → + 又 λ ∈ [0 , + ∞) , ∴ λ ? 的方向与 + 的 方 向 相 同 . 而 OP = OA + ? → → → → ?|AB| |AC|? |AB| |AC| → → ? AB AC ? + λ? , → →? ?|AB| |AC|? → ∴点 P 在AD上移动. ∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 2 1 14. a+ b 3 3 解析

如图所示, ∵E 是 OD 的中点, → 1→ 1 ∴OE= BD= b. 4 4 又∵△ABE∽△FDE, AE BE 3 ∴ = = . EF DE 1 → → ∴AE=3EF, → 3→ ∴AE= AF. 4 → → → 1 1 在△AOE 中,AE=AO+OE= a+ b. 2 4 → 4→ 2 1 ∴AF= AE= a+ b. 3 3 3


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