高中数学教学案例


教学基本信息 课题 作者及 工作单位 ☆指导思想与理论依据 由教师的教向学生的学转化是现代教学观现代教学观要求使用发 展的观点看待学生,着眼于调动学生学习的积极性和主动性,教给学 生学习的方法,培养学生学习能力,即着眼于培养学生不断学习、不 断探索、不断创新的能力,以适应不断变化的世界;由特殊到一般的 认知过程 ☆教材分析 函数零点是研究当函数 的值为零时,相应的自变量 的取值, 新课标 A 版必修1第三章3.1.1方程的根与函数零点

反映在函数图象上,也就是函数图象与 轴的交点横坐标。 由于函数 的值为零即 , 若方程 有解, 则函数 存

在零点,且方程的根就是相应函数的零点,也是函数图象与 轴的交 点横坐标.顺理成章的,方程的求解问题,可以转化为求函数零点的 问题。 零点存在性定理,是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。 如果函数 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线, 并且满 在区间(a,b)内至少有一个零点,但

足 f(a)·f(b)<0,则函数

零点的个数,需结合函数的单调性等性质进行判断.定理的逆命题不

成立。 方程的根与函数零点的研究方法,符合从特殊到一般的认识规律, 从特殊的、具体的二次函数入手,建立二次函数的零点与相应二次方 程的联系,然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形; 零点存在性的研究,也同样采用了类似的方法,同时还使用了“数形 结合思想”及“转化与化归思想”。 方程的根与函数零点的关系研究,不仅为“用二分法求方程的近似 解”的学习做好准备,而且揭示了方程与函数之间的本质联系,这种 联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基 础.可见,函数零点概念在中学数学中具有核心地位。

☆学情分析 学生已有的认知基础是,初中学习过二次函数图象和二次方程,并且 解过“当函数值为 0 时,求相应自变量的值”的问题,初步认识到二 次方程与二次函数的联系,对二次函数图象与 轴是否相交,也有一 些直观的认识与体会。在高中阶段,已经学习了函数概念与性质,掌 握了部分基本初等函数的图象与性质。 以二次方程及相应的二次函数为例,引入函数零点的概念, 说明方程的根与函数零点的关系,学生并不会觉得困难。学生学习的 难点是准确理解零点存在性定理,并针对具体函数(或方程),能求 出存在零点(或根)的区间。

教学过程中,通过引导学生通过探究,发现方程的根与函数零点的 关系;而零点存在性定理的教学,则应引导学生观察函数图象与 轴 的交点的情况,来研究函数零点的情况,加深学生对零点存在性定理 的理解。

☆教学目标 通过本课教学,要求学生:理解并掌握方程的根与相应函数零点的 关系,在此基础上,学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点 的问题;理解零点存在性定理,并能初步确定具体函数存在零点的区 间。 1.能够结合具体方程(如二次方程),说明方程的根、相应函数 图象与 轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系; 2.正确理解函数零点存在性定理:了解图象连续不断的意义及作 用;知道定理只是函数存在零点的一个充分条件;了解函数零点只能 不止一个; 3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数; 4.能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题,写出与 方程对应的函数;并会判断存在零点的区间(可使用计算器)。

☆教学重点和难点

教学重点:函数零点的概念及零点的求法 教学难点:方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理。 ☆教学过程 1.方程的根与相应函数图象的关系 复习总结一元二次方程与相应函数与 轴的交点及其坐标的关系: ____________________ 一元二次方程根的情况判断:______________________ 图象与 轴交点个数:______________________ 图象与 轴交点坐标:______________________ 意图:回顾二次函数图象与 轴的交点和相应方程的根的关系,为一 般函数及相应方程关系作准备。 问题一、上述结论对其他函数成立吗?为什么? 画出函数的图象: 、 、 ,比较函

数图象与 轴的交点和相应方程的根的关系。 函数 的图象与 轴交点, 即当 , 该方程有几个根,

的图象与 轴就有几个交点,且方程的根就是交点的横坐标。 意图:通过各种函数,将结论推广到一般函数。 2.函数零点概念

对于函数

,把使

的实数 叫做函数

的零点。

说明:函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值。 3.方程的根与函数零点的关系 方程 有实数根 函数 函数 的图象与 轴有交点 有零点

以上关系说明:函数与方程有着密切的联系,从而有些方程问题可 以转化为函数问题来求解,同样,函数问题有时也可转化为方程问 题.这正是函数与方程思想的基础。 4.零点存在性定理 问题二、观察图象(气温变化图)片段,根据该图象片段,将其补 充成完整函数图象, 并问: 是否有某时刻的温度为 0℃?为什么? (假 设气温是连续变化的) 意图:通过类比得出零点存在性定理。 给出零点存在性定理:如果函数 不断一条曲线,并且有 零点.即存在 ,使得 在区间 上的图象是连续 在区间 内有 的根。

,那么,函数

,这个 c 也就是方程

问题三、不是连续函数结论还成立吗?请举例说明。

结合函数

的图象说明。

问题四、若

,函数 吗?

在区间在

上一定没有零点

问题五、若

,函数

在区间在

上只有一个零点

吗?可能有几个? 问题六、 时,增加什么条件可确定函数 上只有一个零点? 意图:通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理。 5.例题:求函数 的零点的个数。 在区间在

问题七、能否确定一个区间,使函数在该区间内有零点。 问题八、该函数有几个零点?为什么? 意图:通过例题分析,学会用零点存在性定理确定零点存在区间, 并且结合函数性质,判断零点个数的方法。 六.目标检测设计 1.函数 在区间[-5,6]上是否存在零点?若 存在,有几个? 2.利用函数图象判断下列方程有几个根 (1) (2) ; 。

3.指出下列函数零点所在的大致区间 (1) (2) 最后,师生共同小结(略)。 思考题:函数 的零点在区间 内有零点,如何求 ; 。

出这个零点?设计意图:为下一节“二分法”的学习做准备。

教 预设学 学环 节 学生独 立思考完 给出几个具 成解答, 观 体的一元二次 创设 方程的根及其 情境 相应的二次函 得出结论, 数的图像 并进行交 流 组织 探究 引导学生仔 细体会函数零 认真理 解函数零 让学生观察二次函数在区 间端点上的函数值之积的特 思维能力的形成 总结、 概括 掌握知识,又有助于学生抽象 察、思考、 程和二次函数,既有利于学生 二次函数到一般的一元二次方 由具体的一元二次方程和 教师活动 生行为 设计意图

(1) 点的概念、 函数 点的意义, 点,引导学生发现连续函数在

零点的意义、 函 数零点的求法

并根据函 数零点的 意义探索 其求法 分析函 数, 按提示 探索, 完成

某个区间上存在零点的判定方 法

引导学生结 解答, 并认 合函数图像, 分 真思考; 结 析函数在区间 组织 端点上的函数 探究 值的符号情况, 讨论、总 (2) 与函数零点是 否存在之间的 关系 结、 归纳得 出函数零 点存在的 条件, 并进 行交流、 评 析 ☆板书设计 方程的根与函数的 零点 一.复习引导 2.零点的定义 3.零点存在性定理 4.应用 例1 四.小结 五.作业 数学知识解决问题的能力 重要作用,提高学生综合运用 像,思考、 基本性质在确定函数零点中的 合函数图 让学生认识到函数图像及

二.新课讲授 1.一元二次方程与二 次函数的关系

三.例题

☆学生学习活动评价设计

评价表 自我评价 同学互评 父母评价 老师评价 由学生自评、同学评议、家长评议,综合以上评价老师才做出评定, 这改变了以往老师单一的“一刀切”,同时调动了被评价者——学生 的积极性、主动性,使学生在主动参与,自我反思,自我教育的过程 中不断进步,获得更好的发展。

☆教学反思 良好教学效果的达成,优秀的教学设计是基础, 有合理生成的教学 过程是保证。 纵观本节课的教学,本人个人认为,教学的预设目标特别是知识目 标基本达成,学生较好的掌握了相关知识,对零点概念、零点存在性 定理能较好理解, 并学会初步运用这些知识解决简单的零点判断问题。

不足之处是其他方面如探究发现的目标,未能很好的落实,有关数 学思想与方法的落实也有所欠缺。 出现上述种种问题, 归根到底是教师本身的不足, 教材挖掘不到位, 没有把握教材编写者的意图;自身学习不够,教学理念未能完全适合 新课程的要求等等。


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