江苏省镇江市扬中二中2016-2017学年高一数学下学期期末模拟试卷


2016-2017学年江苏省镇江市扬中二 中高一(下)期末数学模拟试卷
  一、填空题(共14小题,每小题0分,满分0分) 015春?扬中市校级期末)不等式   015春?扬中市校级期末)平面内给定向量 =(3,2), =(﹣1,2), =(1 ,6).满足( +k )∥( + ),则实数k=      .   015?淮安一模)已知a,b均为正数,且直线ax+by﹣6=0与直线2x+(b﹣3)y+5= 0互相平行,则2a+3b的最小值是      .   015春?扬中市校级期末)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=9,S3=39,则公比 q=      .   015春?扬中市校级期末)在等差数列{an}中,如果S7>S6,S7>S8,那么S6与S9 大小关系为      .   015春?扬中市校级期末)已知△ABC面积为S,AB=2,AC=3,且 则BC=      .   015春?扬中市校级期末)已知直线l过点(3,1),且倾斜角为直线x﹣2y﹣1=0 倾斜角的2倍,则直线l的斜截式方程为      .   1 ? = S, ≥1的解集是      .

015春?扬中市校级期末)直线l过点(1,3)且与圆M:x2+(y+1)2=4相交于P 、Q,弦PQ长为2   015春?扬中市校级期末)如果关于x的不等式(1﹣m2)x2﹣(1+m)x﹣1<0的 解集是R,则实数m的取值范围是      .   1015春?扬中市校级期末)已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x+3y﹣1=0的 两侧,且a>0,b>0,则   1015春?扬中市校级期末)在边长为2的正三角形ABC中,M是BC边上的中点, =2   1014?常州模拟)已知圆C:x2+y2=1,点P(x0,y0)是直线l:3x+2y﹣4=0上的 动点,若在圆C上总存在不同的两点A,B使得 .   1015春?扬中市校级期末)已知数列{ 列{an}的通项公式an=      .   1015春?扬中市校级期末)已知a,b,c为直角三角形的三边,其中c是斜边,若 + + ≥0恒成立,则实数t的取值范围是      . +an}的前n项和为Sn= ﹣ ,则数 + = ,则x0的取值范围是       ,则 ? =      . 的取值范围是      . ,则直线l的方程为      .

    二、解答题(共6小题,满分0分)

2

1015春?扬中市校级期末)已知向量 , 满足| |=2,| |=1,向量 , =2 +k .

=3 ﹣2

(1)若| ﹣ |=2,求向量 与 夹角θ的余弦值; (2)在(1)的条件下,求   1014?徐州三模)在△ABC中,已知C= ,且 . ,向量 =(sinA,1), =(1,cosB) ⊥ 时实数k的值.

(1)求A的值; (2)若点D在边BC上,且3   1015春?扬中市校级期末)已知a为正实数,函数f(x)=ax2﹣a2x﹣ 的图象与x 轴交于A,B两点,与y轴交于C点. (1)解关于x不等式f(x)>f(1); (2)求AB的最小值; (3)证明△ABC为直角三角形.   1015春?扬中市校级期末)某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费 、汽油费费用共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元, 第三年为0.6万元,…依等差数列逐年递增. (1)设该车使用n年的总费用(包括购车费)为f(n),试写出f(n)的表达 式; (2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年?使得年平均费用 最少)? (3)如果汽车采用分期付款的方式购买,在购买一个月后第一次付款,且在每 月的同一天等额付款一次,在购买后的第一年(24个月)将货款全部付清,月 = , = ,求△ABC的面积.

3

利率为1%,按复利算,每月应付款多少元给汽车销售商(结果精确到元,参考 数据1.0124≈1.27)?   1014春?扬州期末)已知圆O:x2+y2=1和点M(1,4). (1)过点M向圆O引切线,求切线的方程; (2)求以点M为圆心,且被直线y=2x﹣8截得的弦长为8的圆M的方程; (3)设P为(2)中圆M上任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q,试探究:平 面内是否存在一定点R,使得 为定值?若存在,请求出定点R的坐标,并指出

相应的定值;若不存在,请说明理由.   2015春?扬中市校级期末)已知常数λ∈R,且λ≠0,数列{an}满足a1= ,an+1=

,n∈N*.

(1)若λ=1,求证:数列{

}为等差数列;

(2)若λ=2,求证:数列{

﹣2}为等比数列;

(3)是否存在实数λ与前n项和为Sn的等比数列{bn},使得对任意n∈N*,an= 恒成立?如果存在,求出λ与数列{bn}的通项公式;如果不存在,请说明 理由.    

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2016-2017学年江苏省镇江市扬中二中高一(下)期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析   一、填空题(共14小题,每小题0分,满分0分) 015春?扬中市校级期末)不等式 ≥1的解集是 (﹣1,0] .

考点:其他不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:不等式即 ≤0,由此求得它的解集.

解答:

解:不等式

≥1,即

≤0,求得﹣1<x≤0,

故答案为:(﹣1,0]. 点评: 本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于基 础题.   015春?扬中市校级期末)平面内给定向量 =(3,2), =(﹣1,2), =(1 ,6).满足( +k )∥( + ),则实数k= 1 .

考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用. 分析:根据向量坐标的运算公式以及向量平行的等价条件建立方程关系即可. 解答: 解:∵向量 =(3,2), =(﹣1,2), =(1,6).

∴ +k =(3+k,2+6k), + =(2,4), ∵( +k )∥( + ), 5

∴4(3+k)﹣2(2+6k)=0, 即k=1, 故答案为:1 点评: 本题主要考查向量坐标的基本运算以及向量平行的坐标公式,注意和向 量垂直的坐标公式的区别.   015?淮安一模)已知a,b均为正数,且直线ax+by﹣6=0与直线2x+(b﹣3)y+5= 0互相平行,则2a+3b的最小值是 25 .

考点:直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题:直线与圆. 分析: 由两直线平行的条件得到 用基本不等式求得最值. 解答: 解:∵直线ax+by﹣6=0与直线2x+(b﹣3)y+5=0互相平行, ,由2a+3b=(2a+3b)( )展开后利

∴a(b﹣3)﹣2b=0且5a+12≠0, ∴3a+2b=ab,即 ,又a,b均为正数,

则2a+3b=(2a+3b)(

)=4+9+



当且仅当a=b=5时上式等号成立. 故答案为:25. 点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系,训练了利用基本不等 式求最值,是基础题.   6

015春?扬中市校级期末)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=9,S3=39,则公比 q= 3或  .

考点:等比数列的前n项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据等比数列的前n项和公式进行求解即可. 解答: 解:∵a2=9,S3=39,

∴a1+a3=39﹣9=30, 即 ,

消去首项得 即3q2﹣10q+3=0, 解得q=3或 ,



故答案为:3或 点评: 本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用,根据条件建立方程组关系 是解决本题的关键.   015春?扬中市校级期末)在等差数列{an}中,如果S7>S6,S7>S8,那么S6与S9 大小关系为 S6>S9 .

考点:等差数列的前n项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意和等差数列的性质可得a8<0,而S9﹣S6=3a8,可得答案. 7

解答:

解:∵S7>S6,S7>S8,

∴S7﹣S6=a7>0,S8﹣S7=a8<0, ∴S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8<0, ∴S6>S9, 故答案为:S6>S9 点评:本题考查等差数列的求和公式和性质,属基础题.   015春?扬中市校级期末)已知△ABC面积为S,AB=2,AC=3,且 则BC=   . ? = S,

考点:平面向量数量积的运算. 专题:解三角形;平面向量及应用. 分析: 根据三角形的面积公式有S= ,从而由条件

可以得到S

,从而可以得到tanA=

,这便知道A=

,这样在△A

BC中由余弦定理即可求出BC2,从而得出BC的值. 解答: 解:如图, = = ;

∴ 即tanA=

; ;

∵0<A<π; ∴ ; 8

由余弦定理:BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=4+9﹣6=7; ∴ . .

故答案为:

点评: 考查三角形的面积公式,向量的数量积的计算公式,切化弦公式,以及 余弦定理.   015春?扬中市校级期末)已知直线l过点(3,1),且倾斜角为直线x﹣2y﹣1=0 倾斜角的2倍,则直线l的斜截式方程为 4x﹣3y﹣9=0 .

考点:直线的倾斜角. 专题:直线与圆. 分析: 先求直线x﹣2y﹣1=0的斜率,进而转化为倾斜角,用2倍角公式求过点( 3,1)的斜率,再求解直线方程. 解答: 解:直线x﹣2y﹣1=0的斜率为k=0.5,倾斜角为α,所以tanα=0.5, 过点(3,1)的倾斜角为2α,其斜率为tan2α= = ,

故所求直线方程为:y﹣1= (x﹣3),即4x﹣3y﹣9=0 故答案为:4x﹣3y﹣9=0

9

点评: 本题考查的知识点是直线的倾斜角,斜率与倾斜角的关系,倍角公式, 关键是倾斜角的二倍和斜率的关系互化.   015春?扬中市校级期末)直线l过点(1,3)且与圆M:x2+(y+1)2=4相交于P 、Q,弦PQ长为2 ,则直线l的方程为 x=1,或15x﹣8y+9=0 .

考点:直线与圆的位置关系. 专题:综合题;直线与圆. 分析: 当直线的斜率不存在时,求出直线方程检验是否满足条件;当直线的斜 率存在时,由弦长公式求出圆心到直线的距离等于d,由此求得斜率,即得所求 的直线方程. 解答: 解:圆M:x2+(y+1)2=4的圆心为(0,﹣1),半径等于2. ),(0

当直线的斜率不存在时,直线方程为x=1,与圆的交点为(0,﹣1﹣ ,﹣1+ ),弦长等于2 ,满足条件.

当直线的斜率存在时,设直线y﹣3=k(x﹣1),kx﹣y+3﹣k=0,设圆心到直线 的距离等于d, ∵2 =2 ,∴d=1,由点到直线的距离公式得 =1,

∴k=

,直线为15x﹣8y+9=0.

综上,所求的直线方程为x=1,或15x﹣8y+9=0, 故答案为:x=1,或15x﹣8y+9=0. 点评: 本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用 ,体现了分类讨论的数学思想.要注意考虑斜率不存在的情况.   10

015春?扬中市校级期末)如果关于x的不等式(1﹣m2)x2﹣(1+m)x﹣1<0的 解集是R,则实数m的取值范围是 m≤﹣1或m>  .

考点:一元二次不等式的解法. 专题:分类讨论;不等式的解法及应用. 分析: 讨论m的取值,当m=1、﹣1以及m≠±1时,不等式的解集情况,求出满足 题意的实数m的取值范围. 解答: 解:令1﹣m2=0,解得m=±1;

当m=1,不等式化为﹣2x﹣1<0,不满足题意; 当m=﹣1时,不等式化为﹣1<0,满足条件; 当m≠±1时,根据题意得, ,

解得



即m<﹣1,或m>

综上,实数m的取值范围是m≤﹣1或m> .

故答案为:m≤﹣1或m> . 点评: 本题考查了含有字母系数的不等式的恒成立问题,解题时应对字母系数 进行讨论,是基础题目.  

11

1015春?扬中市校级期末)已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x+3y﹣1=0的 两侧,且a>0,b>0,则 的取值范围是 (﹣∞,﹣3) .

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析: 由题意得到关于a,b的约束条件,画出可行域,然后根据 义求范围. 解答: 解:因为点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x+3y﹣1=0的两侧,所以(2 a+3b﹣1)(2﹣1)<0,即2a+3b﹣1<0,又a>0,b>0, 所以a,b满足的平面区域是, 而 表示过(1,0)与区域内的点的直线斜率,所以 <﹣3; 的几何意

故答案为:(﹣∞,﹣3).

点评: 本题考查了简单线性规划的运用解决代数式的取值范围问题解答的关键 是明确a,b的约束条件,正确画图,利用目标函数的几何意义求最值. 12

  1015春?扬中市校级期末)在边长为2的正三角形ABC中,M是BC边上的中点, =2 ,则 ? = ﹣1 .

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析: 将所求中的两个向量分别利用三角形的两边 的乘法运算. 解答: 解:如图 =2 , = 、 表示,然后计算向量

由已知边长为2的正三角形ABC中,M是BC边上的中点, 则 ? = =

=﹣1; 故答案为:﹣1.

点评: 本题考查了平面向量的三角形法则的运用以及数量积公式的运用;关键 是将所求以   、 为基底表示出来.

13

1014?常州模拟)已知圆C:x2+y2=1,点P(x0,y0)是直线l:3x+2y﹣4=0上的 动点,若在圆C上总存在不同的两点A,B使得 . . + = ,则x0的取值范围是 

考点:向量的加法及其几何意义. 专题:平面向量及应用. 分析: 在圆C上总存在不同的两点A,B使得 + = ,可知:四边形OAPB是菱

形,于是AB垂直平分OP.分类讨论:当直线AB的斜率为0时,此时在⊙C上不存 在不同的两点A,B满足条件. 当直线AB的斜率不存在时,可得P . 当直线AB的斜率存在且不为0时,利用AB⊥OP, , 圆心到直线AB的距离 解出. 解答: 解:∵在圆C上总存在不同的两点A,B使得 + = , ,即 ,再利用3x0+2y0﹣4=0,即可 ,可得直线AB方程为 ,此时直线AB为: ,满足条件

∴四边形OAPB是菱形,∴AB垂直平分OP. 当直线AB的斜率为0时,由直线l:3x+2y﹣4=0得P(0,2),此时在⊙C上不存 在不同的两点A,B满足条件. 当直线AB的斜率不存在时,由直线l:3x+2y﹣4=0可得P ,此时直线AB

为:

,满足条件. 14

当直线AB的斜率存在且不为0时, ∵AB⊥OP, ,∴ .

∴直线AB方程为

,化为



圆心到直线AB的距离 又3x0+2y0﹣4=0,化为 解得 ,

,即 ,



∴x0的取值范围是



故答案为: 点评:



本题考查了菱形的性质、向量的平行四边形法则、相互垂直的直线斜率 之间的关系、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识与基本技 能方法,属于难题.   1015春?扬中市校级期末)已知数列{ 列{an}的通项公式an= n . +an}的前n项和为Sn= ﹣ ,则数

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列.

15

分析: 通过 +an=Sn﹣Sn﹣1计算可知:an=n(n≥2),验证a1=1亦满足上式即可

. 解答: 解:∵Sn= ﹣ ,

∴当n≥2时,

+an=Sn﹣Sn﹣1

=(



)﹣(





=n+



∴an=n, 又∵ +a1=S1= 即a1=1亦满足上式, ∴an=n, 故答案为:n. 点评: 本题考查数列的通项,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于 中档题.   1015春?扬中市校级期末)已知a,b,c为直角三角形的三边,其中c是斜边,若 + + ≥0恒成立,则实数t的取值范围是 [﹣9,+∞) . ,

考点:基本不等式. 专题:不等式. 16

分析: 问题转化为:t≥﹣( 可. 解答: ∴a2+b2=c2, 若 + + ≥0恒成立, 解:∵a,b,c为直角三角形的三边,其中c是斜边, + )恒成立,根据基本不等式的性质,求出即

则t≥﹣(

+



=﹣(1+ =﹣(5+2 =﹣9,

+4+ )



当且仅当a=b时“=”成立, 故答案为:[﹣9,+∞). 点评:本题考查了基本不等式的性质,考查勾股定理,是一道基础题.   二、解答题(共6小题,满分0分) 1015春?扬中市校级期末)已知向量 , 满足| |=2,| |=1,向量 , =2 +k . =3 ﹣2

(1)若| ﹣ |=2,求向量 与 夹角θ的余弦值; (2)在(1)的条件下,求 ⊥ 时实数k的值.

考点:数量积表示两个向量的夹角;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:平面向量及应用.

17

分析: (1)将等式平方展开,求出向量 与 的数量积,利用数量积公式求夹 角; (2)在(1)的条件下,由 . 解答: 解:(1)由已知得到| ﹣ |2=4即 ; ,所以 = ⊥ 得到数量积为0,展开得到关于k的等式解之

,所以向量 与 夹角θ的余弦值为: (2) ⊥ 时, ?

=0,所以(3 ﹣2 )?(2 +k )= .即24﹣2k+ ﹣2=0,解得k=44.

点评: 本题考查了利用向量的数量积公式求夹角以及向量垂直的性质的运用; 比较基础.   1014?徐州三模)在△ABC中,已知C= ,且 . ,向量 =(sinA,1), =(1,cosB)

(1)求A的值; (2)若点D在边BC上,且3 = , = ,求△ABC的面积.

考点:余弦定理;平面向量数量积的运算;正弦定理. 专题:三角函数的求值. 分析: (1)由两向量的坐标及两向量垂直,利用平面向量的数量积运算法则列 出关系式,根据C的度数,利用内角和定理表示出B,代入得出的关系式中计算 即可求出A的度数;

18

(2)设| |=3x,B=

|=x,由3

=

,得|

|=3x,由A的度数与C度数相等,可得出|

,利用余弦定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,确

定出AB与BC的长,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积. 解答: 解:(1)∵ =(sinA,1), =(1,cosB),且 ⊥ ,

∴sinA+cosB=0, 又C= ,A+B+C=π,

∴sinA+cos(

﹣A)=0,即sinA﹣

cosA+ sinA=sin(A﹣

)=0,

又0<A<

,∴A﹣

∈(﹣



),

∴A﹣

=0,即A=

; = ,得| |=3x,

(2)设|

|=x,由3 ,

由(1)知A=C=

∴|

|=3x,B=



在△ABD中,由余弦定理,得13=9x2+x2+3x2, 解得:x=1, ∴AB=BC=3, 则S△ABC= BA?BC?sinB= ×3×3×sin 点评: 此题考查了余弦定理,三角形的面积公式,以及平面向量的数量积运算 ,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.   19 = .

1015春?扬中市校级期末)已知a为正实数,函数f(x)=ax2﹣a2x﹣ 的图象与x 轴交于A,B两点,与y轴交于C点. (1)解关于x不等式f(x)>f(1); (2)求AB的最小值; (3)证明△ABC为直角三角形.

考点:一元二次不等式;函数的最值及其几何意义. 专题:函数的性质及应用;平面向量及应用. 分析: (1)不等式f(x)>f(1)可化为:ax2﹣a2x+a2﹣a>0(a>0);对a 值进行分类讨论,可得不等式的解集; (2)由函数f(x)=ax2﹣a2x﹣ 的图象与x轴交于A,B两点,可得AB= =

,利用基本不等式可得AB的最小值; (3)利用向量法,证明出 解答: 解:(1)不等式f(x)>f(1)可化为:ax2﹣a2x﹣ >a﹣a2(a>0) , 即ax2﹣a2x+a2﹣a>0(a>0); 解ax2﹣a2x+a2﹣a=0得x=1,或x=a﹣1, ∴a≥2时,不等式的解集为(﹣∞,1)∪(a﹣1,+∞); a<2时,不等式的解集为(﹣∞,a﹣1)∪(1,+∞); (2)∵函数f(x)=ax2﹣a2x﹣ 的图象与x轴交于A,B两点, ⊥ ,可得:△ABC为直角三角形.

20

∴AB=

=

=



=2,

当且仅当

,即a=

时取等号,

故AB的最小值为2; 证明:(3)∵函数f(x)=ax2﹣a2x﹣ 的图象与x轴交于A,B两点,

故A,B两点坐标为(

,0),

∵函数f(x)=ax2﹣a2x﹣ 的图象与y轴交于C点.

故C点坐标为(0,﹣ ),



=(﹣

,﹣ ),

=(﹣

,﹣ ),

∵ 故

? ⊥

=(﹣ ,

)×(﹣

)+(﹣ )2=0,

即△ABC为直角三角形. 点评: 本题考查的知识点是一元二次不等式的解法,二次函数,基本不等式, 判断三角形的形状,综合性强,属于难题.   1015春?扬中市校级期末)某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费 、汽油费费用共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元, 第三年为0.6万元,…依等差数列逐年递增. (1)设该车使用n年的总费用(包括购车费)为f(n),试写出f(n)的表达 式; 21

(2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年?使得年平均费用 最少)? (3)如果汽车采用分期付款的方式购买,在购买一个月后第一次付款,且在每 月的同一天等额付款一次,在购买后的第一年(24个月)将货款全部付清,月 利率为1%,按复利算,每月应付款多少元给汽车销售商(结果精确到元,参考 数据1.0124≈1.27)?

考点:数列的应用;函数模型的选择与应用. 专题:函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等差数列的求和公式即可写出f(n)的表达式;

(2)求出年平均费用,利用基本不等式进行求解即可; (3)利用等比数列的求和公式建立方程关系即可得到结论. 解答: =14.4+ 解:(1)依题意,得:f(n)=14.4+(0.2+0.4+…+0.2n)+0.9n +0.9n=0.1n2+n+14.4,(n∈N?),

(2)设该车的年平均费用为S万元,则有: S= (0.1n2+n+14.4)= + +1≥2 =2 =3.4,

当且仅当

,即:n=12时,等号成立.

故汽车使用12年报废最合算. (2)设每月付款a元,那么 a+a×1.01+a×1.012+…+a×1.0123=14.4×1.0124, 即 =14.4×1.0124,

即 解得a≈6773.



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点评: 本题主要考查与数列有关的应用问题,根据等差数列和等比数列的求和 公式以及基本不等式是解决本题的关键.考查学生的计算能力.   1014春?扬州期末)已知圆O:x2+y2=1和点M(1,4). (1)过点M向圆O引切线,求切线的方程; (2)求以点M为圆心,且被直线y=2x﹣8截得的弦长为8的圆M的方程; (3)设P为(2)中圆M上任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q,试探究:平 面内是否存在一定点R,使得 为定值?若存在,请求出定点R的坐标,并指出

相应的定值;若不存在,请说明理由.

考点:直线和圆的方程的应用. 专题:综合题;直线与圆. 分析: (1)M(1,4)在圆外,切线有两条;

(2)求出点M(1,4)到直线2x﹣y﹣8=0的距离,利用弦长,可求圆M的方程; (3)假设存在定点R,使得 为定值,设R(a,b),P(x,y), ,可

得(2﹣2λ+2aλ)x+(8﹣8λ+2bλ)y+(18﹣19λ﹣a2λ﹣b2λ)=0(*),

若使(*)对任意x,y恒成立,则

,即可得出结论

. 解答: 解:(1)若过点M的直线斜率不存在,直线方程为:x=1,为圆O的切线 ; …(1分) 当切线l的斜率存在时,设直线方程为:y﹣4=k(x﹣1),即kx﹣y﹣k+4=0,

23

∴圆心O到切线的距离为:

,解得:

∴直线方程为:15x﹣8y+17=0. 综上,切线的方程为:x=1或15x﹣8y+17=0…(4分) (2)点M(1,4)到直线2x﹣y﹣8=0的距离为: 又∵圆被直线y=2x﹣8截得的弦长为8, ∴ …(7分) ,

∴圆M的方程为:(x﹣1)2+(y﹣4)2=36…(8分) (3)假设存在定点R,使得 为定值,设R(a,b),P(x,y),

∵点P在圆M上,∴(x﹣1)2+(y﹣4)2=36,则x2+y2=2x+8y+19…(10分) ∵PQ为圆O的切线,∴OQ⊥PQ, ∴PQ2=PO2﹣1=x2+y2﹣1,PR2=(x﹣a)2+(y﹣b)2, ∴x2+y2﹣1=λ[(x﹣a)2+(y﹣b)2],即2x+8y+19﹣1=λ(2x+8y+19﹣2ax﹣2 by+a2+b2) 整理得:(2﹣2λ+2aλ)x+(8﹣8λ+2bλ)y+(18﹣19λ﹣a2λ﹣b2λ)=0 (*)

若使(*)对任意x,y恒成立,则

…(13分)



,代入得:

整理得:36λ2﹣52λ+17=0,解得:







24

∴存在定点R(﹣1,﹣4),此时

为定值

或定点R

,此时

为定值 点评:

.…(16分)

此题考查学生掌握直线与圆的位置关系,灵活运用两点间的距离公式及 点到直线的距离公式化简求值,会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程 ,是一道综合题.   2015春?扬中市校级期末)已知常数λ∈R,且λ≠0,数列{an}满足a1= ,an+1=

,n∈N*.

(1)若λ=1,求证:数列{

}为等差数列;

(2)若λ=2,求证:数列{

﹣2}为等比数列;

(3)是否存在实数λ与前n项和为Sn的等比数列{bn},使得对任意n∈N*,an= 恒成立?如果存在,求出λ与数列{bn}的通项公式;如果不存在,请说明 理由.

考点:数列递推式;等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)通过λ=1,对an+1= 两边取倒数,进而可得结论;

25

(2)通过λ=2,对an+1= ;

变形可得

﹣2= ?(

﹣2),进而可得结论

(3)假设存在实数λ与前n项和为Sn的等比数列{bn}满足条件,分别令n=1、2 、3,代入计算可得b1=1、λ= 或λ=2,分λ= 、λ=2两种情况讨论即可. 解答: ∴an+1= 证明:(1)∵λ=1, = ,



=

=2+







=2,

又∵a1= ,∴

=3,

∴数列{

}是以3为首项、2为公差的等差数列;

(2)∵λ=2, ∴an+1= = ,



= ?

=1+ ?





﹣2=1+ ?

﹣2= ?

﹣1= ?(

﹣2),

又∵a1= ,∴

﹣2=3﹣2=1,

∴数列{

﹣2}是以1为首项、 为公比的等比数列;

26

(3)结论:存在实数λ=2与通项为bn=2n﹣1的等比数列{bn}满足题意. 理由如下: 假设存在实数λ与前n项和为Sn的等比数列{bn}满足条件, 则当n=1时,有:a1= ,

又∵a1= ,∴b1=1;

当n=2时,有:a2=



又∵a2=

=

=





=

,解得b2=



当n=3时,有:a3=



又∵a3=

=

=



b3=

=(

)2,



=



整理得:3λ2﹣11λ+10=0, 解得:λ= 或λ=2, 下面分情况讨论: 27

①当λ= 时,b2=

= ,

∴bn=

,Sn=

=﹣2+



∴Sn+2=



= ,

另一方面有:an+1=

=



显然对任意n∈N*,an+1=

不恒成立,

∴λ= 不满足题意;

②当λ=2时,b2=

=2,

∴bn=2n﹣1,Sn=

=2n﹣1,

∴Sn+2=2n+1,

=



由(2)知此时数列{

﹣2}是以1为首项、 为公比的等比数列,



﹣2=

,∴

=2+

=



∴an=



∴an=

=



∴λ=2满足题意; 28

综上所述:存在实数λ=2与通项为bn=2n﹣1的等比数列{bn}满足题意. 点评: 本题考查求数列的通项,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问题 的能力,注意解题方法的积累,属于难题.  

29


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