高考数学答题模板:第7讲 导数的应用问题


第7讲 导数的应用问题 函数的单调性、极值、最值问题 例 8 已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值. 审题破题 (1)直接求 f′(x),g′(x),由已知条件得出含有 a,b 的方程,进而求出 a,b 的值; (2)设 h(x)=f(x)+g(x),求导函数 h′(x)后列表观察函数 f(x)+g(x)的单调性,进而要对 a 进行讨 论得出最值. 解 (1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b, 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线, ? ?f?1?=g?1?, 所以? ? ?f′?1?=g′?1?. ? ?a+1=b+1, 即? 解得 a=b=3. ?2a=3+b, ? (2)设 h(x)=f(x)+g(x), 1 ∵a2=4b,∴h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+ a2x+1. 4 1 则 h′(x)=3x2+2ax+ a2,令 h′(x)=0, 4 a a 解得 x1=- ,x2=- . 2 6 由 a>0,得 h(x)与 h′(x)的变化情况如下: x h′(x) h(x) ?-∞,-a? 2? ? + ? - 0 a 2 ?-a,-a? 6? ? 2 - ? - 0 a 6 ?-a,+∞? ? 6 ? + ? a? ? a a? ? ? a ∴函数 h(x)的单调递增区间为? ?-∞,-2?和?-6,+∞?,单调递减区间为?-2,-6?. a ①当-1≤- ,即 0<a≤2 时,函数 h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1] 2 a2 上的最大值为 h(-1)=a- ; 4 a? a a a ? ②当- <-1<- , 即 2<a<6 时, 函数 h(x)在区间? 在区间? ?-∞,-2?上单调递增, ?-2,-1?上 2 6 a? 单调递减,在区间(-∞,-1]上的最大值为 h? ?-2?=1; a? a? a ? a ③当-1≥- ,即 a≥6 时,函数 h(x)在区间? ?-∞,-2?上单调递增,在区间?-2,-6?上单 6 a ? 调递减,在区间? ?-6,-1?上单调递增, a? 1 2 1 2 又因为 h? ?-2?-h(-1)=1-a+4a =4(a-2) >0, a - ?=1. 所以 h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h? ? 2? a a2 - ?=1. 综上所述:当 a∈(0,2]时,最大值为 h(-1)=a- ;当 a∈(2,+∞)时,最大值为 h? ? 2? 4 构建答题模板 第一步:确定函数的定义域.如本题函数的定义域为 R. 第二步:求 h(x)的导数 h′(x). 第三步:求方程 h′(x)=0 的根. 第四步:利用 h′(x)=0 的根和不可导点的 x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间, 并列出表格. 第五步:由 h′(x)在开区间内的正、负值判断 h(x)在开区间内的单调性. 第六步:明确规范地表述结论. a 第七步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如本题中 h′(x)=0 的根为 x1=- ,x2 2 a =- .要确定 x1,x2 是否落在区间(-∞,-1]中,就必须对 a 的取值范围进行分类讨论.这就 6 是本题的关键点和易

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