湖北省荆州市洪湖一中2017届高三(上)9月联考数学试卷(理科)(解析版)


2016-2017 学



省荆州市洪湖一中高 试卷 理科

9

联考数学

一 选择题 本大题共 12 小题, 题 5 ,共 60 .在 小题给出的四个选项中,只 一项是符合题目要求的 1.设 U=R,A={x|2x 1},B={x|log2x 0},则 A∩?UB= A.{x|x 0} B.{x|x 1} C.{x|0 x 1} D.{x|0 x 1} 2.函数 A. 3.若 α∈ A. B.﹣ 的定 域是 B. ,π ,则 3cos2α=sin C. xdx,S2= D.﹣ exdx,S3= x2dx,则 S1,S2,S3 的大小关系为 C. ﹣α ,则 sin2α 的值为 D.与0,+∞

4.已知 S1=

C.S3 S2 S1 D.S2 S3 S1 A.S1 S2 S3 B.S1 S3 S2 5.设复数 z 满足 z+i 1+i =1﹣i i 是虚数单位 ,则|z|= A.1 B .2 C .3 D.4 6. 设 f x =x3+log2 x+ b, a+b 0 是 f a +f b , 则对任意实数 a, 0的

A.充 必要条 B.充 而非必要条 C.必要而非充 条 D.既非充 也非必要条 7.若曲线 f x = 在点 1,f 1 处的 线过点 0,﹣2e ,则函数 y=f x 的

极值为 A.1 B .2 C .3 D .e 8.函数 f x =sin2x 和函数 g x 的部 图象如图所示,则函数 g x 的解析式可 是

A.g

x =sin 2x﹣ x =cos 2x﹣

B.g x =sin 2x+

C.g x =cos 2x+

D.g

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x1f x2 +x2f 9.定 在 R 的函数 f x ,若对任意 x1≠x2,都 x1f x1 +x2f x2 2 x1 ,则 f x 为“H 函数”,给出 列函数 ①y=﹣x +x+1 ②y=3x﹣2 sinx﹣cosx ③y=ex+1 ④f x = 中“H 函数”的个数为

A.4 B .3 C .2 D.1 10.设函数 f x 是定 在 R 的偶函数,对任意 x∈R,都 2,0成时,f x = a 1 恰 A. ,2
x

f x =f x+4 ,且当 x∈与﹣ x+2 =0

﹣1,若在区间 ﹣2,6成内关于 x 的方程 f x ﹣loga

个 同的实数根,则 a 的取值范围是 B. ,2 C.与 ,2 D. , 2成

11.设 f x =

,则

f x dx 的值为

A.

+

B.

+3

C.

+

D.

+3

12.已知函数 f x 的定 域为 R,对任意 x1 x2, =1,则 等式 f log2|3x﹣1| A. ﹣∞,0 B. ﹣∞,1 2﹣log2|3x﹣1|的解集为 C. ﹣1,0 ∪ 0,3

﹣1,且 f 1

D. ﹣∞,0 ∪ 0,1

二 本大题共 4 小题, 小题 5 ,共 20 .将答案填在答题卡中的横线 . 13.“a 1”是“函数 f x =a?x+cosx 在 R 单调递增”的 条 . 空格处请填写“充 必要条 ” “必要 充 条 ” “充要条 ”或“既 充 也 必要条 ” 14.已知函数 f x = 范围是 . ,且 tan α+ =3,则 lg 8sinα+6cosα ﹣lg 4sinα﹣cosα = . ,若 等式 f x a 恒 立,则实数 a 的取值

15.已知 α∈ 0,

16.对于 次函数 f x =ax3+bx2+cx+d a≠0 ,给出定 设 f′ x 是函数 y=f x 的 导数,f′′ x 是 f′ x 的导数,若方程 f′′ x 实数解 x0,则 点 x0,f x0 为函数 y=f x 的“拐点”.某同学 过探究发现 任何一个 次函数都 “拐点” 任何一个 次函 数都 对 中心,且“拐点”就是对 中心.设函数 f x = x3﹣ x2+3x﹣ 这一发现,计算 f +f +f +…+f = . ,请你根据

解答题本大题共 5 小题,共 70 17.已知 sinαtanα= ,且 0 α π.

.解答题

写出文字说明

证明过程或演算

骤.

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共 19 页

1 求 α 的值 2 求函数 f x =4cosxcos x﹣α 在与0, 成 的值域.

18.设函数 f x 的定 域是 R,对于任意实数 m,n,恒 f m+n =f m ?f n ,且 1. 当 x 0 时,0 f x 1 求证 f 0 =1,且当 x 0 时, f x 1 2 判断 f x 在 R 的单调性 f 1 },B={ x,y |f ax﹣y+2 =1,a 3 设集合 A={ x,y |f x2 ?f y2 ∈R},若 A∩B=?,求 a 的取值范围. 19.已知函数 f x = 1 当 x∈与﹣ , sin2x﹣cos2x﹣ x∈R

成时,求函数 f x 取得最大值和最小值时 x 的值

= 2 设锐角△ABC 的内角 A B C 的对 边 别是 a,b,c,且 a=1,c∈N*,若向 1,sinA = 2,sinB 向 行,求 c 的值. 20.已知某公 生产品牌服装的 固定 本是 10 万元, 生产一千 ,需另投入 2.7 万元, 设该公 内共生产该品牌服装 x 千 并 部销售完, 千 的销售收入为 R x 万元,

且R x =



1 写出 利润 W 万元 关于 产 x 千 的函数解析式 2 产 为多少千 时,该公 在这一品牌服装的生产中所获利润最大 注 利润= 销售收入﹣ 总 本 21.已知函数 f x =ln 1+x ﹣ a 0

若 x=1 是函数 f x 的一个极值点,求 a 的值 0 在与0,+∞ 若f x 恒 立,求 a 的取值范围 证明 e 为自然对数的 数 .

请考生在第 22 23 24 题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目,如果多做,则 按所做的第一个题目计 与选修 4-1 几何证明选讲成 22. 几何证明选讲选做题 已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的 线,交 BC 的延长线于 点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连接 FB,FC. 1 求证 FB=FC 2 若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=3 ,求 AD 的长.

与选修 4-4

坐标系

参数方程选讲成
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23.已知直线 l 的参数方程为

t 为参数 .曲线 C 的极坐标方程为

ρ=2

.直线 l

曲线 C 交于 A,B 两点,

y 轴交于点 P.

1 求曲线 C 的直角坐标方程 2 求 的值.

与选修 4-5 等式选讲成 24.已知 等式|x2﹣3x﹣4| 求 a b 的值

2x+2 的解集为{x|a x b}.

若 m,n∈ ﹣1,1 ,且 mn= ,S=

+

,求 S 的最大值.

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2016-2017 学



省荆州市洪湖一中高 考数学试卷
参考答案

9



理科

试题解析

一 选择题 本大题共 12 小题, 题 5 ,共 60 .在 小题给出的四个选项中,只 一项是符合题目要求的 1.设 U=R,A={x|2x 1},B={x|log2x 0},则 A∩?UB= A.{x|x 0} B.{x|x 1} C.{x|0 x 1} D.{x|0 x 1} 考点 交 并 补集的混合运算. 析 利用对数函数的性质,求出集合 B 中 等式的解集,确定出集合 B,利用指数函 数的性质确定出集合 B,由 集 U=R,求出 B 的补集,找出 A B 补集的公共部 ,即可 确定出所求的集合 解答 解 易知 A={x|x 0},B={x|x 1},则 A∩CUB={x|0 x 1}, 故选 C.

2.函数 A.

的定 域是 B. C. D.与0,+∞

考点 函数的定 域及 求法. 析 根据函数 立的条 即可求函数的定 域. 解答 解 要使函数 意 ,则 ,



,即



解得 x ﹣ 且 x≠0, 故函数的定 域为 故选 B. ,

3.若 α∈ A. B.﹣

,π ,则 3cos2α=sin C. D.﹣

﹣α ,则 sin2α 的值为

考点 角函数的 简求值 同角 角函数基本关系的运用 两角和 差的余弦函数 两 角和 差的 弦函数. 析 直接利用两角和 差的 角函数 及二倍角的余弦函数 简函数的表达式, 利用 方关系式求出结果即可.

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解答 解 3cos2α=sin 可得 3cos2α= 3

﹣α ,

cosα﹣sinα , cosα﹣sinα , sinα﹣cosα≠0, , .

cos2α﹣sin2α = α∈ 式 为 ,π ,

sinα+cosα=

两边 方可得 1+sin2α= sin2α= 故选 D. .

4.已知 S1=

xdx,S2=

exdx,S3=

x2dx,则 S1,S2,S3 的大小关系为

C.S3 S2 S1 D.S2 S3 S1 A.S1 S2 S3 B.S1 S3 S2 考点 定 . 析 先利用 基本定理计算 个定 ,再比较它们的大小即可. 解答 解 S1= S3= x2dx= | xdx= x2| = = 4﹣1 = ,S2= exdx=ex| =e2﹣e=e e﹣1 ,

8﹣ 1 = ,

e e﹣1 , S1 S3 S2 故选 B. 5.设复数 z 满足 z+i 1+i =1﹣i i 是虚数单位 ,则|z|= A.1 B .2 C .3 D.4 考点 复数求模. 析 变形已知条 可得 z+i= 解答 解 z+i= = z+i 1+i =1﹣i, , 简可得 z,可得模长.

=

=﹣i, z=﹣2i

|z|=2 故选 B.

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6. 设 f x =x3+log2 x+

b, a+b 0 是 f a +f b , 则对任意实数 a,

0的

A.充 必要条 B.充 而非必要条 C.必要而非充 条 D.既非充 也非必要条 考点 必要条 充 条 充要条 的判断 函数单调性的性质 奇函数. 析 由 f ﹣x =﹣x3+log2 ﹣x+ =﹣x3+log2 =﹣x3﹣log2 x+

=﹣f x ,知 f x 是奇函数.所 f x 在 R 是增函数,a+b 0 可得 af a +f b 0 立 若 f a +f b 0则f a ﹣f b =f ﹣b 由函数是增函数知 a+b 0 =0 的充要条 . 立 a+b =0 是 f a +f b 解答 解 f x =x3+log2 f ﹣x =﹣x3+log2 ﹣x+ =﹣x3﹣log2 x+ x+ ,f x 的定 域为 R =﹣x3+log2

= ﹣f x .

f x 是奇函数 f x 在 0,+∞ 是增函数 f x 在 R 是增函数 a+b 0 可得 a ﹣b f a f ﹣b =﹣f b f a +f b 0 立 0则f a 若 f a +f b ﹣f b =f ﹣b 由函数是增函数知 a ﹣b a+b 0 立 a+b 0 是 f a +f b 0 的充要条 .

7.若曲线 f x = 极值为 A.1 B .2

在点 1,f 1

处的 线过点 0,﹣2e ,则函数 y=f x



C .3

D .e

考点 利用导数研究曲线 某点 线方程. 析 求出 f x 的导数,可得 线的斜率,运用两点的斜率公式,解方程可得 a=2,求 出 f x 的单调区间,即可得到 f x 的极大值. 解答 解 f x = 的导数为 f′ x = ,

可得在点 1,0 处的 线斜率为 k=ae, 由两点的斜率公式,可得 ae= 解得 a=2,f x = ,
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=2e,

f′ x

=

, 0,f x 递增.

0,f x 递 当 x e 时,f′ x 当 0 x e 时,f′ x 即 x=e 处 f x 取得极大值,且为 f e =2. 故选 B.

8.函数 f x =sin2x 和函数 g x 的部 图象如图所示,则函数 g x 的解析式可 是

A.g

x =sin 2x﹣ x =cos 2x﹣

B.g x =sin 2x+

C.g x =cos 2x+

D.g

考点 由 y=Asin

ωx+φ 的部 图象确定 解析式. , = , =sin ≠ ≠ , , ,故错误 ,逐个选项验证可得.

析 由图象可得 g x 的图象 过点 解答 解 值计算可得 f =sin

由图象可得 g x 的图象 过点 入验证可得选项 A,g 选项 B,g 选项 D,g 选项 C,g 故选 C. =sin =cos =cos

,故错误 =≠ = ,故错误

=﹣cos =cos

,故 确.

x1f x2 +x2f 9.定 在 R 的函数 f x ,若对任意 x1≠x2,都 x1f x1 +x2f x2 2 x1 ,则 f x 为“H 函数”,给出 列函数 ①y=﹣x +x+1 ②y=3x﹣2 sinx﹣cosx ③y=ex+1 ④f x = 中“H 函数”的个数为

A.4

B .3

C .2

D.1 函数奇偶性的性质.

考点 函数单调性的性质

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x1f x2 +x2f x1 等 为 x1﹣x2 与f x1 ﹣f x2 成 析 等式 x1f x1 +x2f x2 0,即满足条 的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论. x1 f x2 +x2 f 解答 解 对于任意给定的 等实数 x1,x2, 等式 x1f x1 +x2f x2 x1 恒 立, 等式等 为 x1﹣x2 与f x1 ﹣f x2 成 0 恒 立, 即函数 f x 是定 在 R 的增函数. ①y=﹣x2+x+1 的对 轴是 x= ,则函数在定 域 ②y=3x﹣2 sinx﹣cosx y′=3﹣2 cosx+sinx =3﹣2 单调, 满足条 . sin x+ 0,函数单调递增,

满足条 . ③y=ex+1 为增函数,满足条 ④f x =

. .当 x 0 时,函数单调递增,当 x 0 时,函数单调递 ,

满足条 . 综 满足“H 函数”的函数为②③, 故选 C. 10.设函数 f x 是定 在 R 2,0成时,f x = a 1 恰 A. ,2
x

的偶函数,对任意 x∈R,都

f x =f x+4 ,且当 x∈与﹣ x+2 =0

﹣1,若在区间 ﹣2,6成内关于 x 的方程 f x ﹣loga

个 同的实数根,则 a 的取值范围是 B. ,2 C.与 ,2 D. , 2成

考点 函数的周期性 函数奇偶性的性质. 析 由已知中 f x 是定 在 R 的偶函数, 对于任意的 x∈R, 都 f x﹣2 =f 2+x , 们可 得到函数 f x 是一个周期函数,且周期为 4,则 难画出函数 f x 在区间 ﹣ 2,6成 的图象,结合方程的解 函数的零点之间的关系, 们可将方程 f x ﹣logax+2=0 恰 3 个 同的实数解,转 为函数 f x 的 函数 y=﹣logax+2 的图象恰 3 个 同的交 点,数形结合即可得到实数 a 的取值范围. 解答 解 设 x∈与0,2成,则﹣x∈与﹣2,0成, f ﹣x =
﹣x

﹣1=2x﹣1,

f x 是定 在 R 的偶函数, f x =f ﹣x =2x﹣1. 对任意 x∈R,都 f x =f x+4 , 当 x∈与2,4成时, x﹣4 ∈与﹣2,0成, f x =f x﹣4 =xx﹣4﹣1 当 x∈与4,6成时, x﹣4 ∈与0,2成, f x =f x﹣4 =2x﹣4﹣1. 若在区间 ﹣2,6成内关于 x 的方程 f x ﹣loga x+2 =0 a 1 恰 根, 个交点, 函数 y=f x 函数 y=loga x+2 在区间 ﹣2,6成 恰
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个 同的实数

通过画图可知 恰

个交点的条 是

,解得

a 2,

即 故选 B

a 2,因 所求的 a 的取值范围为

,2 .

11.设 f x =

,则

f x dx 的值为

A.

+

B. .

+3

C.

+

D.

+3

考点 定

析 根据定 后根据定

性质可得

f x

dx=

+

,然

可得. 性质可得 f x dx= 是 , , 原点为圆心, + ,

解答 解 根据定 根据定

的几何意 , = f x dx= +

1 为半径圆面 的 ,

=

+ ,

故答案选 A.

12.已知函数 f x 的定 域为 R,对任意 x1 x2,

﹣1,且 f 1

=1,则 等式 f log2|3x﹣1| 2﹣log2|3x﹣1|的解集为 D. ﹣∞,0 ∪ 0,1 A. ﹣∞,0 B. ﹣∞,1 C. ﹣1,0 ∪ 0,3 考点 奇偶性 单调性的综合. 析 由题意可得函数 R x =f x +x 是 R 的增函数,f log2|3x﹣1| +log2|3x﹣ 1| f 1 +1,可得﹣2 3x﹣1 2,且 3x﹣1≠0,由 求得 x 的范围.

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解答 解

函数 f x 的定 域为 R,对任意 x1

x2,

﹣1,即

0, 故函数 R x =f x +x 是 R 的增函数, 2﹣log2|3x﹣1|,可得 f log2|3x﹣1| +log2|3x﹣1| 由 等式 f log2|3x﹣1| +1, log2|3x﹣1| 1,故﹣2 3x﹣1 2,且 3x﹣1≠0,求得 3x 3,且 x≠0, 解得 x 1,且 x≠0, 故选 D.

2=f 1

二 本大题共 4 小题, 小题 5 ,共 20 .将答案填在答题卡中的横线 . 13.“a 1”是“函数 f x =a?x+cosx 在 R 单调递增”的 充 条 . 空格处 必要条 请填写“充 必要条 ” “必要 充 条 ” “充要条 ”或“既 充 也 必要条 ” 考点 必要条 充 条 充要条 的判断. 析 由条 利用充 条 必要条 充要条 的定 进行判断,可得结论. 解答 解 由“a 1”,可得 f′ x =1﹣sinx 0,故“函数 f x =a?x+cosx 在 R 单调递 ” 增 ,故充 性 立. 由“函数 f x =a?x+cosx 在 R 单调递增”,可得 f′ x =1﹣sinx 0,a 1, 能得到“a 1”,故必要性 立, 故答案为 充 必要条 .

14.已知函数 f x =

,若 等式 f x

a 恒 立,则实数 a 的取值

范围是 ﹣∞,﹣1成 . 考点 函数恒 立 题. 析 求得 f x 的值域,运用二次函数和指数函数的单调性即可求得,再由 等式恒 立思想即可得到所求 a 的范围. 解答 解 当 x ﹣1 时,f x =x2﹣2 递 , f ﹣1 =1﹣2=﹣1 可得 f x 当 x ﹣1 时,f x =2x﹣1 递增, 可得 f x f ﹣1 = ﹣1=﹣ .

综 可得,f x 的值域为 ﹣1,+∞ . a 恒 立, 由 等式 f x 即 a ﹣1. 则 a 的范围是 ﹣∞,﹣1成. 故答案为 ﹣∞,﹣1成.

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15.已知 α∈ 0, 1

,且 tan

α+

=3,则 lg 8sinα+6cosα ﹣lg 4sinα﹣cosα

=

. 考点 同角 角函数基本关系的运用 对数的运算性质. 析 根据角的范围,由两角和的 函数公式可求 tanα,利用对数的运算性质即可计算 得解. 解答 解 α∈ 0, =3, tan lg , 8sinα+6cosα ﹣lg 4sinα﹣cosα =lg =lg =lg10=1. ,且 tan α+ =3,

故答案为 1. 16.对于 次函数 f x =ax3+bx2+cx+d a≠0 ,给出定 设 f′ x 是函数 y=f x 的 导数,f′′ x 是 f′ x 的导数,若方程 f′′ x 实数解 x0,则 点 x0,f x0 为函数 y=f x 的“拐点”.某同学 过探究发现 任何一个 次函数都 “拐点” 任何一个 次函 数都 对 中心,且“拐点”就是对 中心.设函数 f x = x3﹣ x2+3x﹣ 一发现,计算 f 考点 类比推理. 析 由题意可推出 =2f =2,从而求 f ,1 为 f x 的对 中心,从而可得 f +f +f +…+f +f =2014 的值. +f +f +… +f = ,请你根据这

2014 .

解答 解 f′ x =x2﹣x+3, 由 f′′ x =2x﹣1=0 得 x0= , f x0 =1, 则 则f 则f ,1 为 f x 的对 中心,由于 +f +f =2f +f =2, +…+f =2014. ,

故答案为 2014. 解答题本大题共 5 小题,共 70 17.已知 sinαtanα= ,且 0 α π. 1 求 α 的值
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.解答题

写出文字说明

证明过程或演算

骤.

2 求函数 f x =4cosxcos x﹣α 在与0,



的值域.

考点 同角 角函数基本关系的运用 角函数中的恒等变换 用 弦函数的图象. 析 1 由条 利用同角 角函数的基本关系求得 cosα 的值,可得 α 的值. 2 利用 角函数的恒等变换 简 f x 的解析式,再利用 弦函数的定 域和值域,求 得函数 f x 的值域. 解答 解 1 sinαtanα= , 2sin2α=3cosα,即 2cos2α+3cosα﹣2=0,求得 cosα= ,

或 cosα=﹣2 舍去 . 0 α π, α= . 成=2cos2x+2

2 函数 f x =4cosxcos x﹣α =4cosx与cosx? +sinx? sinxcosx=1+cos2x+ 在与0, 3成, 故函数 f x 的值域为与2,3成. 18.设函数 f x 的定 域是 R,对于任意实数 m,n,恒 1. 当 x 0 时,0 f x 1 求证 f 0 =1,且当 x 0 时, f x 1 2 判断 f x 在 R 的单调性 3 设集合 A={ x,y |f x2 ?f y2 ∈R},若 A∩B=?,求 a 的取值范围. 成 ,2x+ sin2x=1+2sin ∈与 , 2x+ 成,2sin . 2x+

∈与1,2成,2sin 2x+

+1∈与2,

f m+n

=f m ?f n ,且

f 1 },B={ x,y |f ax﹣y+2 =1,a

考点 函数单调性的判断 证明 集合关系中的参数取值 题 函数的值. 析 1 利用赋值法证明 f 0 =1,因为 f m+n =f m f n ,且当 x 0 时,0 f x 1,利用赋值法,只需 m=x 0,n=﹣x 0,即可证明当 x 0 时, f x 1. 2 利用函数单调性的定 判断,只需设 R x1,x2,且 x1 x2,再作差比较 f x2 f x1 的大小即可. 3 先判断集合 A,B 别表示什 集合,两个集合都是点集,A 表示圆心在 0,0 ,半 径是 1 的圆的内部,B 表示直线 ax﹣y+2=0,因为 A∩B=?,所 直线 圆内部没 交点, 直线 圆相离或相 ,再据 求出参数的范围. f m+n =f m f n , m=1,n=0,则 f 1 =f 1 f 0 , 解答 解 1 证明 1, f 1 0 f 0 =1 且由 x 0 时,0 f x 设 m=x 0,n=﹣x 0, f 0 =f x f ﹣x , f x = 1, 1.

﹣ x 0, 0 f ﹣ x

1. 即当 x 0 时, f x 2 设 x1 x2,则 x2﹣x1 0, 0 f x2﹣x1 1, f x2 ﹣f x1 =f与 x2﹣x1 +x1成﹣f x1 =f x2﹣x1 f x1 ﹣f x1 =f x1 与f x2﹣x1 ﹣1成 0,
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当 m=n 时,f 2n =f n f n =f n 2 0, 0, 0,所 f x1 所 当 x∈R,f x 0,即 f x2 f x1 , 所 f x2 ﹣f x1 f x 在 R 单调递 . 3 f x2 f y2 f 1 , 2 2 f 1 ,由 f x 单调性知 x2+y2 1, f x +y 又 f ax﹣y+2 =1=f 0 , ax﹣y+2=0, 又 A∩B=?, a2+1 4,从而 , .

19.已知函数 f x = 1 当 x∈与﹣ ,

sin2x﹣cos2x﹣

x∈R

成时,求函数 f x 取得最大值和最小值时 x 的值

= 2 设锐角△ABC 的内角 A B C 的对 边 别是 a,b,c,且 a=1,c∈N*,若向 1,sinA = 2 sinB c 向 , 行,求 的值. 考点 角函数中的恒等变换 用 弦函数的图象 余弦定理. 析 1 首先, 简函数解析式,利用辅助角公式, 简给定的函数,然后,结合 角 函数的图象 性质进行求解 2 根据向 共线的条 ,同时结合余弦定理进行求解. 解答 解 = =sin 1 f x = sin2x﹣ ﹣ ,

sin2x﹣ cos2x﹣1, 2x﹣ , 2x﹣ sin 2x﹣ ﹣1, 成, , 1, =1 时,即 2x﹣ =﹣ 时,即 2x﹣ = ,得 x= =﹣ ,f x 取得最大值 ,f x 取得最小值

x∈与﹣ ﹣ ﹣

当 sin 2x﹣ 当 sin 2 2x﹣

,得 x=﹣

= 1,sinA = 2,sinB 向 向 行, 所 sinB=2sinA,根据 弦定理的推论,得 b=2a, a=1,b=2, 由余弦定理 c2=1+4﹣2×1×2cosC=5﹣4cosC,

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0 C

, 0

cosC 1,

1 c2 5, 1 c , * c∈N , c=2, 检验符合 角形要求, c 的值 2. 20.已知某公 生产品牌服装的 固定 本是 10 万元, 生产一千 ,需另投入 2.7 万元, 设该公 内共生产该品牌服装 x 千 并 部销售完, 千 的销售收入为 R x 万元,

且R x =



1 写出 利润 W 万元 关于 产 x 千 的函数解析式 2 产 为多少千 时,该公 在这一品牌服装的生产中所获利润最大 注 利润= 销售收入﹣ 总 本 考点 段函数的 用 函数模型的选择 用. 析 1 当0 x 10 时,W=xR x ﹣ 10+2.7x =8.1x﹣ ﹣10,当 x 10 时,

W=xR x ﹣ 品x 千 2 当0 x

10+2.7x =98﹣

﹣2.7x,由 能求出 利润 W 万元 关于该特许商

的函数解析式 10 时, 由 W′=8.1﹣ =0, W 取最大值, 得 x=9, 推导出当 x=9 时, 且 wmax=38.6

当 x 10 时,W 38.由 得到当 产 为 9 千 时,该公 在这一品牌服装的生产中所获 利润最大. 解答 解 1 当 0 x 10 时, W=xR x ﹣ 10+2.7x =8.1x﹣ ﹣10, ﹣2.7x,

当 x 10 时,W=xR x ﹣

10+2.7x =98﹣

W=

2 ①当 0 x 由 W′=8.1﹣

10 时,

=0,得 x=9,且当 x∈ 0,9 时,w′ 0,

当 x∈ 9,10 时,w′ 0. 当 x=9 时,W 取最大值,且 wmax=8.1×9﹣ ②当 x 10 时,W=98﹣ +2.7x 98﹣2 ×93﹣10=38.6. =38,

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当且仅当

=2.7x,即 x=

时,Wmax=38.

综合① ②知 x=9 时,W 取最大值. 所 当 产 为 9 千 时,该公 在这一品牌服装的生产中所获利润最大.

21.已知函数 f x =ln 1+x ﹣

a 0

若 x=1 是函数 f x 的一个极值点,求 a 的值 0 在与0,+∞ 若f x 恒 立,求 a 的取值范围 证明 e 为自然对数的 数 .

考点 利用导数研究函数的极值 利用导数求 区间 函数的最值. 析 求出函数的导数,得到关于 a 的方程,解出即可 题转 为 f x min 0,根据函数的单调性,通过讨论 a 的范围求出 a 的 体范围 即可 等式两边取对数,得到 ln 1+ 解答 解 ﹣ , 0,结合函数的单调性证明即可.

, x=1 是函数 f x 的一个极值点, f′ 1 =0 即 a=2 f x 0 在与0,+∞ 恒 立, f x min 0, 0 在与0,+∞ 当 0 a 1 时,f′ x 恒 立, 即 f x 在与0,+∞ 为增函数, f x min=f 0 =0 立,即 0 a 1, 0,则 x a﹣1, 当 a 1 时, f′ x f′ x 0,则 0 x a﹣1, 即 f x 在与0,a﹣1 为 函数,在 a﹣1,+∞ 为增函数, 0,又 f 0 =0 f a﹣1 ,则矛盾. f x min=f a﹣1 综 ,a 的取值范围为 0,1成. 要证 两边取自然对数得, ?ln 由 又 ﹣ 0?ln 1+ ﹣ 0, 在与0,+∞ 单调递增, ,只需证 , ,

知 a=1 时,f x =ln 1+x ﹣ 0,f 0 =0,

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f

=ln

﹣ 立.

f 0 =0,

请考生在第 22 23 24 题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目,如果多做,则 按所做的第一个题目计 与选修 4-1 几何证明选讲成 22. 几何证明选讲选做题 已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的 线,交 BC 的延长线于 点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连接 FB,FC. 1 求证 FB=FC 2 若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=3 ,求 AD 的长.

考点 圆 接多边形的性质 判定 圆周角定理. 析 1 证明 FB=FC,即证∠FBC=∠FCB,利用 AD ∠EAC,四边形 AFBC 内接 于圆,可证得 2 先计算得∠ACD=90°,∠DAC=60°,∠D=30°,在 Rt△ACB 中,求 AC 的长,在 Rt △ACD 中,求 AD 的长. AD 解答 1 证明 ∠EAC, ∠EAD=∠DAC 四边形 AFBC 内接于圆, ∠DAC=∠FBC …2′ ∠EAD=∠FAB=∠FCB ∠FBC=∠FCB FB=FC.…5 2 解 AB 是圆的直径, ∠ACD=90° ∠EAC=120°, ∠DAC=60°, ∠D=30°…7′ 在 Rt△ACB 中, BC=3 ,∠BAC=60°, AC=3 又在 Rt△ACD 中,∠D=30°,AC=3, AD=6 …10′ 与选修 4-4 坐标系 参数方程选讲成

23.已知直线 l 的参数方程为

t 为参数 .曲线 C 的极坐标方程为

ρ=2

.直线 l

曲线 C 交于 A,B 两点,

y 轴交于点 P.

1 求曲线 C 的直角坐标方程 2 求 考点 参数方程 析 的值. 普通方程. ,展开为 入即可得出

1 由曲线 C 的极坐标方程 ρ=2 ,把

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2 设直线 曲线 C 交于 A,B 两点,

y 轴交于点 P,把直线的参数方程
2 2

, 入曲线 C 的普通方程 x﹣1

+ y﹣1

=2 中, 得 t2﹣t﹣1=0,

得到根 系数的关系,利用直线参数的意 即可得出. 解答 解 1 由曲线 C 的极坐标方程 ρ=2 ,ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ, 普通方程是 x2+y2=2y+2x, 即 x﹣1 2+ y﹣1 2=2. 2 设直线 曲线 C 交于 A,B 两点, ,展开为

y 轴交于点 P,
2 2

把直线的参数方程

, 入曲线 C 的普通方程 x﹣1

+ y﹣1

=2

中, 得 t2﹣t﹣1=0, ,

=

=



与选修 4-5 等式选讲成 24.已知 等式|x2﹣3x﹣4| 求 a b 的值

2x+2 的解集为{x|a x b}.

若 m,n∈ ﹣1,1 ,且 mn= ,S=

+

,求 S 的最大值.

考点 绝对值 等式的解法. 析 对 等式的右边 解因式,可得 x+1 0,且|x﹣4| 2,由绝对值 等式的 解法,可得 a,b 的值 可得 mn= ,S= 及 a2+b2 2ab 解答 解 a=b 取得等 因为 + ,运用基本 等式 a+b 2 a=b 取得等 ,

,可得 S 的最大值.

, 所 a=2,b=6.
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因为 a=2,b=6,所 由 m,n∈ ﹣1,1 ,可得 1﹣m2 0,1﹣n2 0,



, 当且仅当 时取等 ,所 Smax=﹣6.

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