2016年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试 理科数学答案


2016 年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟考试 数学(理科)答案
一、选 择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题的选项中只有一项是正确的. 1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C 8.B 9.C 10.B 11.C 12.D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.70 14.14 15.

16 3

16.

32 ? 3

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(Ⅰ) 解:由题可知 a2 ? a5 ? 18 3 ,又 a5 ? 8a2 ---------2 分 故 a2 ? 2 3 ∴ a1 ? 3 ----------4 分

(Ⅱ)∵点 M (?1, a1 ) 在函数 y ? a1 sin( ∴ sin( ?

?
4

x ? ? ) 的图象上,
3 ? -------------6 分 4

?
4

? ? ) ? 1 ,又∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

如图,连接 MN ,在 ?MPN 中,由余弦定理得

PM ? PN ? MN cos ? ? 2 PM PN
∴? ?

2

2

2

?

4 ? 12 ? 28 3 ?? 又∵ 0 ? ? ? ? 2 8 3

5 ? -------------9 分 6

∴ cos(? ? ? ) ? cos(

5? 3? 5? 3? 5? 3? 6? 2 -------12 分 ? ) ? cos cos ? sin sin ? 6 4 6 4 6 4 4
600 600 =60(人) ,从乙校抽取 110× =50(人) ,故 x=9,y 600+500 600+500

18 解: (Ⅰ) 从甲校抽取 110× =6.---------2 分 (Ⅱ)表格填写如下,

甲校 优秀 非优秀 15 45

乙校 20 30

总计 35 75

总计 60 50 110 2 K= 110 ? ( 15 ? 30 ? 20 ? 45)2 ≈2.829>2.706, 60 ? 50 ? 35 ? 75 故有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.---------8分 (III)设两班各取一人,有人优秀为事件 A ,乙班学生不优秀为事件 B ,根据条件概率,则所求事件的

P( A ? B) 3 ? ---------12分 P(A) 11 ??? ? ??? ? ??? ? 19.解:(Ⅰ) 如图,以 AB, AC, AP 分别为 x, y , z 轴的正半轴方向,建立空间直角坐标系,则
概率 P( B | A) ?

P(0,0, 2), A(0,0,0), B(1, 0, 0), C (0, 2, 0), D(?
理科数学答案

3 1 , , 0) . ---------2分 2 2

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易知 AC ? (0, 2,0) 是平面 PAB 的法向量, ---------3分

??? ?

??? ? ??? ? ? PC ? (0, 2, ?2), PB ? (1,0, ?2) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

z P

?

E C D F

? ??? ? ? ?2 y ? 2 z ? 0, ?n ? PC ? 0, 则 ? ? ??? .? ? , ? x ? 2 z ? 0 n ? PB ? 0 ? ? ? ? 取 z ? 1 ,得 n ? (2,1,1) . ---------5分

y

? ???? ? ???? n ? AC 6 , ? cos n, AC ? ? ???? ? 6 n ? AC
则二面角 A ? PB ? C 的余弦值为

A

B

x

(Ⅱ)过 E 作 EF ? AC 于 F ,由已知,得 EF ∥ PA , 设 EF ? h ,则 E(0, 2 ? h, h) . ---------9 分

6 . 6

---------7分

???? ??? ? 3 3 ? DE ? ( , ? h, h), PB ? (1, 0, ?2) . 2 2 ???? ??? ? 3 3 ? DE ? PB ,? DE ? PB ? , ---------11 分 ? 2h ? 0 , h ? 4 2

? CE ? 2h ?

6 . 4

---------12 分

20.解:(Ⅰ)设 A( xA , y A ) , B( xB , yB ) , H ( xH , yH ) ,则
2 2 ? xA yA ? ? 1, ? y A ? yB b 2 x A ? xB b 2 xH ? a 2 b2 ? ? ? ? ? ? ∴ ,---------2 分 ? 2 2 a 2 y A ? yB a 2 yH ? xB ? y B ? 1 , x A ? x B ? ? a 2 b2 又 l 的斜率为 1, H 的坐标为 (2 , ? 1) ,

∴1 ? ?

b2 2 ? ,即 a 2 ? 2b 2 , a2 ?1

又 a 2 ? b2 ? 5 ,∴ b2 ? 5 , a2 ? 10 ,---------4 分 ∴ C2 :

x2 y 2 ? ? 1 .---------5 分 10 5

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N (x2 , y2 ) ,则
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? x0 ? x1 ? 2 x2 , ∵ OP ? OM ? 2ON ,∴ ? ? y0 ? y1 ? 2 y2 .

---------7 分

2 2 ? 2 y0 ? 10 , ∴ ( x1 ? 2 x2 )2 ? 2( y1 ? 2 y2 )2 ? 10 , 又 x0

2 2 ? 2 y2 ) ? 4x1 x2 ? 8 y1 y2 ? 10 ,---------9 分 即 x12 ? 2 y12 ? 4( x2

2 2 ? 2 y2 ? 2, 又 x12 ? 2 y12 ? 2 ,x2

∴ 10 ? 4 x1 x2 ? 8 y1 y2 ? 10 ,即 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 , ∴ kOM kON ?

21.解:(Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域是 ? ?1,0? ? ? 0, ?? ? ,---------1 分

y1 y2 1 ? ? .---------12 分 x1 x2 2

x ? ln ? x ? 1? x ? 1 对 f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ? ,---------2 分 x2 x ? ln ? x ? 1? ,只需证: x ? 0 时, g ? x ? ? 0 . 令 g ? x? ? x ?1 1 1 x 又 g? ? x ? ? ? ?? ? 0 ---------3 分 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? x ? 1?
故 g ? x ? 是 ? 0, ?? ? 上的减函数,所以 g ? x ? ? g ? 0? ? ? ln1 ? 0 ---------4 分 所以 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 是 ? 0, ?? ? 上的减函数. ---------5 分 (Ⅲ)将不等式 (e ?1) ln(x ? 1) ? x 等价为
x 2

ln( x ? 1) x ? x ---------6 分 x e ?1

x x ln e x ln ? e ? 1 ? 1? 因为 x , ? ? e ?1 ex ?1 ex ?1 x ln ? x ? 1? ln ? e ? 1 ? 1? 故原不等式等价于 ,---------8 分 ? x ex ?1 ln ? x ? 1? 由(Ⅰ)知, f ? x ? ? 是 ? 0, ?? ? 上的减函数, x x 故要证原不等式成立,只需证明:当 x ? 0 时, x ? e ? 1, x x 令 h ? x ? ? e ? x ?1,则 h? ? x ? ? e ?1 ? 0 , h ? x ? 是 ? 0, ?? ? 上的增函数,
x x 所以 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,即 x ? e ? 1,故 f ? x ? ? f e ? 1 ,

?

?

x ln ? x ? 1? ln ? e ? 1 ? 1? x 即 ---------12 分 ? ? x x x e ?1 e ?1

22.解:(Ⅰ)? PA 分别为⊙ O 的切线, 由弦切角定理,得 ?PAB ? ?ADB 又 ?APB 为 ?PAB 与 ?PAD 的公共角

A P

B
C

O ?

D

? ?PAB ∽ ?PDA
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?

PB BC PB AB ? ? ,同理 PC CD PA AD AB BC ? 又 PA ? PC ,? AD AD
即 AD ? BC ? AB ? DC -------5 分 (Ⅱ)由圆的内接四边形的性质,得 ?ABC ? ?ADC ? ? ,

1 AB ? BC sin ?ABC S ?ABC AB ? BC 2 ? ? S ?ADC 1 AD ? DC AD ? DC sin ?ADC 2
由(Ⅰ)得,

S ?ABC AB2 PA2 4 ? ? ? .-------10 分 S ?ADC AD2 PB2 9

23.解: (Ⅰ)⊙ O 的极坐标方程为 ? ? 2 ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos? ? 4 .-------5 分

?1 ? ? 2 ? ?? ? 2 ? (Ⅱ)设 M ( ? ,? ) , A( ?1 ,? ), B( ? 2 ,? ) ,则 ? ?1 ? 2 -------10 分 ? ? cos? ? 4 ? 2 ?
? (2? ? 2) cos ? ? 4 ? ? ? 2sec? ? 1 1 1 1 1 1 1 24.解:(Ⅰ)不等式 | x ? |? 的解集为 {x | ? x ? } ,所以 n ? , m ? .------5 分 6 3 4 12 6 3 (Ⅱ)证明:∵ 3 | b |?| 3b |?| 2(a ? b) ? (2a ? b) |? 2 | a ? b | ? | 2a ? b | , 1 1 | a ? b |? , | 2a ? b |? 又 | a ? b |? m, | 2a ? b |? n ,即 3 6
? 3 | b |?

5 5 ∴ | b |? , 18 . 6

-------10 分
B

C
P A ? D O B

C
P A ? D O

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