高一数学必修二课件4.1.2圆的一般方程


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(x ? a) ? (y ? b) ? r 圆的标准方程: 特征: 直接看出圆心A(a,b)与半径r。
2 2

2

y

O A(a,b) r M

x

练练手

指出下面圆的圆心和半径:

(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5

(1,?2), 2
(-2,2), 5

(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0) (-a,2), | a |
注意不是a, 而是|a|.

4.1.2 圆的一般方程

教学目标
知识与能力
?在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一 般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心 半径,掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的 条件。

?能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标 准方程,能用待定系数法求圆的方程。
?培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法
?通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示 圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析 解决问题的实际能力。

情感态度与价值观
?渗透数形结合、化归与转化等数学思 想方法,提高学生的整体素质,激励 学生创新,勇于探索。

教学重难点
重点
?圆的一般方程的代数特征,一般方程 与标准方程间的互化,根据已知条件 确定方程中的系数:D、E、F。

难点
?对圆的一般方程的认识、掌握和运用。

把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开,得

x2 ? y 2 ? 2ax? 2by ? a2 ? b2 ? r 2 ? 0
由于a, b, r均为常数

令 ? 2a ? D,?2b ? E, a ? b ? r ? F
2 2 2

结论:任何一个圆方程可以写成下面形式:

x2 +y 2+Dx+Ey+F=0

思考
方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4y ? 1 ? 0 表示什么图形? 对方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4y ? 1 ? 0 配方,可得
(x ? 1)2 ? (y ? 2)2 ? 4,

此方程表示以(1,-2)为圆心,2为半径长的圆.

方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4y ? 6 ? 0 表示什么图形? 对方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4y ? 6 ? 0 配方,可得
(x ? 1) ? (y ? 2) ? -1,
2 2

由于不存在点的坐标(x,y)满足这个方程,所 以这个方程不表示任何图形。

探究
方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 在什么条件下 表示圆? D 2 E 2 D2 ? E 2 ? 4F (x 配方可得: ? ) ? (y ? ) ? 2 2 4
2 2

(1)当D2+E2-4F>0时,表示以 心,以 1 D 2 ? E 2 ? 4F 为半径的圆;
2

D E ( ? ,? ) 为圆 2 2

(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一组实数解,
D 表示一个点, y ? ? E , x?? 2 2
D E ( ? ,? ) 2 2

(3)当D2+E2-4F<0时,方程无实数解,所以 不表示任何图形。 所以形如x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)可表示圆的方程。

圆的一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 圆的标准方程:
(x ? a)2 ? (y ? b)2 ? r 2

圆的一般方程与标准方程的关系: D E 1 a ? ? ,b ? ? ,r ? D 2 ? E 2 ? 4F (1) 2 2 2
(2)标准方程易于看出圆心与半径。 一般方程突出形式上的特点: x2与y2系数相同并且不等于0; 没有xy这样的二次项。

例四

求过三点A(0,0),B(6,0),C(3,1) 的圆的方程。
分析:由于A,B,C三点不在同一条直线上, 因此经过A,B,C三点有唯一的圆。 解:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 把点A,B,C的坐标代入得方程组

?F ? 0, ? ?36 ? 6D ? F ? 0, ?9 ? 1 ? 3D ? E ? F ? 0。 ?

解这个方程组,得

D ? ?6,E ? 8,F ? 0.
所求圆的方程为:

x ? y ? 6x ? 8y ? 0
2 2

所求圆的圆心坐标是(3,-4),半径长为 1 r? D 2 ? E 2 ? 4F ? 5 2

求圆的方程常用“待定系数法”。 用待定系数法求圆的方程的步骤:

①根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。
②根据条件列出关于 a,b,c 或 D,E,F 的方程。

③解方程组,求出 a,b,c 或 D,E,F 的值,代入 方程,就得到要求的方程。

例五

x 过点M(-6,0)作圆 C: 2 ? y 2 ? 6x ? 4y ? 9 ? 0 的割线,交圆C于A,B两点.求线段AB的中点P的 轨迹。 (x ? 3)2 ? (y ? 2)2 ? 4 解:圆的方程可化为
∴其圆心为C(3,2)半径为2. 设P(x,y)是轨迹上任意一点
? CP ? MP
? k CP ? k MP ? ?1 y?2 y 即: ? ? ?1 x?3 x?6

y

-6 ?

。 B A ?P ?c 。 O 3x

化简得: x ? y ? 3x ? 2y ? 18 ? 0
2 2

所以所求轨迹为圆

x ? y ? 3x ? 2y ? 18 ? 0
2 2

在已知圆内的一段弧(不含端点)。 y 。 B A ?P ?c 。 O 3x

-6 ?

求曲线轨迹的问题的关键是找出点P(x,y) 与已知点之间的位置关系,在本题中就是与M,C 之间的坐标关系:

y?2 y ? ? ?1 x?3 x?6

例六
1 过点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比是 3 求点M的轨迹方程。

设点M的坐标为(x,y),根据题意有

M ? {M || MA |? 2 | MO |}。
因为O(0,0),A(3,0),所以有
(x ? 3)2 ? y 2 ? 2 x 2 ? y 2 。

x2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 化简,得

由以上过程可知,满足条件

M ?{M||MA|? 2|MO|}.

x2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 的点满足方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 的点也满足 反过来,坐标满足
(x ? 3)2 ? y 2 ? 2 x 2 ? y 2 。

即满足条件 M ? {M || MA |? 2 | MO |}.
2 2 因此所求点M的轨迹方程是 x ? y ? 2x ? 3 ? 0

(x ? 1)2 ? y 2 ? 4 即 点M的轨迹是以C(-1,0)为圆心,半径长为2的圆。

注意“轨迹的方程”与“轨迹”的区别: 轨迹的方程是指点的坐标要满足的方程,而 轨迹是对几何图形的描述。如例六中, M的轨迹方程是 x ? y ? 2x ? 3 ? 0
2 2

M的轨迹是以C(-1,0)为圆心,半径长为2的圆。

课堂小结
(1)圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) (2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系

一般方程

??? ? ?? ? ? 展开
配方

标准方程(圆心,半径)

(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径 用配方法求解 (4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆 的标准方程较简单。 ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一 般方程用待定系数法求解。

随堂练习
( 1.如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F>0 所表示的曲线关于y=x对称,则必有( ) A.D=E B.D=F A C.E=F D.D=E=F 2.已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的圆心坐标为(2,3),半径为4,则D,E,F分别等于( D ) A.4,-6,3 B.-4,6,3

C.-4,6,-3

D.4,-6,-3

3.判断下列方程能否表示圆的方程,若能写 出圆心与半径。
(1)x2+y2-2x+4y-4=0 (2)2x2+2y2-12x+4y=0 是,圆心(1,-2)半径3 是,圆心(3,-1)半径 10 不是

(3)x2+2y2-6x+4y-1=0

(4)x2+y2-12x+6y+50=0 不是

(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是

4.圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 10y ? F ? 0 与x轴相切,则这个圆截y 轴所得的弦长是( A ) A.6 B.5 C.4 D.3

5.点A(3,5)是圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 8y ? 80 ? 0 的一条弦 的中点,则这条弦所在的直线方程是

x?y ?8 ? 0

6.求下列各圆的半径和圆心坐标。

(1)x2 ? y 2 ? 6x ? 0, (2)x ? y ? 2by ? 0,
2 2 2 2

(3)x ? y ? 2ax ? 2 3ay ? 3a ? 0
2

(1)圆心(3,0),半径3。 (2)圆心(0,-b),半径 |b|。 (3)圆心(a, 3 a),半径 |a|。

7.已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为(-2,3) 4 ,E= -6,F= -3 半径为4,则D= 8.
1 x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的充要条件是 a ? 2

9.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值为 ( C ) A.a=-1或a=2 B.-1<a<2 C.a=-1 D.a=2

习题答案
1.(1)圆心坐标是(3,0),半径长是3; (2)圆心坐标是(0,-b),半径长是|b|; (3)圆心坐标是(a, 3a),半径长是|a|。

x 2 ? y 2 ? 0 表示一个点(0,0); 2.(1)方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4y ? 6 ? 0 表示圆心的坐标 (2)方程 是(1,-2),半径长是1的圆。 2 2 x2 ? y 2 ? 2ax? b2 ? 0 (3)当 a ? b ? 0 时,方程 表示圆心坐标是(-a,0),半径长为 a 2 ? b 2 的圆; a2 ? b2 ? 0 当 时,方程只表示一个点(0,0)。

85 3.梯形外接圆的方程是 x ? (y ? 2) ? 9 2 85 这个圆的半径长是 ,圆心坐标是 (0, )
2 2

3

3


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