高二数学期末复习卷必修3选修2-1 2-2

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义龙一中高二数学（理科）测试卷 （必修 3+选修 2-1+选修 2-2）
一、选择题 1.下列各进制数中值最小的是（ A． 85?8? B． 210?6?
2

C. 增加了两项

1 1 ? 2k ? 1 2 ? k ? 1?

D.增加了一项

1 1 ，又减少了一项 k ?1 2 ? k ? 1?

） C． 1000? 4? ） D． 111111? 2?

9． 如图所示的程序框图表示求算式 “ 2 ? 4 ? 8 ?16 ? 32 ? 64 ” 的值， 则判断框内可以填入 （ ） A. K ? 32? B. K ? 63? C. K ? 64? D. K ? 70? 10.贵阳市某高中共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽 取 1 名，抽到二年级女生的概率是 0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，则应 在三年级抽取的学生人数为 一年级 女生 男生 A.24 373 377 二年级 x 370 B.18 三年级 y z C.16 D.12 ）

2.命题“ ?x ? R ，使得 x ? 1 ”的否定是（ A. ?x ? R ，都有 x ? 1
2

B. ?x ? R ，都有 x ? ?1 或 x ? 1 D. ?x ? R ，使得 x ? 1
2

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

C. ?x ? R ，使得 x ? 1
2

11.在区间 ?? 1,1? 内随机取两个实数 x ， y ，则满足 y ? x 2 ?1 的概率是（ A. D.既不充分也不必要条件 12.若 f ? x ? ? ?

3.若命题 p :

x ? 0 ,命题 q : x2 ? 2 x ,则 p 是 q 的 x ?1
B.必要不充分条件
x

2 9

B．

7 9

C.

1 6

D.

5 6
）

A.充分不必要条件

C.充要条件

4.设函数 f ( x) ? xe ，则 （ A. x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点
2 2

） B. x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点

1 2 x ? b ln ? x ? 2 ? 在 ? ?1, ?? ? 上是减函数，则 b 的取值范围是（ 2
B. ? ?1, ?? ? C. ? ??, ?1? D. ? ??, ?1?

A. ? ?1, ?? ? 二、填空题

5.过椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ， F2 为右焦点，若 ?F1PF2 ? 60o ， 2 a b
）

13.设 i 是虚数单位， Z 是复数 Z 的共轭复数，若 Z ? 14.已知 M 是 y ?

2i 3 ，则 Z ? _________． 1? i

则椭圆的离心率为（

1 2 x 上一点， F 为抛物线焦点， A 在 C ： ( x ?1)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 上，则 | MA | ? | MF | 的最 4
．

5 A. 2

1 B. 3

1 C. 2

3 D. 3
)

小值是

15.观察下列各式： 1 ? 12 ， 2 ? 3 ? 4 ? 32 ， 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 ， 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 7 2 ，?????? 第 n 个式子是 ． 16. 设平面 ? 的法向量为 a ? ? ?1, 2, ?4 ? ， 平面 ? 的法向量为 b ? ? ?2, 4, ?8? 垂直， 则两个不同的平面 ? 与 ? 位置关系是______ 三、解答题
2

6.设正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2，则点 D 1 到平面 A 1 BD 的距离是(

?

?

3 A． 2

2 B． 2
2

2 2 C． 3

2 3 D． 3

__．
2 2

7.设函数 f ? x ? ? g ? x? ? x ，曲线 y ? g ? x ? 在点 1, g ?1? 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ，则曲线 y ? f ? x? 在 点 1, f ?1? 处切线的斜率为（ 8.用数学归纳法证明 不等式“ 等式的左边（ A.增加了一项 ）

?

?

17.已知 p : x ? 8x ? 20 ? 0 ； q :1 ? m ? x ? 1 ? m . （1）若 p 是 q 的必要条件，求 m 的取值范围； （2）若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件，求 m 的取值范围.

?

?

）

A． 4

B． ?

1 4

C． 2

D． ?

1 2

1 1 1 13 ? ?? ? ? ? n ? 2 ? ”的过程中，由 n ? k 到 n ? k ? 1 时，不 n ?1 n ? 2 2n 24

1 2 ? k ? 1?

B. 增加了两项

1 1 1 ? ，又减少了一项 k ?1 2k ? 1 2 ? k ? 1?

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◎

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

18. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点.

（1）证明:PB∥平面 AEC;（2）设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

21．已知函数 f ( x) ? a ln x ?

x2 ? (a ? 1) x ， a ? R ． 2

（1）若函数 f ( x ) 在区间 ?1,3? 上单调递减，求 a 的取值范围； （2）当 a ? ?1 时，证明 f ( x ) ?

1 ． 2

19．从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩整理后画出的频率分布直方图如下．观察图形，回答 下列问题：

x2 y 2 3 22．已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ，椭圆 C 的长轴长为 4． b a 2
（1）求椭圆 C 的方程； （1） 49.5 ? 69.5 这一组的频率和频数分别为多少? （2）估计这次环保知识竞赛成绩的中位数及平均成绩.（精确到小数点后一位） （2）已知直线 l : y ? kx ? 3 与椭圆 C 交于 A，B 两点，是否存在实数 k 使得以

线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由．

20． 已知双曲线 C :

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 有共同的焦点，点 A(3, 7 ) 在双曲线 C 上. ? ? 1 ( a ? 0 . b ? 0 ) 与椭圆 18 14 a2 b2
（2）以 P?1,2? 为中点作双曲线 C 的一条弦 AB ，求弦 AB 所在直线的方程.

（1）求双曲线 C 的方程；

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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参考答案 1．D 【解析】 试 题 分 析 ： 各 进 制 转 化 为 十 进 制 数 依 次 是 85?8? ? 8 ? 81 ? 8 ? 50 ? 72 ，

210? 6? ? 2 ? 62 ? 1? 61 ? 78

，

1000? 4? ? 1? 43 ? 64

，

111111? 2? ? 25 ? 24 ? 23 ? 22 ? 21 ? 20 ? 63 ，因此最小值为111111?2?
考点：进制转化 2．C 【解析】
2 试题分析： 由特称命题的否定为全称命题可得， 命题 “ ?x ? R ， 使得 x ? 1 ” 的否定是 ?x ? R ，

2 使得 x ? 1 ，故应选 C ．

考点：1、特称命题的否定． 3．A 【解析】 试题分析： 因为 所以

x ?0， 所以 x( x ? 1) ? 0 ， 所以 0 ? x ? 1 ， 即命题 p : 0 ? x ? 1 ； 而 x2 ? 2 x ， x ?1

0 ? x ? 2 ，即命题 q : 0 ? x ? 2 , 所以命题 p : 0 ? x ? 1 可推出命题 q : 0 ? x ? 2 ，但命题
q : 0 ? x ? 2 不能推出命题 p : 0 ? x ? 1 ，所以 p 是 q 的充分不必要条件，故应选 A ．
考点：1、充分条件；2、必要条件． 4．D． 【解析】 试题分析： 首先求出导函数 f ' ( x) ? e x ? xe x ? (1 ? x)e x ， 然后令 f ' ( x) ? 0 ， 解得 x ? ?1 ， 且当 x ? ?1 时， f ' ( x) ? 0 ；当 x ? ?1 时， f ' ( x) ? 0 ；由极值定义知，函数 f ( x) ? xe x 在

x ? ?1 处取得极小值，即 x ? ?1 是 f ( x) 的极小值点．故选 D．
考点：利用导数求函数的极值． 5．D 【解析】

b2 试 题 分 析 ： 设 P 在 x 轴 上 方 ， ? xP ? ?c ， 代 入 椭 圆 方 程 得 yP ? a

Q ?F1PF2 ? 60o ? F1F2 ? 3 PF1

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3b2 3 ? 2c ? ? 2ac ? 3a 2 ? 3c 2 ? 3c 2 ? 2ac ? 3a 2 ? 0 ? 3e2 ? 2e ? 3 ? 0 ? e ? a 3
，故选 D 考点：椭圆方程及离心率
o 【方法点睛】 利用椭圆方程求得基本量 a, b, c 的值， 利用 ?F 1PF 2三 1PF 2 ? 60 得到直角 ?F

边关系， 其中 F 结合两边长度关系可得到关于 a, b, c 的齐次方程 1F 2 , PF 1 可用 a, b, c 表示，

3c2 ? 2ac ? 3a2 ? 0 ，在等式两边同除以 a 2 可得到关于 e 的方程，解方程可得到离心率
的值，结果只取 ? 0,1? 内的解，若求解离心率的取值范围，则需要得到关于 a, b, c 的齐次不 等式 6．D 【解析】

如图，建立空间直角坐标系， 则 ∴ (0，0，2)， (2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)， ＝(2，0，2)， ＝(2，2，0)，

＝(2，0，0)，

设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)， 则

令 x＝1，则 n＝(1，－1，－1)， ∴点 D1 到平面 A1BD 的距离 7．A 【解析】
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．选 D．

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试题分析：依题意知， g ' (1) ? 2 ．又因 f ' ( x) ? g ' ( x) ? 2 x ,则 f ' (1) ? g ' (1) ? 2 ? 4 ,所以 曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处切线的斜率为 4．故选 A． 考点：导数法求切线斜率． 8．C 【解析】 试题分析：本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“ 左边的各项，他们都是以 开始，以 + +?+ ＞ （n＞2）

?

?

项结束，共 n 项，当由 n=k 到 n=k+1 时，项数也

由 k 变到 k+1 时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论． 解： ，

= 故选 C 点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集 N 相关的性质，其步骤为：设 P（n）是关 于自然数 n 的命题，若 1） （奠基） P（n）在 n=1 时成立；2） （归纳） 在 P（k） （k 为任意 自然数）成立的假设下可以推出 P（k+1）成立，则 P（n）对一切自然数 n 都成立． 9．D 【解析】 试题分析:当 S ? 1, k ? 2 时， 第一次执行循环体：S ? 1? 2 ? 2, K ? 4 ； 第二次执行循环体：

S ? 1? 2 ? 4, K ? 8 ；第三次执行循环体： S ? 1? 2 ? 4 ? 8, K ? 16 ；第四次执行循环体： S ? 1? 2 ? 4 ? 8 ?16, K ? 32 ；第五次执行循环体： S ? 1? 2 ? 4 ? 8 ?16 ? 32, K ? 64 ；第六
次执行循环体： S ? 1? 2 ? 4 ? 8 ?16 ? 32 ? 64, K ? 128 ；所以应填 K ? 70? ，故应选 D ． 考点：1、程序框图与算法． 10．C 【解析】 试题分析：在全校学生中随机抽取 1 名，抽到二年级女生的概率是 0．19，因此二年级的女 生 的 人 数 是 2000 ? 0.19 ? 3 8 0 认 ， 二 年 级 人 数 共 有 3 8 0? 3 7 0? 7 5 0 ， 一 年 级 人 数

373 ? 377 ? 750 ，三年级人数是 500 人，三年级抽取的人数 64 ?
C． 考点：分层抽样的应用． 11．D 【解析】

500 ? 16 人，故答案为 2000

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试题分析： 由题意可得，? 的区域为图中阴影部分，

??1 ? x ? 1 的区域为边长为 2 的正方形， 面积为 4， 满足 y ? x 2 ?1 ? 1 ? y ? 1 ?

10 10 5 2 面积为 2 ? ? ?1 ? x ?dx ? ，∴满足 y ? x 2 ?1 的概率是 3 ? ． ?1 3 4 6
1

考点：几何概型． 12．D 【解析】

试题分析：由题意可知 即 在 要使 考点：导数在单调性上的应用. 13． ?1 ? i 【解析】 试题分析： Z ? 上恒成立， ，需

，在

上恒成立 且

故答案为

，选 D

2i 3 ?2i(1 ? i ) ? ? ?1 ? i ，所以 Z ? ?1 ? i ． 1 ? i (1 ? i )(1 ? i )

考点：1．复数的运算；2．复数相关概念． 14．4 【解析】 试题分析：∵抛物线 y ?

1 2 x 化成标准方程为 x2 ? 4 y ， 4

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∴ 抛 物 线 的 准 线 为 l：y ? ?1 ， 过 点 M

作 MN ? l 于 N
2 2

， ∵

MN ? MF ， ? MA ? MF ? MA ? MN ，∵ A 在圆 C： ? x ? 1? ? ? y ? 4 ? ? 1 上运动，
圆心为 C ?1 ， 4? 且半径 r ? 1 ，∴当 N，M，C 三点共线时， MA ? MF 最小，如图所示， 过 C 作 CN0 ? l 分 别 交 圆 C 、

x 轴 ， 直 线 l 与 A0 , M 0 , N0 ， ∴ ? MA ? MF

?

min

，

? ? MA ? MN

?

min

?| CN 0 | ? r ? 5 ? 1 ? 4 ，即 MA ? MF 的最小值为 4 .

考点：1.抛物线的性质；2.直线与圆的位置关系. 15． n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 3n ? 2 ? (2n ? 1)2 【解析】 试题分析：观察可知，第 1 行左端 1 个数，第 2 行左端 3 个数，第 3 行左端 5 个数，第 4 行左端 7 个数． ． ． ． ． ． ，按照此规律，第 n 行左端应为 2n-1 个数，同时第 n 行的第一个数为 n，且从第 1 行开始，末尾数构成以 1 为首项，3 为公差的等差数列，则第 n 行最后一个数 为 1+3(n-1)=3n-2；而等号右边为奇数 2n-1 的平方，所以根据观察推出第 n 个式子为：

n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 3n ? 2 ? (2n ? 1)2
考点：推理与证明． 16．平行 【解析】 因为 a ? 2b ， 所以 a / / b 。 因为平面 ? 与向量 a 垂直， 所以平面 ? 与向量 b 也垂直。 而平面 ? 与向量 b 垂直，所以可得 ? / / ? 17． （1） [? 3, 3] ； （2） (??, ?3] ? [3, ??) 【解析】 试题分析： （1）求出 p，q 成立的等价条件，根据 p 是 q 的必要条件，建立条件关系即可； （2）利用 ? p 是 ? q 的必要不充分条件，即 q 是 p 的必要不充分条件，建立条件关系进行求 解即可．
2 试题解析：由 x ? 8 x ? 20 ? 0 得 ?2 ? x ? 10 ，即 P : ?2 ? x ? 10 ，

?

?

?

?

?

?

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又 q :1 ? m ? x ? 1 ? m .
2 2

（1）若 p 是 q 的必要条件，
2 2 ? ? ?1 ? m ? ?2 ?m ? 3 则? ，即 ? 2 ，即 m2 ? 3 ，解得 ? 3 ? m ? 3 ， 2 ? ? ?1 ? m ? 10 ?m ? 9

即 m 的取值范围是 [? 3, 3] （2）∵ ? p 是 ? q 的必要不充分条件， ∴q 是 p 的必要不充分条件.

?1 ? m 2 ? ?2 ? 2 即? ，即 m ? 9 ，解得 m ? 3 或 m ? ?3 2 ? ?1 ? m ? 10
即 m 的取值范围是 (??, ?3] ? [3, ??) . 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【方法点睛】根据命题真假求参数的方法步骤 （1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况） ； （2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； （3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围 18． （1）详见解析（2）

2 3 （3） 2 2

【解析】 试题分析： （1） 线面平行的判定可证明直线平行于平面内的直线或证明直线的方向向量垂直 于平面的法向量； （2）由二面角可首先找到两个半平面的法向量，求得法向量的夹角，结合 图形转化为两个平面构成的二面角； （3）求直线与平面所成角，可首先可确定直线的方向向 量与平面的法向量的夹角，进而得到直线和平面所成角 试题解析： （1） ? 四边形 BCEF 为直角梯形，四边形 ABCD 为矩形， ? BC ? CE ， BC ? CD ， 又 ? 平面 ABCD ? 平面 BCEF ，且 平面 ABCD ? 平面 BCEF ? BC ，

? DC ? 平面 BCEF ．
以 C 为原点， CB 所在直线为

x 轴， CE 所在直线为 y 轴，

CD 所在直线为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系．

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根据题意我们可得以下点的坐标：

??? ? A(2,0, 4) ， B(2, 0, 0) ， C (0,0,0) ，D(0,0, 4) ，E(0, 4,0) ，F (2, 2,0) ， 则 AF ? (0, 2, ?4) ，
??? ? CB ? (2,0,0) ．
??? ? ? BC ? CD ， BC ? CE ， ? CB 为平面 CDE 的一个法向量．
又 ? AF ? CB ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? (?4) ? 0 ? 0 ，

??? ? ??? ?

???? ?? ?? ? ? AD ? n1 ? 0, （2）设平面 ADE 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ，则 ? ???? ?? ? ? DE ? n1 ? 0. ??? ? ??? ? ? AD ? (?2,0,0) ， DE ? (0, 4, ?4) ，

? AF // 平面 CDE ．

?? ? ?2 x1 ? 0 ， 取 z1 ? 1 ，得 n1 ? (0,1,1) ． ? ? 4 y1 ? 4 z1 ? 0

??? ? ? DC ? 平面 BCEF ， ? 平面 BCEF 一个法向量为 CD ? (0,0, 4) ，
设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 ? ，

??? ? ?? CD ? n1 4 2 则 cos ? ? ??? ． ? ? ?? ? 2 4? 2 CD ? n1

因此，平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 （3）根据（2）知平面 ADE 一个法向量为 n1 ? (0,1,1) ，

2 ． 2

??

??? ? ? EF ? (2, ?2,0) ，

??? ? ?? ??? ? ?? EF ? n1 ?2 1 ? cos ? EF , n1 ?? ??? ?? ， ? ?? ? 2 EF ? n1 2 2 ? 2

设直线 EF 与平面 ADE 所成角为 ? ，则 cos ? ? sin ? EF , n1 ? ?

??? ? ??

3 ． 2

因此，直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为

3 ． 2

考点：1．线面平行的判定；2．二面角求解；3．直线与平面所成角 19． （1） 0 .3 ， 18 ； （2）中位数 72 .8 ， 70 .5 ． 【解析】 试题分析： （1）解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据

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中，比较明显的有组距、

频率 ，间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再 组距

结合两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于 1，因此频率之和 为 1； （2）平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘 以小长方形底边中点的横坐标； （3）频率分布直方图中，注意小矩形的高是 频率．中位数左边和右边的长方形的面积和是相等的． 试题解析： （1）频率为 (0.015 ? 0.015) ?10 ? 0.30 ．频数为 0.30 ? 60 ? 18 ． （2）中位数为 69.5 ? 平均成绩为

频率 ，而不是 组距

10 437 ? ? 72.8 ． 3 6

44.5 ? 0.1 ? 54.5 ? 0.15 ? 64.5 ? 0.15 ? 74.5 ? 0.3 ? 84.5 ? 0.25 ? 94 .5 ? 0.05 ? 70 .5 ．
考点：1、频率分布直方图的应用；2、计算样本数据的数字特征． 【易错点睛】本题频率分布直方图应用和样本数字特征的应用，属于简单题．易把直方图和 条形图混淆，两者的区别在于条形图是离散型随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图 是连续随机变量，利用频率分组直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区别这 三者， ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数， ②中位数左边和右边的小长方形的面 积的和是相等的； ③平均数是频率分布直方图的重心， 等于频率分布直方图中每个小长方形 的面积乘以小长方形底边中点的横坐标． 20． （Ⅰ） 【解析】 试题分析： （Ⅰ） 由椭圆方程可求其焦点坐标， 从而可得双曲线 C 的焦点坐标， 利用 A(3, 7 ) 在双曲线 C 上，根据双曲线定义 || AF 1 | ? | AF2 ||? 2a ，即可求出所求双曲线 C 的方程； （Ⅱ）本题考察的求直线的方程问题，结合题设过 P 点，只需求出直线方程的斜率即可。 由题用点差法可很容易求出方程的斜率，设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ，因为 A, B 在双曲线方程 上，代入，两方程相减，结合 P?1,2? 是中点，即可求出弦 AB 所在直线的斜率，从而求出直 线的方程。 试题解析： （1）由已知双曲线 C 的焦点为 F1 (?2,0), F2 (2,0) 由双曲线定义 || AF 1 | ? | AF 2 ||? 2a,? 25 ? 7 ? 1 ? 7 ? 2a

x2 y2 ? ? 1 （Ⅱ） x ? 2 y ? 3 ? 0 2 2

? a ? 2, c 2 ? 4,?b 2 ? 2
? 所求双曲线为

x2 y2 ? ?1 2 2
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（2）设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ，因为 A 、 B 在双曲线上
2 2 ? ? x1 ? y1 ? 2 ?? 2 2 ? ? x2 ? y 2 ? 2

① ①－②得 ( x1 ? x2 )(x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ②

?

y1 ? y 2 x1 ? x2 2 1 1 ? ? ? ,? k AB ? x1 ? x2 y1 ? y 2 4 2 2
1 ( x ? 1) 即 x ? 2 y ? 3 ? 0 2

? 弦 AB 的方程为 y ? 2 ?

经检验 x ? 2 y ? 3 ? 0 为所求直线方程． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 21． （Ⅰ） [3, ??) ； （Ⅱ）证明略． 【解析】 试题分析： （Ⅰ）函数的定义域为 (0, ??) ．因为 f ?( x) ?

a ( x ? 1)( x ? a) ? x ? (a ? 1) ? ．又 x x

因 为 函 数 f ( x) 在 (1,3) 单 调 减 ， 所 以 不 等 式 ( x ? 1)( x ? a) ? 0 在 (1,3) 上 恒 成 立 ． 设 由二次的性质得 g (3) ? 0 ， 即 9 ?3 解得 a ? 3 ； g ( x) ? ( x ? 1)( x ? a) ， ( a1 ? ) ?a 0? 即可， （Ⅱ）当 a ? ?1 时， f ( x) ? ? ln x ?

x2 1 x 2 ? 1 (x ? 1)(x ? 1) ? ，则 f ?( x) ? ? ? x ? ，令 2 x x x

f ?( x) ? 0 ，求得函数 f ( x) 的单调区间，即得函数 f ( x) 的最小值，即证．
试题解析： （Ⅰ）函数的定义域为 (0, ??) ． 因为 f ?( x) ?

a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)( x ? a) ? x ? (a ? 1) ? ? ． x x x

又因为函数 f ( x) 在 (1,3) 单调减，所以不等式 ( x ? 1)( x ? a) ? 0 在 (1,3) 上成立． 设 g ( x) ? ( x ? 1)( x ? a) ，则 g (3) ? 0 ，即 9 ? 3(a ? 1) ? a ? 0 即可，解得 a ? 3 ． 所以 a 的取值范围是 [3, ??) ． （Ⅱ）当 a ? ?1 时， f ( x) ? ? ln x ?

x2 ， 2

1 x 2 ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? f ( x) ? ? ? x ? ? ． x x x
令 f ?( x) ? 0 ，得 x ? 1 或 x ? ?1 （舍） ． 当 x 变化时， f ( x), f ?( x) 变化情况如下表：
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x
f ?( x )
f ( x)

(0,1)

1 0 极小值

(1, ??)
+

?
?

?

所以 x ? 1 时，函数 f ( x ) 的最小值为 f (1) ? 所以 f ( x ) ?

1 ． 2

1 成立． 2

考点：1．恒成立问题；2．导函数的应用． 22． （1）

y2 11 ? x 2 ? 1； （2）存在实数 k ? ? 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原 4 2

点 O． 【解析】 试题分析： 本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、 直线与椭圆的位置关系等基础知识， 考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和
2 2 2 长轴长列出方程，解出 a 和 c 的值，再利用 a ? b ? c 计算 b 的值，从而得到椭圆的标准

方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到 x1 ? x2 、 x1 x2 ，由于以线 段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O，所以 OA ? OB ? 0 ，即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ，代入 x1 x2 和

??? ? ??? ?

y1 y2 ，解出 k 的值．

? a?2 ? 试题解析： （1）设椭圆的焦半距为 c，则由题设，得 ? c 3， ? ? 2 ?a
解得 ?

? ? a?2 2 2 2 ，所以 b ? a ? c ? 4 ? 3 ? 1 ， ? ?c ? 3

故所求椭圆 C 的方程为

y2 ? x 2 ? 1． 4

（2）存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O． 理由如下： 设点 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，

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将直线 l 的方程 y ? kx ? 3 代入

y2 ? x 2 ? 1， 4

并整理，得 (k 2 ? 4) x2 ? 2 3kx ?1 ? 0 ． （*） 则 x1 ? x2 ? ?

1 2 3k ， x1 x2 ? ? 2 ． 2 k ?4 k ?4

因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O， 所以 OA ? OB ? 0 ，即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ． 又 y1 y2 ? k x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 ，
2

??? ? ??? ?

于是 ?

1? k 2 6k 2 11 ? ? 3 ? 0 ，解得 k ? ? ， 2 2 k ?4 k ?4 2

经检验知：此时（*）式的 Δ ＞0，符合题意． 所以当 k ? ?

11 时，以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O． 2

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．

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