成都地区高二半期联考试题(有答案)


成都市五校协作体高 2013 级第三学期期中试题

数学(文)
—、选择题(5 分×10=50 分) 1.如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条,那么它们的交线 和这两条平行线的 位置关系是( A.都平行 ) B.都相交 C.一个相交,一个平行 ) D.都 异面

2.在 x、y 轴上的截距分别是-3、4 的直线方程是( x y x y A. + =1 B. + =1 3 -4 -3 4 x y C . - =1 -3 4 x y D. + =1 4 -3

3. 在正方体 ABCD ? A 1 与 CB1 所成的角为( 1B 1C1 D 1 中,异面直线 BA A. 30
0 0 B. 45



C. 60

0

D.

90 0
)

4.圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 关于原点 P(0, 0) 对称的圆的方程为 ( A. x2 ? ( y ? 2)2 ? 5 C. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 5
2 2

B. x2 ? ( y ? 2)2 ? 5 D. ( x ? 2) ? y ? 5
2 2

5.如图所示,甲、乙、丙是三个空间立体图形的三视图,甲、乙、丙对应的标号正确的 是( )

主视图

左视图

俯视图

主视图

左视图

俯视图

主视图

左视图

俯视图

(甲)
①长方体 A.③②④ ②圆锥 ③三棱锥 B.②①③

(乙)
④圆柱 C.①②③

(丙)
D.④③②

6. 若 m 则下列命题中的真命题 是 ,n 是两条不同的直线,?,?,? 是三个不同的平面, ... ( ) A.若 m ? ?,? ? ? ,则 m ? ? B.若 m ? ? , m ∥ ? ,则 ? ? ? C.若 ? ? ? , ? ⊥ ? ,则 ? ? ? D.若 ?

? ? m , ? ? ? n , m ∥ n ,则 ? ∥ ?
五校联考数学(文)试题第 1 页 共 9 页

7.如右图,正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点, O 是 EF 的中点,现在沿 DE,DF 及 EF 把这个正方形折成一 个四面体,使 A,B,C 三点重合,重合后的点记为 G,则在 四面体 D-EFG 中必有( ) D. GO ? ?DEF 所在平面 A. GF ? ?DEF 所在平面 B. DO ? ?EFG 所在平面 C. DG ? ?EFG 所在平面 x+2y-5>0, ? ? 8.设实数 x,y 满足不等式组?2x+y-7>0, ? ?x≥0,y≥0. 数,则 3x+4y 的最小值是( A.14 B.16 ) C.17 D.19

D

C

F O A E B

若 x,y 为整

9. 若圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2tx ? t 2 ? 4 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 2x ? 4ty ? 4t 2 ? 8 ? 0 相交, 则t 的取值范围是 A. ( )

12 2 < t< 5 5 12 < t< 2 C. 5

12 < t< 0 5 12 2 < t < - 或0 < t < 2 D. 5 5
B. -

?x ? y ? 2 ? 10. 已知 E 为不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ,表示区域内的一点,过点 E 的直线 l 与圆 ?y ? 1 ?
M:(x-1)2+y2=9 相交于 A,C 两点,过点 E 与 l 垂直的直线交圆 M 于 B、 D 两点,当 AC 取最小值时,四边形 ABCD 的面积为( ) A. 12 B. 6 7 C. 12 2 D. 4 5

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)

) 垂 直 于 直 线 l : x ? 2y ? 3 ? 0 的 直 线 方 程 11 . 过 点 A(? 1, 3 且
为 。 12.已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,其中俯视图是顶角 为 120 的等腰三角形,则该三棱锥的侧视图面积为 13.已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A,B 两点,且 OA⊥ OB(其中 O 为坐标原点),则实数 a 等于_______。 14.如右图,四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,PA⊥ 平面 ABCD,且 AP= 5 ,AB=4,BC=2,点 M 为 PC 中点, 若 PD 上存在一点 N 使得 BM∥平面 ACN,PN 长度 。 。

五校联考数学(文)试题第 2 页 共 9 页

15.如下图,透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A ' B ' C ' D ' 内灌进一些水,固定容器底面 一 边 BC 于桌面上,再将容器倾斜.随着倾斜度的不同,有下面五个命题: (1) 有水的部分始终呈棱柱形; (2) 没有水的部分始终呈 棱柱形; (3) 棱 A ' D ' 始终与 水面所在平面平行; (4) 水面 EFGH 所在四边形的面积为定值; (5) 当容器 倾斜如图(3)所示时, BE ? BF 是定值; 其中所有正确命题的序号是 .
A' B' E F A G D'

A' B'

D' C'
F

A' B'

D'

C' H

C' G D

E
D

A B

F

H D C

G
A E B H C

B

C

图1

图2

图3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本小题 12 分)已知直线 l1 : 2 x ? (m ? 1) y ? 2 ? 0 ;直线 l 2 : mx ? y ? 1 ? 0 。 (I)若 l1 ? l 2 求实数 m 的值。(II)若 l1 // l 2 ,求实数 m 的值;

17. (本小题 12 分) 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为棱 AD , AB 的中点. (1)求证: EF ∥平面 CB1 D1 ; (2)求证:平面 CAA 1C1 ⊥平面 CB1 D1 .

18. (本小题 12 分)已知一圆 C 的圆心为(2,-1) ,且该圆被直线 l :x-y-1=0 截得的 弦长为 2 2 , (Ⅰ)求该圆的方程
新疆

王新敞
学案

(Ⅱ)求过点 P(4,3)的该圆的切线方程。
五校联考数学(文)试题第 3 页 共 9 页

19. (本小题 12 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与 三角形 CDE 所在平面相交于 CD , AE ? 平面 CDE , 且 AE ? 3 , AB ? 6 . (Ⅰ)求证: AB ? 平面 ADE ; (Ⅱ)求凸多面体 ABCDE 的体积. C

B A

E D

20. (本小题 13 分)如图, PA ? 平面 ABCD , ABCD 是矩形,

PA ? AB ? 2, AD ? 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 是
边 BC 上的动点. (Ⅰ)求三棱锥 E ? PAD 的体积; (Ⅱ) 当点 E 为 BC 的中点时, 试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (Ⅲ) 证明: 无论点 E 在边 BC 的何处, 都有 PE ? AF .

21. (本小题 14 分)已知圆 C 的圆心在直线 y ? ?4 x 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于 点 P(3, ?2) . (Ⅰ)求圆 C 方程;

l 与圆 C (Ⅱ) 点 M (0,1) 与点 N 关于直线 x ? y ? 0 对称.是否存在过点 N 的直线 l ,
相交于 E , F 两点,且使三角形 S?OEF ? 2 2 ( O 为坐标原点) ,若存在求出直线 l 的方 程,若不存在用计算过程 说明理由. ....

成都市五校协作体高 2013 级第三学期期中试题

数学(文)答案
—、选择题(5 分×10=50 分) 1.A 2.A 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.B 9.D 10.A

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 2x+y--1=0 12. 1 13. 2, -2 14. 2 15. ① ② ④ ⑤
五校联考数学(文)试题第 4 页 共 9 页

16.解(1)由 2m+(m+1)×1=0 ? 3m+1=0 ? m=分)

1 ……………………………………(4 3

(2)由已知 n ? 2-(m+1)m=0 ? m +m-2=0 ? m=-2 或 m=1……………………………(6
2

分) 当 m=-2 时 ? ? 分) 当 m=1 时 ? ? 分) 综上 m=-2 分) 17. (1)连结 BD ,在 △ ABD 中, E 、 F 分别为棱 AD 、 AB 的中点,故 EF // BD , 又 BD // B1 D1 ,所以 EF // B1 D1 , 分) 又 B1 D1 ? 平面 CB1 D1 , EF ? 平面 CB1 D1 , 所以直线 EF ∥平面 CB1 D1 . 分) (2)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形,则 A1C1 ? B1 D1 ,……………………………………………………( 8 分) 又 CC1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , B1 D1 ? 平面 A1 B1C1 D1 ,
[来源:高[考∴试﹤题∴库]

? l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 满足 ………………………………………(8 ?l 2 : ?2 x ? y ? 1 ? 0

?l1 : 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 不满足 ……………………………………(10 ? l2 : x ? y ? 1 ? 0

……………………………………………………………………(12

……………………………………………(2

………………………………………………( 6

则 CC1 ? B1 D1 , ………………………………………………………………(10 分)
五校联考数学(文)试题第 5 页 共 9 页

又 AC 1 1

CC1 ? C1 , A1C1 ? 平面 CAA1C1 , CC1 ? 平面 CAA1C1 ,所以 B1 D1 ? 平
……(12

面 CAA1C1 ,又 B1 D1 ? 平面 CB1 D1 ,所以平面 CAA1C1 ? 平面 CB1 D1 . 分)

2 18. 解: (1)设圆 C 的方程是 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? r (r>0) ,则弦长 P=2 r 2 ? d 2 ,其 2 2

中 d 为圆心到直线 x-y-1=0 的 距 离 , ∴P=2

r2 ?
新疆

? 2?

2

=2

2 , ∴ r2 ? 4 , 圆 的 方 程 为

? x ? 2?
分)

2

? ? y ? 1? ? 4
2

王新敞
学案

……………………………………………………… (4

(2)设切线方程为 y-3=k(x-4) 由

| k (2 ? 4) ? 4 | 1? k 2
3 4

?2

得 k=

所以切线方程为 3x-4y=0 分)

………………………………………………………(10

当切线斜率不存在的时候,切线方程为:x=4…………………………………(12 分) 19.(Ⅰ)证明:∵ AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE , ∴ AE ? CD . 在正方形 ABCD 中, CD ? AD , ∵ AD AE ? A ,∴ CD ? 平面 ADE . ∵ AB

CD ,∴ AB ? 平面 ADE .……………………………………………………( 6
B A F

分) (Ⅱ)解法 1:在 Rt △ ADE 中, AE ? 3 , AD ? 6 , ∴ DE ?

AD2 ? AE2 ? 3 3 .

过点 E 作 EF ? AD 于点 F , C ∵ AB ? 平面 ADE , EF ? 平面 ADE ,∴ EF ? AB . ∵ AD AB ? A ,∴ EF ? 平面 ABCD . ∵ AD ? EF ? AE ? DE ,∴ EF ?

E D B A

AE ? DE 3 ? 3 3 3 3 . ? ? AD 6 2

五校联考数学(文)试题第 6 页 共 9 页

又正方形 ABCD 的面积 S ABCD ? 36 , ∴ VABCDE ? VE ? ABCD ?

1 1 3 3 S ABCD ? EF ? ? 36 ? ? 18 3 . 3 3 2

故所求凸多面体 ABCDE 的体积为 18 3 .……………………………………………(12 分) 解法 2:在 Rt △ ADE 中, AE ? 3 , AD ? 6 ,∴ DE ?

AD2 ? AE2 ? 3 3 .

连接 BD ,则凸多面体 ABCDE 分割为三棱锥 B ? CDE 和三棱锥 B ? ADE . 由(1)知, CD ? DE .∴ S ?CDE ? 又 AB ∴ 点

1 1 ? CD ? DE ? ? 6 ? 3 3 ? 9 3 . 2 2
平面 CDE .

CD , AB ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,∴ AB

B 到 平 面 CDE 的 距 离 为 AE 的 长 度 . ∴ 1 1 VB ?CDE ? S ?CDE ? AE ? ? 9 3 ? 3 ? 9 3 . 3 3 1 1 9 3 ∵ AB ? 平面 ADE ,∴ VB ? ADE ? S?ADE ? AB ? ? ?6 ? 9 3 . 3 3 2 ∴ VABCDE ? VB?CDE ? VB? ADE ? 9 3 ? 9 3 ? 18 3 .故所求凸多面体 ABCDE 的体积为
18 3 .……………………………………………………………………………………(12
分) 20(Ⅰ)解 :∵ PA ? 平面 ABCD , ABCD 为矩形,

?VE ?PAD ? VP? ADE ………………………………………………………………(2
分) = ? ? 3? 2? 2 ? 分) (Ⅱ) EF 与平面 PAC 平行………………………………………………………(4 分) 当 E 为 BC 中点时,∵ F 为 PB 的中点, ∴ EF ∥ PC …………………………………………………………………(5 分) ∵ EF ? 平面 PAC , PC ? 平面 PAC ,………………………………………(6
五校联考数学(文)试题第 7 页 共 9 页

1 1 3 2

3 ………………………………………………( 3 3

分) ∴ EF ∥平面 PAC ,………………………………………………………………(7 分) (Ⅲ)∵ PA ? AB, F 为 PB 的中点, ∴ AF ? PB 分) ∵ PA ? 平面 ABCD , ∴ PA ? BC 又 BC ? AB,? BC ? 平面 PAB …………………………………………………( 9 分) 又 AF ? 平面 PAB ∴ BC ? AF . 分) 又 PB 分) 因无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE ? 平面 PBC , ∴ PE ? AF . …………………………………………………………………(13 分) 21(Ⅰ)过切点 P(3, 2) 且与 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线为 y ? 2 ? x ? 3 ,即 y ? x ? 5 .(1 分) 与直线 y ? ?4 x 联立可求圆心为 (1, ?4) , ………………………………………(2 分) 所以半径 r ? …………………………………………………………(10 ………………………………………………………………(8

BC ? B,? AF ? 平面 PBC

………………………………………( 11

(3 ? 1) 2 ? (?2 ? 4) 2 ? 2 2
2 2

所以所求圆的方程为 ( x ?1) ? ( y ? 4) ? 8 . 分)

…………………………………………(4

(Ⅱ)设 N (a, b) ,∵点 M (0,1) 与点 N 关于直线 x ? y ? 0 对称

?b ?1 a ? ? ? 2 2 ? a ? 1, b ? 0,? N (1, 0) ∴? ? b ? 1 ? ?1 ? ? a
分)

………………………………………(5

五校联考数学(文)试题第 8 页 共 9 页

注意:若没证明,直接得出结果 N (1, 0) ,不扣分. 1.当斜率不存在时,此时直线 l 方程为 x ? 1 ,原点到直线的距离为 d ? 1 ,同时令 x ? 1 代人

? 4 2 ? 2 2 满足题意, 圆方程得 y ?? 4? 2 2 ,所以| EF | ?4 2 ,所以 S ? OEF ? ? 1


1 2

x ?1.

时 方 程 为 ……………………………………………………………………………(8 分) ,即 kx ? y ? k ? 0

2.当斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 圆心 C (1, ?4) 到直线 l 的距离 分)

d?

k ?4?k k ?1
2

?

4 k 2 ?1

,…………………………(9

设 EF 的中点为 D ,连接 CD ,则必有 CD ? EF ,在 Rt?CDE 中,

DE ? 8 ? d 2 ? 8 ?

16 2 2 k 2 ?1 ? k 2 ?1 k 2 ?1
,…………………………………………………………………(10

所以 EF ? 分)

4 2 k 2 ?1 k 2 ?1

而原点到直线的距离为 d1 ?

|k| k 2 ?1



所以 S ?OEF ? 分)

1 4 2 k 2 ?1 | k | 2 2 | k | k 2 ?1 ? ? ? ?2 2, 2 k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1

……………(12

整理得 3k ? 1 ? 0 ,不存在这样的实数 k .
2

综上所述,所求的直线方程为 x ? 1 .……………………………………………………(14 分)

五校联考数学(文)试题第 9 页 共 9 页


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