【优选整合】高中数学人教A版选修2-2第三章3.1.2复数的几何意义


3.1.2 复数的几何意义

想 一 想 ?

在几何上, 我们用什么 来表示实数?

实数可以用数轴 上的点来表示.

实数 (数 )
实数的几何模型:

一一对应

数轴上的点 (形 )

0

.

1

x

回 忆

复数的一 般形式

a ? bi
实部 虚部



(a, b∈R)
一个复数又该 怎样表示呢?

1.类比实数的几何意义思考复数的几何意义.

2.明确复数的两种几何意义.(重点、难点)
3.了解复数模的意义.

探究点1 复数的几何表示 有序实数对(a,b)

复数z=a+bi
(数)

一一对应

直角坐标系中

的点Z(a,b) (形)

y b

建立了平面直角坐标系来 z=a+bi 表示复数的平面——复平面 Z(a,b) x轴——实轴 a x y轴——虚轴

0

这是复数的一种几何意义.

总结提升
一般地,实轴上的点,虚轴上的点,各象限内 的点分别表示什么样的数? 实轴上的点表示实数,

虚轴上的点除原点外都表
示纯虚数,各象限内的点 表示实部不为零的虚数.

探究点2 复数的向量表示 有序实数对(a,b)

复数z=a+bi (数)

一一对应

直角坐标系中 的点Z(a,b) (形)

?? ? 平面向量OZ

y z=a+bi
b

?? ? 向量OZ的模r叫做复数z = a + bi的模, 记作 z 或 a + bi .

Z(a,b)

易知 z = a + b
0 a
x

2

2

这是复数的又一种几何意义.

探究点3 实数绝对值的几何意义:
实数a在数轴上所对应的

点A到原点O的距离. a
O

A

x

|a| = |OA|

?a(a ≥ 0) ?? ? ?a(a ? 0)

探究点4 复数的模的几何意义:
复数 z=a+bi的模r就是复数 z=a+bi在复 平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. y z= a + b i Z(a,b) O x
2 2

|z|=r=|OZ| ?

a ?b

复数的模其实是实数绝对值概念的推广

例2 满足|z|=5(z∈C)的
复数z对应的点在复平面上 将构成怎样的图形? 解 设z=x+yi(x,y∈R) –5

5

y

5

| z |? x ? y ? 5
2 2

O

x

x ? y ? 25
2 2

–5 图形: 以原点为圆心,5为半径的圆

例3 满足3<|z|<5(z∈C) 的复数z对应的点在复平面 上将构成怎样的图形? 解 设z=x+yi(x,y∈R) –5 –3 3 ? x2 ? y 2 ? 5

y 5

3
O O

3

5 x

9 ? x ? y ? 25
2 2

–3
–5

图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内

1.下列命题中的假命题是( D )
A.在复平面内,对应于实数的点都在实轴上

B.在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上
C.在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数

D.在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数

2.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点

在虚轴上”的( C )
A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.不充分不必要条件

3. 在复平面内,描出下列各复数的点:

y
⑴ 2+5i; ⑵ -3+2i; ⑶ 2-4i; ⑷-3-i; ⑸ 5; ⑹ -3i. O

x

⑴ 2+5i; ⑵ -3+2i; ⑶ 2-4i; ⑵ ⑷

y


⑷-3-i;
⑸ 5;

O ⑹



x

⑹ -3i.



4.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对
应的点位于第二象限,求实数m允许的取值范围.

?m 2 + m - 6 < 0 解: 由 ? 2 ?m + m - 2 > 0

? -3 < m < 2 得? ?m < -2或 m > 1

所以 m ? ( ?3, ?2) ? (1, 2)

【总结提升】 表示复数的点所在 象限的问题 转化 复数的实部与虚部所满足

的不等式组的问题

(几何问题)

(代数问题)

一种重要的数学思想:数形结合思想

1.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一 对应的,即 复数z=a+bi 一一对应 复平面内的点 Z (a ,b )

2.复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一
一对应的,即 复数z=a+bi 一一对应

? ? ? 复平面内的向量 OZ

3.复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)和向量 ? ? ? OZ 是一个三角对应关系,即

复数z=a+bi

点 Z(a , b)

? ? ? ? 向量 O Z


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