高三文科数学知识点集中梳理(1)


高三文科数学知识点集中梳理(一) 第一部分:集合、逻辑、函数、导数
第 0 篇:初中重点知识: 1.实数分类:实数分为有理数(整数和分数或有限小数与无限循环小数)和无理数(无限不循环小数) 。 2. x :数轴上表示实数 x 的点到原点的距离。 x ? a :数轴上表示实数 x, a 的两点之间的距离。 3.分解因式的方法: (1)提公因式: ab ? ac ? a(b ? c) ; (2)十字相乘法; (3)平方差公式:
2 2 a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b) ; (4)完全平方公式: a ? 2ab ? b ? (a ? b)2 ;

(5)立方和差公式: x3 ? y3 ? ( x ? y)( x2 m xy ? y 2 ) 。 4. (1)一元二次方程: ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) :根的判别式△= b ? 4ac ,令 f ( x ) ? ax ? bx ? c ,
2
2

①△ ? 0 ? 有两个不相等的实根; f ( x ) 图象与 x 轴有

2 个交点。②△ ? 0 ? 有两个相等的实根;

1 个交点。③△ ? 0 ? 没有实根。 f ( x ) 图象与 x 轴有 0 个交点。 (2)解法:先考虑分解因式法:特别是左边为二次三项式时考虑分解因式法中的十字相乘法,不行则

f ( x) 图象与 x 轴有

2 用公式法:x ? ?b ? b ? 4ac , 尽量不要用配方法来解, 配方法主要用于求二次函数的值域与最值问题。

2a

(3)韦达定理(根与系数关系) : x1 ? x2 ? ?

b c , x1 x2 ? ,前提是:△ ? 0 。于是有: a a

①两正根 ? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0, ? ? 0 ;②两负根 ? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0, ? ? 0 ; ③一正一负根 ? x1 x2 ? 0 (此时 ac ? 0 故 b ? 4ac ? 0 ,所以只需一个条件) 。
2

第一篇:集合与逻辑用语: 1.常用数集符号:自然数集 N、正整数集 N*,N+ 、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、复数集 C。 2.含 n 个元素的集合共有 2 个子集;有 2 ? 1 个真子集或非空子集;有 2 ? 2 个非空真子集。
n n n

3.元素与集合间的关系用 ? 与 ? ,集合与集合间的关系用 ?、 ? 等,空集是任何集合的子集,是任何 非空集合的真子集。 A ? (??,3), B ? (1, ??), A ? B ? R; A I B ? (1,3) ; CR A ? [3, ??) 。 4.若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件;若 p ? q ,则 p 与 q 互为充要条件。

x ? 1 是 x ? 2 的必要不充分条件(小推大) ) 。A 是 B 的充分不必要条件,则 ?A是?B 的必要不充分条件。
5. “有些数是正数”的否定是所有数都是非正数。 “正数都大于 0”的否定是存在一个正数不大于 0 或 者是正数不都大于 0。 p ? q 的否定是 ? p ? ? q ; p ? q 的否定是 ? p ? ? q 。 命题“ ?x ? R, a x ? 0(0 ? a ? 1) ”的否定是 ?x ? R, a x ? 0(0 ? a ? 1) 。命题“若 x ? 0 ,则 x ? 0 ”的
2

否命题是若 x ? 0 ,则 x ? 0 ,逆命题是若 x ? 0 ,则 x ? 0 ,逆否命题是 x ? 0 ,则 x ? 0 。
2 2 2

6.逆命题与否命题同真假,原命题与逆否命题同真假,即互为逆否命题的两个命题同真假。 7. p ? q 两真才真,一假则假; p ? q 一真则真,两假才假; ? p 与 p 的真假性相反。 第二篇 函数与基本初等函数: 1.下列是映射吗?(1)从 R 到 R+ 的对应 f: x → y = x (×) ; ( x ? 0 时没有 y 值与之对应) (2)从 R 到 R 的对应 f: x → y = x (√) ; (3)从 R 到 R 的对应 f: x → y = ? x (×) (1 个 x 2 个 y)
2

2.函数的三要素:定义域(自变量 x 的取值范围) ,值域(函数值 y 的取值范围) ,对应关系。

{x | y ? x} 表示 y ? x 的定义域; { y | y ? x} 表示 y ? x 的值域;他们的化简结果都为 [0, ??) , 因此相等,不能说它们一个是 x ,一个是 y ,所以交集为空集;{( x, y) | y ? x}表示曲线 y ? x 上的 所有点组成的集合,也就是整一条曲线 y ? x 。
1

3.两函数相等等价于它们的定义域、对应关系都相同。 4.写出函数的定义域: (1) f ( x ) ? (3) f ( x) ? lg( x ? 1) : (?1, ??)

1 : {x | x ? ?1} ; (2) f ( x) ? x ?1 : [1, ??) ; x ?1
; (4) y ? ( x ?1)0 :

{x |x ? 1}



5. 奇偶性定义: 定义域中的任一个 x 都满足 (1) 奇函数: f (? x) ? ? f ( x) ; (2)偶函数: f (? x) ? f ( x) 。 具有奇偶性的函数的前提是定义域关于原点对称,奇函数图象关于原点对称,若 0 ? 定义域,则函数图 象过原点,即 f (0) ?0 ,奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。奇函数若有最值,则最大 值最小值互为相反数。偶函数图象关于 y 轴对称,且在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。 注意:判断函数的奇偶性之前应该先求出函数的定义域。 6.奇偶函数的四则运算性质:在公共定义域内: (1)奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇+偶=非奇非偶; (2)奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇。 (加法与减法一致,乘法与除法一致) 。 (3)|奇函数|=偶函数,|偶函数|=偶函数。 (4) f ( x ) 一定是偶函数。 7.周期函数定义:存在一个非零常数 T,使得 f ( x ? T ) ? f ( x) ,下列函数的周期是: (1) f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) 3 ; (2) f ( x) ? ? f ( x ? 3) 6 ;自变量相差 3 则函数值互为相反数。 (3) f ( x) ? ?

1 1 6 ; (4) f ( x) ? 6 。 (2) (3) (4)在解答题中需要先证明。 f ( x ? 3) f ( x ? 3)

8.单调性:在定义域的某个区间 I 上满足: (1)任意 x1 , x2 ? I ,若 x1 ? x2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x ) 在 I 上为增函数; (2)任意 x1 , x2 ? I ,若 x1 ? x2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x ) 在 I 上为减函数。 9.在区间 I 上,函数满足下列条件,指出其性质: (1) ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 :减函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) (2) (3) f '( x) ? 0 :增函数。 ? 0 :增函数; x1 ? x2 在公共定义域内:增+增=增,减+减=减,增 ? 减=增,减 ? 增=减。 (小题可直接用这些结论) 10.抽象函数的对称性:若函数 f ( x ) 满足(1) f ( x) ? f (2a ? x) :则 f ( x ) 的对称轴为 x ? a ; (2)f (? x) ? f (2a ? x) : 则 f ( x ) 的对称轴为 x ? a ; (3)f (a ? x) ? f (a ? x) : 则 f ( x ) 的对称轴为 x ? a 。 归纳:对称轴为括号内两数的平均数,注意相加后能消掉 x ,否则不具有对称性。 11.n 为奇数时, n a n = a ; n 为偶数时, n a n = a 。而任意 n ? N (n ? 2) 都有: ( n a )n ? a 。 12.若 a> 0;n>1;m、n ? N ;则(1)a
x ?

m n

1

= n a m ,如: a 2 = a 。 (2)a

?

m n

=

1
n

am



13.若 0<a≠1,N>0,则(1)a =N ? x ? log a N 。 (2)log a 1=_ 0 _, (3)log a a=__1 __, (4)log a a =_n _, (5) a
n

log a n

=_ n _。 (6) lg 0.1 ?

-1

; (7) ln e ?

1



14.0<a≠1,M、N>0 ,log a (M ? N)= loga M ? loga N ;log a log a M = n log a M ; 换底公式 loga b ?
n

M = loga M ? loga N ; N

log c b lg b ln b 1 , , ? ? logb a ? loga b ? logb c = loga c 。 log c a lg a ln a log a b
2

log am b n ?

n 1 log a b ; log 1 ? loga b , logan bn ? loga b 。 m a b

15.指数函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 与对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的图象性质对比:

y ? a x (a ? 1)
图象

y ? a x (0 ? a ? 1)

y ? loga x (a ? 1)

y ? loga x (0 ? a ? 1)

定义域 值域 定点 单调性 在 R 上增 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 16.定点问题:函数 y ? a
x ?1

R

(0, ??)
R (1,0) 在 R 上减 在 (0, ??) 上增 当 x>1 时,y>0 当 0<x<1 时,y<0 在 (0, ??) 上减 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

(0, ??)
(0,1) 当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1

?1恒过定点 (1,0) ;(解法:令指数为 0,不要用图象平移)

函数 y ? log a ( x ? 1) ? 1 恒过定点 (0,1) 。 (解法:令真数为 1,不要用图象平移)
x 17.反函数: y ? a 与 y ? log a x 互为反函数(底数相同才是) ,他们的图象关于直线 y ? x 对称。

18. y ? kx ? b(k ? 0) ,定义域值域都为 R,k>0 时 R 上增,k<0 时 R 上减,b 是纵截距。 19.二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) , (1)纵截距 f ? 0 ? = c ,即抛物线过 (0, c ) , (2)a ? 0 时开口向上,反之向下, 对称轴直线 x ? ? b ,故 ab ? 0 ? 对称轴在 y 轴右侧, 反之左侧。 2a
2

(3)二次函数为偶函数的充要条件是一次项系数为 0。
2 (4)顶点式:可将一般式配方为 y ? a( x ? h) ? k ,顶点坐标为 ( h, k ) ,最值为 k ( a ? 0 时最小) 。

(5)零点式(与 x 轴的交点的横坐标,有零点才能用) : y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) :对称轴为 x ?

x1 ? x2 。 2

(6)不要总是把 y ? ax2 ? bx ? c 当做二次函数,二次项系数含有参数时应该按是否为 0 分为 2 类。 20.反比例函数 y ?

k (k ? 0) ,图象为双曲线,定义域与值域都为 (??,0) U (0, ??) , k ? 0 时,函数 x 1 五种即可,熟记 5 个函数图象。 (1) 2
?

在 (??,0),(0, ??) 上是减函数。 k ? 0 时函数在 (??,0),(0, ??) 上是增函数。 (注意此处不能用“ ? ” )
? 21.幂函数:形如 y ? x (注意系数为 1)只需掌握 ? ? 1, 2,3, ?1,

图象都过点 (1,1) ;不过第四象限。 (2) ? 为奇数 ? y ? x 为函数, ? 为偶数 ? y ? x 为
?

函数。

? ? 0 时, y ? x? 在 (0, ??) 上是增函数。
22. (1) 将函数 f ?x ? 的图象向左平移一个单位得 f ? x+1? 的图象, 向上平移一个单位得 f ? x ? +1的图象。 (2) f ( x ) 与 ? f ( x) 的图象关于 x 轴对称; f ( x ) 与 f (? x) 的图象关于 y 轴对称。 (3) f ( x) 的图象由 f ?x ? 的图象 x 轴上方部分不变,下方部分以 x 轴为对称轴翻折到上方得到。 (4) f ( x ) 一定为偶函数,只需作出 f ( x ) 在 y 轴右侧的图象,再关于 y 轴 对称即可得 f ( x ) 的图象。 23. f ?x ? 的零点 ? f ? x ? =0 的实根 ? y ? f ?x ? 的图象与 x 轴交点的横坐标。
3

f ?x ? 与 ? f ? ? x ? 的图象关于 原点 中心对称。

24.若连续函数(图象为连续的曲线) y ? f ( x) 在 ( a, b) 上满足 f ( a ) · f (b) ? 0,则 f ( x ) 在 ( a, b) 上 至少有_1_个零点。反之,若 f ( x ) 在 ( a, b) 内有零点,则不一定满足 f ( a ) · f (b) ? 0。 25.f ( x) ? g ( x) ? h( x) (如 f ( x) ? 2x ? x 2 ) 的零点: 即 g ? x ? ? h ? x ? 的实根, 也是同一坐标系下,g ( x) 和 h( x) 两个函数图象的交点的横坐标。因此求零点个数时可作出两函数图象看交点个数。 26.抽象函数的定义域问题:如已知 f (2 x) 的定义域为 [1, 4] ,求 f (2x ) 的定义域:

Q x ? [1, 4] ,? 2 x ?[2,8] ,故 2x ?[2,8] ,? x ? [1,3] ,所以 f (2x ) 定义域为 [1,3] 。 注意: (1)定义域为自变量 x 的范围。 (2) f ( ) 内的范围前后保持一致。 (3)前 x 与后 x 范围不同。 (-?, 1 ) 27.复合函数 f [ g ( x)] 的单调性的判断方法:同增异减(先明确定义域),如 y ? ln(1 ? x) 在 上减。
第三篇:导数及其应用: 1. (1)导数定义: f '( x ) ? lim f ( x ?Vx) ? f ( x) (或 V y ) ,也叫瞬时变化率,横线部分叫平均变化率。
? x ?0

Vx

Vx

(2) f '( x0 ) 的几何意义:曲线 y ? f ( x) 在 ( x0 f ( x0 )) 处的切线的斜率。

s '(t ) ? v(t ) ,即位移的导数是瞬时速度; v '(t ) ? a(t ) ,即速度的导数是瞬时加速度。
2.求导公式: c ' = 0; ( x n ) ' ? nx
n ?1

; ( x )' =

1 2 x

;( )' ? ?

1 x

1 ; (sin x) ' ? cos x ; cos x ? ? sin x ; x2

(log a x) ' ? (a x ) ' ? a x ln a ; (ex ) ? e x ;

1 1 ; (ln x) ' ? 。 注意:f ( x) ? sin x ? cos ? ,f '( x) ? cos x 。 x x ln a

3. (1)四则运算的求导法则:① [ f ( x) ? g ( x)]' ? f '( x) ? g '( x) ; ② [ f ( x) ? g ( x)]' ? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) ;③ [ f ( x) ]' ? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x ) 。 [ g ( x)]2 g ( x) 4.单调性: f ( x ) 在区间 D 上有意义且存在导数 f '( x) ,则在区间 D 上, (1) f ( x ) 单调递增 ?

f '( x) ? 0 恒成立(允许有某处等于 0) ; (2)递减 ? f '( x) ? 0 恒成立(允许有限处等于 0) 。
因此, f ( x ) 在某区间 D 上满足 f '( x) ? 0 只是 f ( x ) 在该区间 D 上为增函数的充分不必要条件。 5. 极值: f ( x ) 在 x ? a 附近有导数, 且 f '(a) ? 0 , 在 x ? a 附近的左侧 f '( x) < 0, 右侧 f '( x) > 0, 0,

则 a 叫做 f ( x ) 的极小值点, f ( a ) 叫做极小值;若 f '(a) ? 0 ,在 x ? a 附近的左侧 f '( x) > 右侧 f '( x) <

0,则 a 叫做 f ( x ) 的极大值点, f ( a ) 叫做极大值。导数等于 0 并不意味着是极值点:

。 f '( x0 ) ? 0 是 x0 为 f ( x) 的极值点的必要不充分条件。如 y ? x3 在 x ? 0 处导数为 0(非极值点) 6.不等式恒成立问题的方法: (1) V 法:适用于一元二次不等式且是在 R 上; (2)转化为最值问题: a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x)min , a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x)max 。 7.参变分离法:将参数和变量通过变形分离到不等式(或等式)的两边,主要用来解决恒成立问题。 注意:恒成立问题在转化为最值问题之前最好先进行参变分离,避免分类讨论,注意不等式两边同时除 以一个式子时要注意它的正负,不等号方向是否需要改变。 8.证明 f ( x) ? g ( x) ,可以设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,证明 h( x)min ? 0 。

4


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