重庆市开县中学2016届高三上学期第一次月考(10月)数学理试题


重庆开县中学高 2016 届高三(上)第一次月考(10 月) 数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 1.已知函数 y ? 的定义域为集合 A,集合 B ? ? x 0 ? x ? 1? ,则 A ? B ? ( D ) x A. ? 0, ??? B. ?0,1? C. ?0,1? D. ? 0,1?
0.5 2.设 x ? 3 , y ? log3 2 , z ? cos 2 ,则( A



B. z ? x ? y C. y ? z ? x D. x ? z ? y ? ? ? ? ? 3.已知向量 a =(1,2),向量 b =(x,-2),且 a ? (a ? b) ,则实数 x 为( A ) A.9 B.4 C.0 D.-4 4.在 ?ABC 中,a ,b ,c 为角 A , B ,C 的对边,若 A ? A.

A. z ? y ? x

?
6

,cos B ?

3 ,b ? 8 ,则 a ? ( D 5

)

40 3
? ? ?

B.10

C.

20 3

D. 5

5.下列命题中 假命 题 的个数是( C ) (1)“若 a ? ? 0,1? ,则关于 x 的不等式 ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 解集为 R ”的逆命题为真. (2) C 表示复数集,则有 ?x ? C, x2 ? 1 ? 1 . (3)已知向量 a, b ,若 | a |? 2 10 , b ? (?1,3) ,且 a ? b ? 10 ,则 a与b 的夹角为 A.0 B.1 C.2 D.3 解析:C 命题(3)是真命题, (1) (2)是假命题,故选 C 6.函数 f ( x) ? 2 x log1 x ? 1的零点个数为 ( B )
2

? ?

?

?

? ?

? ?

? 。 3

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0, ??) 单 调 递 增 . 若 实 数 a 满 足 f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? 2 f (1) , 则 a 的最小值是( C )
2

3 A. 2
解析:选 C

B.1

C.

1 2

D.2 ,

∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,∴

等价为 f(log2a)+f(﹣log2a)=2f(log2a)≤2f(1),即 f(log2a)≤f(1). ∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增, ∴f(log2a)≤f(1)等价为 f(|log2a|)≤f(1).即|log2a|≤1, ∴﹣1≤log2a≤1,解得

1 ? a ? 2 ,故 a 的最小值是 ,故选:C 2

8.函数 f (x) ?sin x ? ln( x 2 ? 1 )
y

的部分图象可能是( B
y


y y

O

.

x

O

.

x

O

x

O

x

A

B

C

D

9.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R, 都有f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2 f (3), 且f (0) ? 3,

则f (2016) ? ( C
A. 1

) B. 2 C. 3 D. 4

10.函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示,为了得到函数 y ? cos(2 x ? 将 y ? f ( x) 的图象( A )

?
6

) 的图象,只需

? ? 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 6 6 ? ? C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 3 3 1 a 11.已知函数 f ( x)=a ( x ? ) ? 2 ln x(a ? R ), g ( x) ? ? ,若至少存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 x x
A.向左平移

f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,则实数 a 的取值范围是(
A. [0, ??) C. [1, ??) 解析:选 B B. (0, ??) D. (1, ??)

B )

令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? a( x ? ) ? 2 ln x ?

1 x

a ? ax ? 2 ln x(其中x ? 0) ,所以 x

h ' ( x) ? a ?

2 , x
'

若 a ? 0 ,则 h ( x) ? 0 ,所以 h( x)在(0, ??) 上是减函数,在 [1, e] 的最大值为 h(1) ? a ? 0 ,此时不 存在 x0 ? [1, e] ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立; 若 a ? 0 ,则由 h(1) ? a ? 0 ,总存在 x0 ? 1 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立. 故实数 a 的范围为 (0, ??) . 12. 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? 2ax, g ? x ? ? 3a 2 ln x ? b 设两曲线 y ? f ? x ? , y ? g ? x ? 有公共点, 且在 2
D )

该点处的切线相同,则 a ? (0, ??) 时,实数 b 的最大值是(

A.

13 6 e 6

B. e

1 6

6

C.

7 2 e3 2

D.

3 2 e3 2 3a 2 ,因为两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点, x


解析:选 D 依题意: f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ?

1 2 ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b ? 2 设为 P( x0 , y0 ) , 所以 ? , 因为 x0 ? 0 ,a ? 0 ? 2 3 a ? f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) ? x0 ? 2a ? ? x0 ? a或x0 ? ?3a ? x0 ?

以 x0 ? a ,因此 b ? 构造函数 h(t ) ?

1 2 5 2 x0 ? 2ax 0 ? 3a 2ln x 0? a 2? 3a ln a (a ? 0) 2 2

1 5 2 t ? 3t 2 ln t (t ? 0) , 由 h?(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) , 当 0 ? t ? e 3 时,h?(t ) ? 0 即 h(t ) 单 2 1

调递增;当 t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 即 h(t ) 单调递减,所以 h(t ) max ? h(e 3 ) ?

1

3 2 e 3 即为实数 b 的最大值. 2

第Ⅱ卷(非选择题
二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

共 90 分)
1 2

13.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? i 2015 (其中 i 为虚数单位) ,则 z 的虚部为

14.已知 ? , ? ? ? 0, ? , tan ? ? 2 , sin ?? ? ? ? ?
2

? ?? ? 2?

3 .则 cos? 的值= 5

2 5 5

15.已知函数 f ? x ? ? x ? x ? a ln ? x ? 1? ,其中 a ? 0. 若 f ? x ? 在定义域内既有极大值又有极小值, 则实数 a 的取值范围为 解析:

0?a?

1 8

1 1 ? 1 ? x? x ? [0, ] ? 4 2 ? 3? ? 2 ) ? 2a ? 2(a ? 0) ,给出下列 16.已知函数 f ? x ? ? ? , g ? x ? ? a sin( x ? 2 3 2 ?1 ? ? 2x x ? ? ,1? ? ?2 ? ?x?2
结论,其中所有正确的结论的序号是 ①②③ .

①函数 f ? x ? 的值域为 [0, ] ; ②函数 g ? x ? 在 ?0,1? 上是增函数; ③若存在 x1 , x2 ??0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 a 的取值范围是 [ , ] .

2 3

4 4 9 5

三.解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分)已知集合 U ? R , 集合 A ? {x | ( x ? 2)( x ? 3) ? 0} , 函数 y ? lg 的定义域为集合 B. (1)若 a ?

x ? (a 2 ? 2) a?x

1 ,求集合 A ? (CU B) ; 2

(2)命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)因为集合 A ? {x | 2 ? x ? 3} ,因为 a ?

1 2

9 9 x? x? x ? (a 2 ? 2) 4 ,由 4 > 0, 函数 y ? lg = lg 1 1 a?x ?x ?x 2 2 1 9 可得集合 B ={x | ? x ? } ????2 分 2 4 1 9 CU B ? {x | x ? 或x ? } , ????????????????4 分 2 4 9 故 A ? (CU B ) ? {x | ? x ? 3} . ???????????6 分 4
(2)因为 q 是 p 的必要条件等价于 p 是 q 的充分条件,即 A ? B 由 A ? {x | 2 ? x ? 3} ,而集合 B 应满足 因为 a ? 2 ? a ? (a ? ) ?
2 2

x ? (a 2 ? 2) ?0, a?x

1 2

7 ?0 4
????????8 分

故 B ? {x | a ? x ? a2 ? 2} , 依题意就有:

?a ? 2 , ? 2 ?a ? 2 ? 3
即 a ? ?1 或 1 ? a ? 2

???????????????10 分

- ?, - 1]? [ 1, 2]. 所以实数 a 的取值范围是 (
18.已知函数 f ? x ? ? x ? ax .
3

???????12 分

(1)若 a ? ?3 时,求 y ? f ? x ? 的单调区间; (2)若 a ? ?2 时,求过点 A(1, ?1) 作曲线 y ? f ? x ? 的切线方程。 解析:(1)当 a ? ?3时,f ( x) ? x ? 3x, f ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ?1)( x ? 1)
3 2

'

由 f ( x) ? 3( x ?1)( x ? 1) ? 0 ? x ? 1或x ? ?1 ;由 f ( x) ? 3( x ?1)( x ? 1) ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ∴ f ( x)的单增区间为(-?,-1),(1,+?);单减区间为(-1,1) (2)当 a ? ?2 时, f ( x) ? x ? 2x且f ( x) ? 3x ? 2
3 2

'

'

'

2 设切点为 P ( x0 , x0 ? 2x0 ) ,则切线斜率 k= k ? f ' ( x0 ) ? 3x0 ? 2, 3

∴切线 l : y ? x0 ? 2x0 ? (3x0 ? 2)( x ? x0 ) 且过 A(1, ?1) 得 2 x0 ? 3x0 ? 1 ? 0
3 2 3 2

? ( x0 ?1)2 (2 x0 ? 1) ? 0 ,∴ x0 ? 1或x0 ? ?

1 2

故切线 l 的方程为: x ? y ? 2 ? 0或5x+4y ?1=0

19.(本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? 3 cos 2 x ? 2sin( (1)求 f ( x ) 的最小正周期及单增区间;

3? ? x)sin( ? ? x), x ? R 2

(2)已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 f ? A? ? ? 3 , a ? 3 ,求 S ???C 的最 大值. 解析:(1) f ? x ? ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? ?2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?

? f ? x ?的最小正周期为? ,
由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

3? 5? 11? ( k ? Z ) ? k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 2 12 12

5? 11? ? ? ? f ( x)的单增区间为 ? x | k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) ? 12 12 ? ?
(2)由 f ? A? ? ? 3 得 sin ? 2 A ?

? ?

??

3 ? ? ?? , 又A ? ? 0, ?, ? A= ?? 3? 2 3 ? 2?

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A得9=b2 ? c 2 ? bc ? bc

即bc ? (当且仅当 9 b=c时取等号)

∴ S ???C =

1 9 3 bc sin ? ≤ 2 4
2

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ln x ? ax(a ? R), g ( x) ? ?x ? 2 . (1)若方程 f ?x ? ? ?1 无解,求实数 a 的取值范围; (2)对 ?x ? (0, ??), 都有f ? x ? ? g ( x)成立, 求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? c ? 0? 为偶函数,函数 y ? f ?x ? 的图像在
2

ex ?1,f ?1?? 处切线与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 平行,函数 g ?x ? ? . f ?x ?
(1)求 a , b 的值; (2)讨论 g ?x ? 的单调性; (3)若 x0 为 g ?x ? 的极小值点,求 g ?x0 ? 的取值范围. 解:(1)∵ f ( x ) 为偶函数 ∴b=0 又∵ f
1

?1? ? 2a ? b ? 2 ? a ? 1

∴a=1,b=0

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)如图,圆 O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交圆 O 于 N,过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P.
B

C

M O

A

P

N

(1)求证: PM 2 ? PA ? PC ; (2)若圆 O 的半径为 2 3 , OA ? 3OM ,求 MN 的长 . 解析:(1)证明:连接 ON,因为 PN 切圆 0 于 N,所以 ?ONP ? 90? , 所以 ?ONB ? ?BNP ? 90? ,因为 OB=ON,所以 ?OBN ? ?ONB 因为 OB ? AC 于 O ,所以 ?OBN ? ?BMO ? 90? 故 ?BNP ? ?BMO ? ?PMN , PM ? PN 所以 PM 2 ? PN 2 ? PA ? PC 5分 (2) OM ? 2, BO ? 2 3, BM ? 4, 因为 BM ? MN ? CM ? MA ? 2 3 ? 2 ? 2 3 ? 2 ? 8 ,所以 MN ? 2

?

??

?

10 分

23、(本小题满分 10 分)
? x ? 2 ? 2cos ? , 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数).在平面直角坐标系中,以坐标原点为 ? y ? 2sin ? 极 点 , x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为

? cos ? ? ? ? ? 2 2 . ( ? ? 0, 0 ? ? ? 2π) 4
(Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标.

π? ? ? ? (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;

? x ? 2 ? 2cos ? , 2 解:(Ⅰ)将 ? 消去参数 ? ,得 ? x ? 2? ? y2 ? 4 , y ? 2sin ? ?

所以 C1 的普通方程为: x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分
? x ? ? cos ? , 将? 代入 x2 ? 4 x ? y 2 ? 0 得 ? 2 ? 4? cos? ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 y ? ? sin ? ? 所以 C1 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

(Ⅱ)将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程得: x ? y ? 4 ? 0 .

? x ? y ? 4 ? 0, ? x ? 4, ? x ? 2, 解得 ? 或? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ?y ? 0 ? y ? ?2. 7? ? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 4, 0 ? 或 ? 2 2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ?.· 4 ? ?
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ,且 g ? x ? ?| ax | . (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ? x ? ? g ( x) ? 1; (2) 当 a ? 2 时,若对一切 x ? R 恒有 f ? x ? ? g ( x) ? b 成立,求实数 b 的取值范围。

由?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分


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