分式不等式的解法讲义


不等式的解法
1.一元二次不等式的解法 (1)含有未知数的最高次数是二次的一元不等式叫做一元二次不等式. (2)一元二次不等式的解法(如下表所示) 设 a>0,x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两实根,且 x1<x2

(3)对于一元二次不等式的解法需注意: x-a x-a ① ≥0(a<b)的解集为:{x|x≤a 或 x>b}; ≤0(a<b)的解集为:{x|a≤x<b}. x-b x-b ②从函数观点来看, 一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的解集是一元二次函数 y=ax2 +bx+c(a>0)在 x 轴上方的点的横坐标的集合. ③三个“二次”的关系 常说的三个“二次”即指二次函数、 一元二次方程和一元二次不等式, 这三者之间有着 密切的联系,这种联系点可以成为高考中的命题点.处理其中某类问题时,要善于产生对于 另外两个“二次”的联想,或进行转化,或帮助分析.具体到解一元二次不等式时,就是要 善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析, 要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等 式的解集区间的端点值的联系. 2.解一元二次不等式的方法: (1)图象法:先求不等式对应方程的根,再根据图象写出解集. (2)公式法步骤: ①先化成标准型:ax2+bx+c>0(或<0),且 a>0; ②计算对应方程的判别式 Δ; ③求对应方程的根; ④利用口诀“大于零在两边,小于零在中间”写出解集. 3.解绝对值不等式的基本思想

1)解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号,把带有绝对值号的不等式等价转化 为不含绝对值号的不等式求解,常采用的方法是讨论符号和平方,例如: (1)若 a>0,则│x│<a?-a<x<a?x2<a2; (2)若 a>0,则│x│>a?x<-a,或 x>a?x2>a2; (3) |f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x); (4)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或 f(x)<-g(x)(无论 g(x)是否为正). 常用的方法有:(1)由定义分段讨论;(2)利用绝对值不等式的性质;(3)平方. 2)常见绝对值不等式及解法: (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a 或 f(x)<-a; (2)|f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a; (3)|x-a1|+|x-a2|>(<)b,用零点分区间法. 4.一般分式不等式的解法: f?x? f?x? (1)整理成标准型 >0(或<0)或 ≥0(或≤0). g?x? g?x? (2)化成整式不等式来解: f?x? ① >0?f(x)· g(x)>0 g?x? f?x? ② <0?f(x)· g(x)<0 g?x? ?f?x?· g?x?≥0 ? f?x? ③ ≥0?? g?x? ? ?g?x?≠0 ④
? g?x?≤0 ?f?x?· f?x? ≤0?? g?x? ?g?x?≠0 ?

(3)再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 1 一元二次不等式的解法 题型 1.解一元二次不等式
2 [例 1] 不等式 x ? x 的解集是(

A. ? ??,0 ?

B.

? 0,1?

)

C. ?1, ?? ?

D.

? ??,0? ? ?1, ???

【解题思路】严格按解题步骤进行
2 [解析]由 x ? x 得 x( x ? 1) ? 0 ,所以解集为 ? ??,0? ? ?1, ??? ,故选 D;别解:抓住选择题的

特点,显然当 x ? ?2 时满足不等式,故选 D. 【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根 题型 2.已知一元二次不等式的解集求系数.
2 2 [例 2]已知关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? c ? 0 的解集为 ( ? , ) ,求 ?cx ? 2 x ? a ? 0 的解集.

1 1 3 2

【解题思路】由韦达定理求系数

1 1 1 1 2 为方程 ax ? 2 x ? c ? 0 的两 3 2 3 2 1 1 2 1 1 c 2 个根 , 由韦达定理得 ? ? ? ? , ? ? ? , 解得 a ? ?12,c ? 2, ∴ ?cx ? 2 x ? a ? 0 即 3 2 a 3 2 a
2 [解析] 由 ax ? 2 x ? c ? 0 的解集为 ( ? , ) 知 a ? 0 , ? ,

2 x2 ? 2 x ? 12 ? 0 ,其解集为 (?2,3) .
【名师指引】 已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由 韦达定理求系数

【新题导练】 1.不等式( a -2) x 2+2( a -2) -4<0,对一切 x ∈R 恒成立,则 a 的取值范围是( A.(-∞,2] B.(-2,2] C.(-2,2) D.(-∞,2) )

解析:∵

可推知-2<a<2,另 a=2 时,原式化为-4<0,恒成立,∴-2<a≤2. 选 B

2. 关于 x 的不等式( m x -1)( x -2)>0,若此不等式的解集为{ x |
范围是 A. m >0 B.0< m <2 C. m > D. m <0

<x<2},则 m 的取值

解析:由不等式的解集形式知 m<0. 答案:D 考点 2 含参数不等式的解法 题型 1:解含参数有理不等式 例 1:解关于 x 的一元二次不等式 x2 ? (3 ? a) x ? 3a ? 0 【解题思路】比较根的大小确定解集 解析:∵ x ? (3 ? a) x ? 3a ? 0 ,∴ ? x ? 3?? x ? a ? ? 0
2

⑴当 a ? 3时, x ? a或x ? 3 ,不等式解集为 x x ? a或x ? 3 ; ⑵当 a ? 3 时,不等式为 ? x ? 3? ? 0 ,解集为 x x ? R且x ? 3 ;
2

?

?

?

?

⑶当 a ? 3时, x ? 3或x ? a ,不等式解集为 x x ? 3或x ? a

?

?

【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:①根据二次项系数(大于 0,小于 0, 等 于 0);② 根 据 根 的 判 别 式 讨 论 ( ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ).③ 根 据 根 的 大 小 讨 论 ( x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ). 题型 2:解简单的指数不等式和对数不等式 例 2. 解不等式 loga(1-

1 )>1 x

(a ? 0, a ? 1)

【解题思路】借助于单调性进行分类讨论

? 1 1? ? 0 ? ? x 解析(1)当 a>1 时,原不等式等价于不等式组 ? ?1 ? 1 ? a ? x ?

由此得 1-a>

1 1 .因为 1-a<0,所以 x<0,∴ <x<0. x 1? a ? 1 1? ? 0 ? ? x (2)当 0<a<1 时,原不等式等价于不等式组: ? ?1 ? 1 ? a ? ? x
由 ①得 x>1 或 x<0,由②得 0 <x<

① ②

1 1 ,∴1<x< . 1? a 1? a 1 综上,当 a>1 时,不等式的解集是{x| <x<0 } ,当 0<a<1 时,不等式的解集为 1? a 1 {x|1<x< }. 1? a
【名师指引】 解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般 的不等式(组)来求解,当底数含参数时要进行分类讨论.

【新题导练】 3.关于 x 的不等式 63x2 ? 2mx ? m2 ? 0 的解集为(

)

m m m m B. ( , ? ) C. ( ??, ? ) ? ( , ?? ) D.以上答案都不对 7 9 9 7 m m 解析 : 原不等式可化为 ( x ? )( x ? ) ? 0 , 需对 m 分三种情况讨论 , 即不等式的解集与 m 有 9 7
关. 4.解关于 x 的不等式: ax 2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0 解析: (ax ? 2)( x ? 2) ? 0

m m A. (? , ) 9 7

2?

2 2(a ? 1) ? a a
2 ? a
? 2 ? ? x | ? x ? 2? ; a ? ?

当 a ?1? 2 ?

当 0 ? a ?1? 2 ?

2? 2 ? ? ?x | 2 ? x ? ? , a? a ?

当 a ? 0 ? ( ?ax ? 2)( x ? 2) ? 0 ? ? x | x ?

? ?

2 ? 或x ? 2? a ?

a ? 0 ? x ? 2; a ? 1 ? x ? ?
5. 考点 3 分式不等式及高次不等式的解法 [例 5] 解不等式: ( x ? 1)( x ? 6 x ? 8) ? 0 【解题思路】先分解因式,再标根求解 [ 解析 ]原不等式 ? ( x ? 1)( x ? 1)( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ,各因式根依次为 -1,1,2,4,在数轴上标 根如下:
2 2

-1

1

2

4

x

所以不等式的解集为 (??, ?1] ? [1, 2] ? [4, ??) . 【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式 对应的方程的根的关系. 【新题导练】

x?a ? 0 的解集是 (?3, ?1) ? (2, ??) ,则 a 的值为_______ ( x ? 3)( x ? 1) 解析:原不等式 ? ( x ? a)( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,结合题意画出图可知 a ? ?2 .
5.若关于 x 的不等式 6. 解关于 x的不等式 解:①若 0 ? a ?

(a ? 1) x 2 ? 1 ? x(a ? 0) ax ? 1

5 ?1 1 1? 5 1? 5 ,则原不等式的解集为 (? , )?( , ? ?) ; 2 a 2 2 5 ?1 1? 5 ②若 a ? ,则原不等式的解集为 ( , ? ?) ; 2 2

③若 a ?

5 ?1 1? 5 1 1? 5 ,则原不等式的解集为 ( , ? )?( , ? ?) 2 2 a 2
x?2

7. ( 广东省深圳中学 2008—2009 学年度高三第一学段考试) 解不等式 x .解析:? 2
x?2

1 ? ( ) 4?2 x ? 2 . 2

1 ? ( ) 4?2 x ? 2 2
1

? 2 x ? 2 ? 2 2 x?4 ? 2 2
即2
3 x?2

? 2 得x ?

1 2

5 5 所以原不等式的解集为 { x | x ? } 6 6

考点 4 简单的恒成立问题 题型 1:由二次函数的性质求参数的取值范围 2 例 1.若关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 【解题思路】结合二次函数的图象求解 [解析]当 a ? 0 时,不等式 2 x ? 2 ? 0 解集不为 R ,故 a ? 0 不满足题意; 当 a ? 0 时,要使原不等式解集为 R ,只需 ? 综上,所求实数 a 的取值范围为 ( , ??)

?a ? 0 ?2 ? 4 ? 2a ? 0
2

,解得 a ?

1 2

1 2

?a ? 0 ?a ? 0 ? 【名师指引】不等式 ax ? bx ? c ? 0 对一切 x ? R 恒成立 ? ?b ? 0 或 ? 2 ?c ? 0 ?? ? b ? 4ac ? 0 ?
2

?a ? 0 ?a ? 0 ? 不等式 ax ? bx ? c ? 0 对任意 x ? R 恒成立 ? ?b ? 0 或 ? 2 ?c ? 0 ?? ? b ? 4ac ? 0 ?
2

题型 2.转化为二次函数的最值求参数的取值范围 【解题思路】先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. [解析] (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .由 f (0) ? 1 得 c ? 1 ,故 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 . ∵ f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ∴ a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? 1 ? (ax2 ? bx ? 1) ? 2 x ∴ f ( x) ? x2 ? x ? 1 即 2ax ? a ? b ? 2 x ,所以 2a ? 2, a ? b ? 0 ,解得 a ? 1, b ? ?1

(2)由(1)知 x2 ? x ? 1 ? 2 x ? m 在 [?1,1] 恒成立,即 m ? x 2 ? 3x ? 1在 [?1,1] 恒成立.

5 ,则 g ( x) 在 [?1,1] 上单调递减.所以 g ( x) 在 [?1,1] 上 4 的最大值为 g (1) ? ?1 .所以 m 的取值范围是 (??, ?1) . 【名师指引】 m ? f ( x) 对一切 x ? R 恒成立,则 m ? [ f ( x)]min ; m ? f ( x) 对一切 x ? R 恒成
2 2 令 g ( x) ? x ? 3 x ? 1 ? ( x ? ) ?

3 2

立,则 m ? [ f ( x)]max ; 【新题导练】 8.不等式 ax2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 2 对一切 x ?R 恒成立,则实数 a 的取值范围是_______.
2 2 [解析]:不等式 ax ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 对一切 x ?R 恒成立,

即 (a ? 2) x ? 4 x ? a ? 1 ? 0
2

对一切 x ?R 恒成立

若 a ? 2 =0,显然不成立 若a ? 2

?a ? 2 ? 0 ∴a ? 2 ? 0,则 ? ?? ? 0

1 )成立,则 a 的取值范围是 ( ) 2 5 A.0 B. –2 C.D.-3 2 a a 1 解析:设 f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 x= - ,若 - ? ,即 a?-1 时,则 f(x)在 2 2 2 1 1 5 〔0, 〕上是减函数,应有 f( )?0?- ?x?-1 2 2 2 a 1 若- ?0,即 a?0 时,则 f(x)在〔0, 〕上是增函数,应有 f(0)=1?0 恒成立,故 a?0 2 2
9.若不等式 x2+ax+1?0 对于一切 x?(0, 若 0? -

a2 a2 a2 a 1 a 1= 1- ? 0 恒成立, ? ,即-1?a?0,则应有 f( - )= - + 2 2 2 4 2 4
5 ?a,故选 C . 2

故-1?a?0. 综上,有-

★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1. 不等式 ? x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集是__________
2

解析:将不等式转化成 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ,即 ? x ? 1?? x ? 6? ? 0 .] 2. 若不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 {x | 2 ? x ? 3}, 则不等式 bx2 ? ax ? 1 ? 0 的解集为 __________. .解析:先由方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根为 2 和 3 求得 a , b 后再解不等式 bx2 ? ax ? 1 ? 0 .得

? 1 1? ?? ,? ? ? 2 3?
3. (广东省五校 2008 年高三上期末联考) 若关于 x 的不等式 g ( x) ? a2 ? a ? 1( x ? R) 的解 集为空集,则实数 a 的取值范围是 . 解析: g ( x) ? a2 ? a ? 1( x ? R) 的解集为空集,就是 1= [ g ( x) ]max< a 2 ? a ? 1 所以 a ? (??, ?1) ? (0, ??)
2 4(08 梅州 ) 设命题 P :函数 f ( x) ? lg( ax ? x ?

1 a) 的定义域为 R ;命题 q :不等式 16

1 ? 2 x ? 1 ? ax对一切正实数均成立。如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,
求实数 a 的取值范围。
2 解:命题 P 为真命题 ? 函数 f ( x) ? lg( ax ? x ?

1 a) 定义域为 R ? 16

ax 2 ? x ?

1 a ? 0 对任意实数 x 均成立 ? a ? 0时 ? x ? 0 解集为 R,或 16
∴ 命题 P 为真命题 ? a ? 2

?0 ? ? a ?1 ? 1 a 2 ? 0 ? a ? 2 ? ? 4
5.解关于 x 的不等式

k (1 ? x) ? 1 ? 0 (k≥0,k≠1). x?2 (1 ? k ) x ? k ? 2 ? 0, 原不等式即 x?2
1°若 k=0,原不等式的解集为空集; 2°若 1-k>0,即 0<k<1 时,原不等式等价于 ( x ? 此时

2?k )( x ? 2) ? 0, 1? k

2?k 2?k -2= >0, 1? k 1? k

2?k }; 1? k 2?k )( x ? 2) ? 0, 3°若 1-k<0,即 k>1 时,原不等式等价于 ( x ? 1? k 2?k 2?k 此时恒有 2> ,所以原不等式的解集为{x|x< ,或 x>2}. 1? k 1? k
∴若 0<k<1,由原不等式的解集为{x|2<x< 综合拔高训练 6.. 已知a>0,且a≠1,解关于 x 的不等式:?

1 ? log 2 (a x ? 1) ? log 4 (4 ? a x ). 2
解:原不等式等价于

1 1 ? log 2 (a x ? 1) ? log 2 (4 ? a x ),1 ? 2 log 2 (a x ? 1) ? log 2 (4 ? a x ) 2 2

log2 [(a x ? 1) 2 ? 2] ? log2 (4 ? a x )

?a x ? 1 ? 0 (1) ? x 原不等式同解于 ?4 ? a ? 0 (2) ?2(a x ? 1) 2 ? 4 ? a x (3) ?
由①②得1<a <4,?
x 2 x 由③得 2( a ) ? 3a ? 2 ? 0,?


7 分?

1 ? ax ? 2 2
10分?

从而 1<a ≤2



①当a>1 时,原不等式解为{x|0<x≤loga2

?? ?

②当0<a<1时,原不等式解为{x|loga2≤x<0

6.(广东省深圳外国语学校 2008 届第三次质检)据调查, 某地区 100 万从事传统农业的农民, 人均收入 3000 元,为了增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业, 对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有 x(x>0)万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高 2x%,而进入 企业工作的农民的人均收入为 3000a 元(a>0) 。 (I)在建立加工企业后,要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的 农民的年总收入,试求 x 的取值范围; (II)在(I)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即 x 多大时) ,能使这 100 万农民 的人均年收入达到最大。 解: (I)由题意得(100-x)· 3000· (1+2x%)≥100×3000, 2 即 x -50x≤0,解得 0≤x≤50, 又∵x>0 ∴0<x≤50; (II)设这 100 万农民的人均年收入为 y 元, 则 y= (100-x)× 3000× (1+2x%)+3000ax -60x2+3000(a+1)x+300000 = 100 100 (0<x≤50)

3 =- [x-25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 5

(i)当 0<25(a+1)≤50,即 0<a≤1,当 x=25(a+1)时,y 最大; (ii)当 25(a+1)>50,即 a >1,函数 y 在(0,50]单调递增,∴当 x=50 时,y 取最大值 答:在 0<a≤1 时,安排 25(a +1)万人进入企业工作,在 a>1 时安排 50 万人进入企业工作, 才能使这 100 万人的人均年收入最大 7.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c, (a, b, c ? R) 满足:对任意实数 x,都有 f ( x) ? x ,且
2

当 x ?(1,3)时,有 f ( x ) ?

1 ( x ? 2) 2 成立。 8

(1)证明: f (2) ? 2 ; (2)若 f (?2) ? 0, f ( x) 的表达式; (3)设 g ( x) ? f ( x) ? 实数 m 的取值范围。 解析: (1)由条件知 f (2) ? 4a ? 2b ? c ? 2 恒成立 又∵取 x=2 时, f (2) ? 4a ? 2b ? c ? ∴ f (2) ? 2 .

m 1 x , x ? [0,??) ,若 g ( x) 图上的点都位于直线 y ? 的上方,求 2 4

1 (2 ? 2) 2 ? 2 与恒成立, 8

(2)∵ ?

?4a ? 2b ? c ? 2 ?4a ? 2b ? c ? 0

∴ 4a ? c ? 2b ? 1, ∴ b ?

1 , 2

c ? 1 ? 4a .

又 f ( x) ? x 恒成立,即 ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0 恒成立.
2 ∴ a ? 0, ? ? ( ? 1) ? 4a (1 ? 4a ) ? 0 ,

1 2

1 1 1 ,b ? ,c ? , 8 2 2 1 2 1 1 ∴ f ( x) ? x ? x ? . 8 2 2
解出: a ? (3)由分析条件知道,只要 f ( x) 图象(在 y 轴右侧)总在直线 y ? 可,也就是直线的斜率

m 1 x ? 上方即 2 4

m 小于直线与抛物线相切时的斜率位置,于是: 2

? y? ? ? ? ?y ? ? ?

1 2 1 1 x ? x? 8 2 2 m 1 x? 2 4
2 ). 2
1 2 1 m 1 1 x ? ( ? ) x ? ? 在x ? [0,?? ) 必须恒成立, 8 2 2 2 4

∴ m ? (??,1 ? 解法 2: g ( x) ?
2

即 x ? 4(1 ? m) x ? 2 ? 0在x ? [0,??) 恒成立. ①△<0,即 [4(1-m)] -8<0,解得: 1 ?
2

2 2 ; ? m ? 1? 2 2

?? ? 0 ? ② ?? 2(1 ? m) ? 0 ? f ( 0) ? 2 ? 0 ?
总之, m ? (??,1 ?

解出: m ? 1 ?

2 . 2

2 ). 2


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