2013-2014学年高中数学 2.2.3向量的数乘(2)学案 苏教版必修4


课题:2.2.3 向量的数乘(2)
班级: 姓名: 学号: 第 学习小组 【学习目标】 1、理解两个向量共线的含义,并掌握向量共线定理; 2、能运用实数与向量的积解决有关问题。 【课前预习】 1、填空: (1) | ?a |?

?



(2)当 ? ? 0 时, ? a 与 a 方向 当 a ? 0 时, ? a = (3) ? ( ?a ) ?

?

?

;当 ? ? 0 时, ? a 与 a 方向 当 ? ? 0 时, ? a =

?

?



?

?



?

。 ; ? (a ? b ) ?

?

? ; (? ? ? )a ?

?

?

。 。 。

(4) 若向量 a 与 b 方向相反, 且 | a |? 2, | b |? 5 , 则 a 与 b 的关系是 (5)设 a, b 是已知向量,若 2( x ? a) ? 3( x ? b) ? 0 ,则 x ?

2、如图, D , E 分别是 ?ABC 的边 AB 、 AC 的中点,求证: BC 与 DE 共线, 并将 DE 用 BC 线性表示。 C E

B

D

A

3、 共线向量定理: 如果存在一个实数 ? , 使b ?

?

(a ? 0) , , 那么


?

?



? ? ? ? b 反之,如果 与 a (a ? 0) 是共线向量,那么

? ? b 注意: ? ?a (? ? 0) 可写成

? 1? a? b

?

? ? a b ? ?? ? ?? ,但不能写成 a 或b 。
?

4、提问:上述定理中,若无条件 a ? 0 ,会有什么结果?

?

1

5、向量共线定理如何用来解决点共线或线共点问题。

【课堂研讨】

? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? 2 e ,2a ? b ? ?3e ,试问:向量 a e 例 1、设 是非零向量,若 与 b 是否共线?

例 2、如图, ?OAB 中, C 为直线 AB 上一点, AC ? ?CB(? ? ?1) ,

OC ?
求证:

OA ? ? OB 1? ? 。

A C B O

OC ?
思考: 上例证明的结论

OA ? ? OB 1 ? ? 表明: 起点为 O , 终点为直线 AB 上一点 C

的向量 OC 可以用 OA, OB 表示。那么两个不共线的向量 OA, OB 可以表示平面内任 一向量吗?

2

【学后反思】 共线向量定理及其运用;若 OC ? sOA ? t OB ,则 s ? t ? 1 时, A, B, C 三点共线。

3

课题:2.2.3 向量的数乘(2)检测案 班级: 姓名: 学号: 【课堂检测】



学习小组

1、已知向量 a ? 2e1 ? 2e 2 , b ? ?3(e 2 ? e1 ) ,求证: a 与 b 是共线向量。

2、已知向量 MP ? 4e1 ? 2e 2 , PQ ? 2e1 ? e 2 ,求证: M , P, Q 三点共线。

CD AE 1 1 ? ? , DE ? (b ? a) EB 2 记 BC ? a, CA ? b, 求证: 3 3、如图,在△ ABC 中, DA 。
A E D B C

4、如图,设点 P, Q 是线段 AB 的三等分点,若 OA ? a, OB ? b ,试用 a, b 表示向量

OP, OQ
B Q P A

b
O

a

4

【课后巩固】 1、点 R 在线段 PQ 上,且

PR ?

3 PQ 5 ,设 PR ? ?QR ,则 ? ?

( )

2 A、 3

3 B、 2

?
C、

2 3

?
D、

3 2
( )

2、若 O 是平行四边形 ABCD 的中心,且 AB ? 4e1 , BC ? 6e 2 ,则 3e 2 ? 2e1 ? A、 AO B、 BO C、 CO D、 DO

a?
3、 已知向量

2 5 c, b ? 3a ? c 3 2 ,则 a 与 b

(填 “共线” 或 “不共线” ) 。

4、给出下列命题:①若 | a |?| b | ,则 a ? b ;②若 a ? b ,则 a ∥ b ;③若 | a |? 0 ,则

a ? 0 ;④ a ? 2c, b ? ?3c, 则 a ∥ b 。其中,正确的序号是
5、若 G 是△ ABC 的重心,则 GA ? GB ? GC ? 6、 已知 AB ? a ? 5b, BC ? ?2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) , 则 。



三点共线。

7、已知非零向量 e 1 和 e 2 不共线,若 k e1 ? e 2 和 e1 ? k e 2 共线,求实数 k 的值。

8、设 D, E, F 分别是 ?ABC 的边 BC, CA, AB 上的点,且

AF ?

1 1 AB BD ? BC 2 3 , ,

CE ?

1 CA 4 。若记 AB ? m, CA ? n ,试用 m, n 表示 DE, EF, FD。

5

9、如图,平行四边形 ABCD 中, E 是 DC 的中点, AE 交 BD 于 M , 试用向量的方法证明: M 是 BD 的一个三等分点。 D M A B E C

课题:2.2.3 向量的数乘(2) 班级: 姓名: 学号: 第 学习小组 【学习目标】 1、理解两个向量共线的含义,并掌握向量共线定理; 2、能运用实数与向量的积解决有关问题。
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【课前预习】 1、填空: (1) | ?a |?

?



(2)当 ? ? 0 时, ? a 与 a 方向 当 a ? 0 时, ? a = (3) ? ( ?a ) ?

?

?

;当 ? ? 0 时, ? a 与 a 方向 当 ? ? 0 时, ? a =

?

?



?

?



?

。 ; ? (a ? b ) ?

?

? ; (? ? ? )a ?

?

?

。 。 。

(4)若向量 a 与 b 方向相反,且 | a |? 2, | b |? 5 ,则 a 与 b 的关系是 (5)设 a, b 是已知向量,若 2( x ? a) ? 3( x ? b) ? 0 ,则 x ?

2、如图, D , E 分别是 ?ABC 的边 AB 、 AC 的中点,求证: BC 与 DE 共线, 并将 DE 用 BC 线性表示。 C E

B

D

A

? 3、共线向量定理:如果存在一个实数 ? ,使 b ?
? ? ? ? b 反之,如果 与 a (a ? 0) 是共线向量,那么

? ? ( a , ? 0) ,那么




? ? a b ? 1? ? ? ?? a? b ? ? ? ? ? ,但不能写成 a 注意: b ? ?a (? ? 0) 可写成 或b 。 ? ? 4、提问:上述定理中,若无条件 a ? 0 ,会有什么结果?

5、向量共线定理如何用来解决点共线或线共点问题。

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【课堂研讨】

? ? 例 1、设 e 是非零向量,若 a ? b ? 2e ,2a ? b ? ?3e ,试问:向量 a 与 b 是否共线?

?

?

? ?

?

?

?

例 2、如图, ?OAB 中, C 为直线 AB 上一点, AC ? ?CB(? ? ?1) ,

OC ?
求证:

OA ? ? OB 1? ? 。

A C B O

OC ?
思考:上例证明的结论

OA ? ? OB 1 ? ? 表明:起点为 O ,终点为直线 AB 上一点 C 的向

量 OC 可以用 OA, OB 表示。 那么两个不共线的向量 OA, OB 可以表示平面内任一向量吗?

【学后反思】 共线向量定理及其运用;若 OC ? sOA ? t OB ,则 s ? t ? 1 时, A, B, C 三点共线。

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课题:2.2.3 向量的数乘(2)检测案 班级: 姓名: 学号: 【课堂检测】



学习小组

1、已知向量 a ? 2e1 ? 2e 2 , b ? ?3(e 2 ? e1 ) ,求证: a 与 b 是共线向量。

2、已知向量 MP ? 4e1 ? 2e 2 , PQ ? 2e1 ? e 2 ,求证: M , P, Q 三点共线。

CD AE 1 1 ? ? , DE ? (b ? a) EB 2 记 BC ? a, CA ? b, 求证: 3 3、如图,在△ ABC 中, DA 。
A E D B C

4、如图,设点 P, Q 是线段 AB 的三等分点,若 OA ? a, OB ? b ,试用 a, b 表示向量

OP, OQ
B Q P A

b
O

a

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【课后巩固】 1、点 R 在线段 PQ 上,且

PR ?

3 PQ 5 ,设 PR ? ?QR ,则 ? ? ?
C、

( )

2 A、 3

3 B、 2

2 3

?
D、

3 2
( )

2、若 O 是平行四边形 ABCD 的中心,且 AB ? 4e1 , BC ? 6e 2 ,则 3e 2 ? 2e1 ? A、 AO B、 BO C、 CO D、 DO

a?
3、 已知向量

2 5 c, b ? 3a ? c 3 2 ,则 a 与 b

(填 “共线” 或 “不共线” ) 。

4、给出下列命题:①若 | a |?| b | ,则 a ? b ;②若 a ? b ,则 a ∥ b ;③若 | a |? 0 ,则

a ? 0 ;④ a ? 2c, b ? ?3c, 则 a ∥ b 。其中,正确的序号是
5、若 G 是△ ABC 的重心,则 GA ? GB ? GC ? 6、 已知 AB ? a ? 5b, BC ? ?2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) , 则 。



三点共线。

7、已知非零向量 e 1 和 e 2 不共线,若 k e1 ? e 2 和 e1 ? k e 2 共线,求实数 k 的值。

8、设 D, E, F 分别是 ?ABC 的边 BC, CA, AB 上的点,且

AF ?

1 1 AB BD ? BC 2 3 , ,

CE ?

1 CA 4 。若记 AB ? m, CA ? n ,试用 m, n 表示 DE, EF, FD。

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9、如图,平行四边形 ABCD 中, E 是 DC 的中点, AE 交 BD 于 M , 试用向量的方法证明: M 是 BD 的一个三等分点。 D M A B E C

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