2018年高考数学数学思想练数形结合思想专练课件文


第三部分

数学思想专练

数形结合思想专练

一、选择题 1.若 f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,又 f(- 3)=0,则 x· f(x)<0 的解集是( A.{x|-3<x<0 或 x>3} B.{x|x<-3 或 0<x<3} C.{x|x<-3 或 x>3} D.{x|-3<x<0 或 0<x<3} )

解析

因为 f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,

则在(-∞,0)上是减函数.

而 x· f(x)是奇函数,画 x· f(x)大致图象如图, 由图可知:x· f(x)<0 的解集为{x|x<-3 或 0<x<3},故选 B.

2.已知函数

? π? ? f(x)=sin?2ωx+3? ?的相邻两条对称轴之间的 ? ?

π π 距离为4,将函数 f(x)的图象向右平移8个单位后,再将所有 点的横坐标伸长为原来的 2 倍,得到 g(x)的图象,若 g(x)+k =0 在 ( ) 1 A.k≤2 1 1 C.-2<k≤2 1 B.-1≤k<-2 1 1 D.-2<k≤2或 k=-1
? π? ? x∈?0,2? ?有且只有一个实数根,则 ? ?

k 的取值范围是

解析

π 因为 f(x)相邻两条对称轴之间的距离为4,结合

T π 三角函数的图象可知 2 =4,
? π? 2π π π ? 又 T=2ω=ω=2,所以 ω=2,f(x)=sin?4x+3? ?. ? ?

π 将 f(x)的图象向右平移8个单位得到
? ? ? π? π? π? ? ? ? ? ? f(x)=sin?4?x-8?+3?=sin?4x-6? ?,再将所有点的横坐标 ? ? ? ? ? ?

伸长为原来的 2 倍得到

? π? ? g(x)=sin?2x-6? ?, ? ?

所以方程为

? π? ? sin?2x-6? ?+k=0. ? ?

? π? π π 5π ? ? 令 2x-6=t,因为 x∈?0,2?,所以-6≤t≤ 6 . ? ?

若 g(x)+k=0 在

? π? ? x∈?0,2? ?有且只有一个实数根, ? ? ? π 5π? ? 在?-6, 6 ? ?有且只有一个交点. ? ?

即 g(t)=sint 与 y=-k

如图所示,由正弦函数的图象可知 1 1 1 1 -2≤-k<2或-k=1,即-2<k≤2或 k=-1.

3.若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 实数 b 的取值范围是( A.[-1,1+2 2] C.[1-2 2,3] )

4x-x2有公共点,则

B.[1-2 2,1+2 2] D.[1- 2,3]

解析

曲 线 方 程 可 化 简 为 (x - 2)2 + (y - 3)2 =

4(1≤y≤3),即表示圆心为(2,3)、半径为 2 的半圆,数形结 合, 当直线 y=x+b 与此半圆相切, 须满足圆心(2,3)到直线 y=x+b 距离等于 2,解得 b=1+2 2或 b=1-2 2.因为是 下半圆,则舍去 b=1+2 2;当直线过点(0,3)时,解得 b= 3,故 1-2 2≤b≤3,所以 C 正确.

4.设 θ 为两个非零向量 a、b 的夹角,已知对任意实数 t,|b+ta|的最小值为 1,则( ) A.若 θ 确定,则|a|唯一确定 B.若 θ 确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则 θ 唯一确定 D.若|b|确定,则 θ 唯一确定

解析

→ → 如图,构造OA=a,OB=b,且〈a,b〉=θ,

→ → 则OAt=ta,由平行四边形法则知OCt=b+ta.当 OC⊥l 时, → |OC| 1 → |OCt|取最小值为 1,此时 sinθ= → = .故若 θ 确定,则|b| |b| |OB| 唯一确定,所以答案为 B.

5. [2017· 浙江杭州诊断]若直角坐标平面内两点 P, Q满 足条件:①P,Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P,Q 关于原 点对称,则称(P,Q)是函数 y=f(x)的一个“伙伴点组”(点 组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数 f(x)
?kx-1,x>0, =? ?-ln ?-x?,x<0,

有两个“伙伴点组”,则实数 k 的取

值范围是(
? 1? ? C.?0,2? ? ? ?

) B.(0,1) D.(0,+∞)

A.(-∞,0)

解析

根据题意可知 “伙伴点组 ”满足两点:都在函

数图象上,且关于坐标原点对称.可作出函数 y=-ln (- x)(x<0)关于原点对称的函数 y=ln x(x>0)的图象,使它与函 数 y=kx-1(x>0)的图象交点个数为 2 即可.设切点为(m, 1 ln m),y=ln x 的导函数为 y′= x ,可得 km-1=ln m,k= 1 m,解得 m=1,k=1,可得函数 y=ln x(x>0)过(0,-1)点 的切线斜率为 1,结合图象可知 k∈(0,1)时有两个交点.故 选 B.

二、填空题 6.当 x∈(1,2)时,(x-1)2<logax 恒成立,则 a 的取值范 (1,2] 围为________ .
解析 在同一坐标系内作出 y=(x-1)2,x∈(1,2)及 y= logax 的图象,若 y=logax 过(2,1),则 loga2=1,∴a=2.结合 图形,若使 x∈(1,2)时,(x-1)2<logax 恒成立,则 1<a≤2.

7.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,若抛 物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小

2 值是________ .

解析

记抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),注意到直线

l2:x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,于是抛物线 y2=4x 上 的动点 P 到直线 l2 的距离等于|PF|, 问题即转化为求抛物线 y2=4x 上的动点 P 到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离与它到 焦点 F(1,0)的距离之和的最小值, 结合图形, 知该最小值等 于焦点 F(1 , 0) 到直线 l1 : 4x - 3y + 6 = 0 的距离,即为 |4×1-3×0+6| =2. 5

8.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一 天售出 19 种商品,第二天售出 13 种商品,第三天售出 18 种商品;前两天都售出的商品有 3 种,后两天都售出的商品 29 有 4 种,则该网店这三天售出的商品最少有________ 种.

解析

由于前二天都售出的商品有 3 种,因此第一天

售出的有 19-3=16 种商品第二天未售出;第三天售出的 商品中有 14 种第二天未售出,有 1 种商品第一天未售出, 三天总商品种数最少时,是第三天中 14 种第二天未售出的 商品都是第一天售出过的,此时商品总数为 29.分别用 A, B,C 表示第一、二、三天售出的商品,如图最少时的情形, 故答案为 29.

三、解答题 9.[2017· 山西四校联考]设函数 f(x)=|x+1|+|x-2|. (1)求 f(x)的最小值,并求出 f(x)取最小值时 x 的取值范 围; (2)若不等式 f(x)≤a(x+1)的解集为空集,求实数 a 的取 值范围.



(1)∵f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当

且仅当(x+ 1)(x- 2)≤0 ,即- 1≤x≤2 时取等号,∴f(x)min =3,此时 x∈[-1,2].
?-2x+1,x<-1, ? (2)f(x)=?3,-1≤x<2, ? ?2x-1,x≥2,

那么函数 f(x)的图象如图所示.

由于 y=a(x+1)的图象是过定点 P(-1,0)、斜率为 a 的 直线,由图可得不等式 f(x)≤a(x+1)的解集为空集时,a 的 取值范围是 kAC≤a<kPB,即 a∈[-2,1).

?x2+y2≤4, 10.已知实数 x,y 满足不等式组? ?x≥0,

求函数 z

y+3 = 的值域. x+1
解 由解析几何知识可知所给的不等式组表示圆 x2+y2

y+3 =4 的右半圆域(含边界),z= 可改写为 y+3=z(x+1), x+1 把 z 看作参数,则此方程表示过定点 P(-1,-3),斜率为 z 的直线系.

那 么 所 求 问 题 的 几 何 意 义 是 : 求 过 半 圆 域 x2 + y2≤4(x≥0)内或边界上任一点与过点 P(-1,-3)的直线斜 率的最大、最小值. 由图显见过点 P 和点 A(0,2)的直线斜率最大, zmax= 2-?-3? =5. 0-?-1?

过点 P 向半圆作切线,切线的斜率最小. 设切点为 B(a, b), 则过点 B 的切线方程为 ax+by=4,
?a2+b2=4, 又 B 在半圆周上,P 在切线上,则有? ?-a-3b=4, ? ?a=-2+3 6, ? 5 又 a>0,解得? -6- 6 ? b= , ? 5 ?
? ?2 综上可知函数的值域为? ?

2 6- 3 因此 zmin= . 3

? 6- 3 ? , 5 ?. 3 ?

11.已知 a>0,函数 f(x)=x|x-a|+1(x∈R). (1)当 a=1 时,求所有使 f(x)=x 成立的 x 的值; (2)当 a∈(0,3)时,求函数 y=f(x)在闭区间[1,2]上的最小 值.
解 (1)当 a=1 时,因为 x|x-1|+1=x,

所以 x=-1 或 x=1.

?x2-ax+1,x≥a, (2)f(x)=? 2 ?-x +ax+1,x<a,

(其示意图如图所示) ①当 0<a≤1 时,x≥1≥a,这时,f(x)=x2-ax+1,对 称轴是 a 1 x=2≤2<1, 所以函数 y=f(x)在区间[1,2]上递增,f(x)min=f(1)=2- a; ②当 1<a≤2 时,当 x=a 时,函数 f(x)min=f(a)=1;

③当 2<a<3 时,x≤2<a,这时,f(x)=-x2+ax+1,对 3? a ? ? 称轴是 x=2∈?1,2? ?,f(1)=a,f(2)=2a-3. ? ? 因为 (2a- 3)-a=a- 3<0,所以函数 f(x)min= f(2)= 2a -3. 综上, 当 0<a≤1 时, f(x)min=2-a; 当 1<a≤2 时, f(x)min =1;当 2<a<3 时,f(x)min=2a-3.

?f?x?,x≤0, 12.设函数 F(x)=? ?g?x?,x>0,

其中 f(x)=ax3-3ax,

1 2 g(x)=2x -ln x,方程 F(x)=a2 有且仅有四个解,求实数 a 的取值范围.
解 1 x∈(0,1)时, g′(x)=x- x <0, x∈(1, +∞)时, g′(x)

1 1 =x- x >0,所以当 x=1 时,g(x)取极小值 g(1)=2. (1)当 a=0 时,方程 F(x)=a2 不可能有 4 个解;

(2)当 a<0 时,因为 f′(x)=3a(x2-1),若 x∈(-∞,0] 时, f′(x)=3a(x2-1), 当 x∈(-1,0]时, f′(x)>0, 当 x∈(- ∞,-1)时,f′(x)<0,所以当 x=-1 时,f(x)取得极小值 f(-1)=2a,又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如图(1)所示,从图 象可以看出 F(x)=a2 不可能有 4 个解;

(3)当 a>0 时, 当 x∈(-∞, -1)时, f′(x)>0, 当 x∈(- 1,0]时,f′(x)<0,所以当 x=-1 时,f(x)取得极大值 f(-1) =2a,又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如图(2)所示,从图象看 1 2 1 出方程 F(x)=a 若有 4 个解,则2<a <2a,且 2a>2,所以实
2

数a

? 的取值范围是? ? ?

? 2 ? , 2 ?. 2 ?


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