直线倾斜角与斜率


用什么量来刻画直线 的倾斜程度?
y

l3

l2

?3 ?2 Q
O
P

l1
x

?1

直线的倾斜角 定义:当直线 l 与x轴相交时,我们取x轴作 为基准,x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角α 叫做直线 l 的倾斜角.
y 规定 当直线l与x轴平行或重合时, ? 0 它的倾斜角为 . a

? ? 0?
o
α2 x

y

l
x O

y

l
x

O

l
O

y x O

? ? 0?
y

l
x

思考
直线倾斜角的范围?

? 0 ,180 ?

?

l1 // l2 // l3
y

?1 ? ? 2 ? ?3

l3

l2

l1

α3

α2

α1

O

x

日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量

升 高 量 前进量

3 2 陡一些,因为坡度(比) ? . 2 2

例如,“进2升3”与“进2升2”比较,前者更

升 高

升高量 坡度(比)? 前进量

?

前进

直线的斜率

一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这条直线的斜率.

π (a ? ) 2

k? tan?
π ( ) ?a ? ? ? ? ?[0 ,90 )2 ? (90?,180 )

a?0

k? tan?
? ? [0, ) ? ( , π)
?
π 2 π 2

k

k ? (??,??)

π 2

O

π 2

π

3? 2

a

a?0
π 0?a? 2
π ?a?π 2

k ?0
k ?0

k?0

π k不存在 ? a? 时 , k 2

判断正误: ①平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ②直线的斜率的范围是(??,??) ( ) ( )

③任一条直线都有倾斜角,所以任一条直线都有 斜率. ( ④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 (


)

k? tan?
给定两点P1 ( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且 x1 ≠x2,如何计算直线P1 P2的斜率k?

l
y P2(x2,y2)

P1(x1,y1)

O

? ? Q (x2,y1)
x

两点的斜率公式
当 ? 为锐角时,? ? ?QP 1P 2 , x1 ? x2 , y1 ? y2 .

在直角 △ P 1P 2Q 中

| QP2 | y2 ? y1 tan? ? tan?QP ? . 1P 2 ? |P x2 ? x1 1Q |
?

两点的斜率公式

?

y1 ? y2 . tan? ? tan( 180? ? ? ) ? ? tan? .
在直角△
P 1P 2Q

? ? ? 180 ? ?QP1 P2 , x1 ? x2 , ? 当 为钝角时,



| QP y2 ? y1 y2 ? y1 2 | t an? ? ? ?? , |P x1 ? x2 x2 ? x1 1Q |

y2 ? y1 tan? ? . x2 ? x1

两点的斜率公式

同样,当 P2 P1 的方向向上时,也有

y2 ? y1 k ? tan a ? . x2 ? x1

两点的斜率公式

y 2 ? y1 k ? tan a ? x2 ? x1

1.已知直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,运用 上述公式计算直线 AB? 斜率时,与 P 两点坐标的顺 1, P 2 序有关吗?

无关

2.当直线平行于y 轴,或与y 轴重合时,上述斜 率公式还适用吗?为什么?

不适用

两点的斜率公式

y 2 ? y1 k ? tan a ? x2 ? x1

当直线 P2 P1 与 x 轴平行或重合时,上述式子还成 立吗?为什么?

成立

经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ) 的直线的 斜率公式为: y2 ? y1 k ? . x2 ? x1

k?

例1 如图 ,已知 A( 3,2), B( ?4,1), C (0,?1) ,求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角. 解:直线AB的斜率 1? 2 1 k AB ? ? ; ?4?3 7 直线BC的斜率 ?1?1 ? 2 1 k BC ? ? ?? ; 0 ? ( ?4 ) 4 2 ?1? 2 ? 3 ? ? 1; 直线CA的斜率 kCA ? 0?3 ?3 由 k AB ? 0 及 kCA ? 0 知,直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角;由 kBC ? 0 知,直线BC的倾斜角为钝角.

y 2 ? y1 x 2 ? x1

练习1
已知直线 l 经过三点 p1 (3,5), p2 ( x,7), p3 (?1, y),若直线 l
的斜率为 k ? 2, 求.x, y.的值.
?7 ? 5 ? 2, ? ?x ?3 解:由斜率公式得 ? ? y ? 5 ? 2. ? ??1? 3

? x ? 4. 所以? ? y ? ?3.

课堂练习 P.86 T1,2,3,4.

例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分 别为1,-1,2及-3的直线 l1 , l2 , l3 及 l4. 解:取 l1上某一点为 A1 的 y
l3

坐标是 ( x1 , y1 ),根据斜率公式 有: y1 ? 0 1? , x1 ? 0
即 x1 ? y1 .

A3

l1

A1

A2

x
l2

l4
A4

设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A1的坐标是 (1,1) .过 原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 . l2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线,l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 )的直线, l4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线.

课堂小结:

1、直线的倾斜角定义及其范围: 0 ? ? ? ? 180? ? 2、直线的斜率定义:k ? tan ? ( a ? 90 ) ? 之间的关系: 3、斜率k与倾斜角

y 2 ? y1 y1 ? y 2 k? ( 或k ? ) 4、斜率公式: x 2 ? x1 x1 ? x 2

?? ? 0 ? k ? tan 0 ? 0 ? ?0 ? ? ? 90 ? k ? tan ? ? 0 ? ?? ? 90 ? tan ? (不存在) ? k不存在 ?90 ? ? ? 180 ? k ? tan ? ? 0 ?

P.89习题3.1 A组 1,2, 3, 4, 5


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