2012年上海市静安区中考数学二模试卷(word版含答案)


静安区“学业效能实证研究”学习质量调研 九年级数学学科
2012.4

(满分 150 分,100 分钟完成)
考生注意: 1. 本试卷含三个大题, 25 题. 共 答题时, 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答, 在草稿纸、本调研卷上答题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) [每小题只有一个正确选项,在答题纸相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂] 1.下列运算正确的是
1
1

1

1

(A) 9 ? 3
3

(B) 9

3

? ?3

(C) 9

2

? 3

(D) 9 2 ? ? 3

2.关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 根的情况是 (A)有两个不相等的实数根 (C)没有实数根 (B)有两个相等的实数根 (D)不能确定的

3.函数 y ? (1 ? k ) x 中,如果 y 随着 x 增大而减小,那么常数 k 的取值范围是 (A) k ? 1 (B) k ? 1 (C) k ? 1 (D) k ? 1

4.在一个袋中,装有除颜色外其它完全相同的 2 个红球和 2 个白球,从中随机摸出两个球, 摸到的两个球颜色不同的概率是 (A)
1 4

(B)

1 2

(C)

1 3

(D)

2 3

5.对角线互相平分且相等的四边形是 (A)菱形 (B)矩形 (C)正方形 (D)等腰梯形

6.如果⊙O1 的半径是 5,⊙O2 的半径为 8, O 1O 2 ? 4 ,那么⊙O1 与⊙O2 的位置关系是 (A)内含 (B)内切 (C)相交 (D)外离

二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) [在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]
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7.计算: ( 3 ? 2 ) =
2

▲ ▲

. . ▲ .

8.化简: 6 a 6 ? 3 a ? ? 9.不等式组 ?
? x ? 1 ? 0, ?? 2 x ? 3

的整数解是 ...

10. 方程 x ? 6 ? x 的根为 11.函数 y ?
3x ? 2 2x ? 3



. ▲
x y ?

的定义域为



12.已知 x 2 ? xy ? 2 y 2 ? 0 ( y ? 0 ), 那么





13.如果点 A、B 在一个反比例函数的图像上,点 A 的坐标为(1,2) ,点 B 横坐标为 2, 那么 A、B 两点之间的距离为 ▲ . ▲ .

14. 数据 3、4、5、5、6、7 的方差是

15.在四边形 ABCD 中,AB=CD,要使四边形 ABCD 是中心对称图形,只需添加一个条件, 这个条件可以是 ▲ .(只要填写一种情况)
?

16.在△ABC 中,点 D 在边 BC 上, CD=2BD, AB ? a , BC ? b ,那么 DA





17.如图,点 A、B、C 在半径为 2 的⊙O 上,四边形 OABC 是菱形,那么由 BC 和弦 BC 所组成的弓形面积是 ▲ .
1 3

18.如图,在△ABC 中,∠C=90°,点 D 为 AB 的中点,BC=3, cos B ? CD 翻折后, 点 B 落到点 E,那么 AE 的长为 C ▲ .

,△DBC 沿着

A

D O A (第 17 题图) 三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) [将下列各题的解答过程,做在答题纸的相应位置上] 19. (本题满分 10 分) 化简:
x 1
2

B

B C (第 18 题图)

? 3x ? 2

? ( x ? 1)

?1

? ( x ? 2)

0

,并求当 x ?

3 ? 1 时的值.

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20. (本题满分 10 分)
3 ? ? ? 2 x ?x ? y 解方程组: ? 6 ? ? 2 ?x ? y x ? 1 ? y 1 ? y ? 2, ? 1.

21. (本题满分 10 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 4 分) 已知:如图,在□ABCD 中,AB=5,BC=8,AE⊥BC,垂足为 E, cos B ? 求: (1)DE 的长; (2)∠CDE 的正弦值. B E (第 21 题图) C A
3 5

. D

22. (本题满分 10 分第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 4 分) 20 个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共 120 吨,每个集装箱都只装载一种商品,根 据下表提供的信息,解答以下问题: 商品类型 每个集装箱装载量(吨) 每吨价值(万元) 甲 8 12 乙 6 15 丙 5 20

(1)如果甲种商品装 x 个集装箱,乙种商品装 y 个集装箱,求 y 与 x 之间的关系式; (2)如果其中 5 个集装箱装了甲种商品,求每个集装箱装载商品总价值的中位数.

23. (本题满分 12 分,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 5 分) 已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=CD=AD, 点 E 在 BA 的延长线上,AE=BC,∠AED= ? . (1)求证:∠BCD=2 ? ; (2)当 ED 平分∠BEC 时, 求证:△EBC 是等腰直角三角形. B (第 23 题图) A D

E

C

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24. (本题满分 12 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 8 分) 如图,一次函数 y ? x ? 1 的图像与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A、B.二次函数的图像与 y 轴的正半轴相交于点 C,与这个一次函数的图像相交于点 A、D,且 sin ? ACB ? (1) 求点 C 的坐标; (2) 如果∠CDB=∠ACB,求 这个二次函数的解析式. C y
10 10



B O x

A
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(第 24 题图) 25. (本题满分 14 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 4 分) 如图,⊙O 的半径为 6,线段 AB 与⊙O 相交于点 C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB 与 ⊙O 相交于点 E,设 OA= x ,CD= y . (1) 求 BD 长; (2) 求 y 关于 x 的函数解析式,并写出定义域; (3) 当 CE⊥OD 时,求 AO 的长.
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O E B

A

C

D

(第 25 题图)

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静安区质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准 2012.4.12 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.C; 2.A; 3.B; 4.D; 5.B; 6.C. 二.填空题: (本大题共 12 题,满分 48 分) 7. 2 ? 1; 13. 2 ; 等; 14.
5 3 1 3

3;

8. 2 a 3 ;

9. ? 1, 0 ,1 ;

10. x ? 3 ;

11. x ? ?

3 2

; 12. ? 2 或


b ;

15.AB//CD 或 AD=BC、∠B+∠C=180?、∠A+∠D=180? 17. ? ?
3 2 3 ;

16. ? a ?

18.7.

三、 (本大题共 7 题,第 19、20、21、22 题每题 10 分,第 23、24 题每题 12 分,第 25 题 14 分,满分 78 分) 19. 解:原式= 分) = 分) 当x ? 分) 20.解:设
x 1
2

1 ( x ? 1)( x ? 2 )

?

1 x ?1

? 1 ……(3 分)

=

1? x ? 2 ? x

2

? 3x ? 2

( x ? 1 )( x ? 2 )

………(2

x

2

? 2x ? 1

( x ? 1)( x ? 2 )

………………(1 分)

=

x ?1 x ? 2

.…………………………(1

3 ? 1 时,原式=

3 ?1?1 3 ?1? 2

?

3 3 ?1

?

3? 2

3

.…………………………(3

? y

? a,

1 x? y

? b ,…………………………………………………………(2

分)
?3a ? b ? 2, 则? ………………………(2 分) ? 6 a ? b ? 1,
1 ? ?a ? , 3 ……………………(1 ? ?b ? 1. ?

分)
1 1 ? ? , ? 2 3 ?x ? y ………………………(1 分) ? ? 1 ? 1, ?x? y ?
?x2 ? y ? 3 ……………………(1 ? ? x ? y ? 1,

分) 解得 ? 分)
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? x 1 ? 2 , ? x 2 ? ? 1, ……………………………………………………………… (2 ? ? y 1 ? ? 1, ? y 2 ? 2 .

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经检验:它们都是原方程组的解.……………………………………………………(1 分) 所以原方程组的解是 ?
? x 1 ? 2 , ? x 2 ? ? 1, ? ? y 1 ? ? 1, ? y 2 ? 2 .
BE AB

21. 解:(1) ∵Rt△ABE 中, cos B ? 分) ∴BE=AB cos B ? 5 ? 分) ∴AE= 分)
AB
2

,…………………………………………………(1

3 5

? 3 . ……………………………………………………(1

? BE

2

?

5

2

? 3

2

? 4

,…………………………………………(2

∵□ABCD 中,AD//BC,∴∠DAE=∠AEB=90?,AD=BC=8,………………(1 分) ∴DE= 分) (2)∵CD=AB=5,CE=BC–BE=8–3=5,∴CD=CE,………………………………(1 分) 分) ∴sin∠CDE=sin∠ADE= 分) 22.解: (1)丙种商品装( 20 ? x ? y ) 个集装箱,…………………………………………(1 分) ∴ 8 x ? 6 y ? 5 ( 20 ? x ? y ) ? 120 ,…………………………………………………(4 分) ∴ y ? 20 ? 3 x .………………………………………………………………………(1 分) (2)当 x ? 5 时, y ? 20 ? 3 ? 5 ? 5 , 20 ? x ? y ? 20 ? 5 ? 5 ? 10 .………………(1 分) ∴甲、乙、丙三种商品装载集装箱个数分别是 5、5、10, 相应的每个集装箱装载商品总价值分别为 96、90、100 万元.………………(1 分) 20 个集装箱装载商品总价值从小到大排列后第 10、11 个分别是 96、100 万元. ………………………………………………………………………………………(1
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AE DE ? 4 4 5 ? 5 5
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AE

2

? AD

2

?

4

2

?8

2

? 4

5

. ……………………………………… (1

∴∠CDE=∠CED=∠ADE.………………………………………………………(1

.……………………………………(2

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分) ∴每个集装箱装载商品总价值的中位数是 分) 23.证明: (1)联结 AC,………………………………………………………………………(1 分) ∵梯形 ABCD 中,AD//BC,∴∠EAD=∠B.……………………………………(1 分) ∵AE=BC,AB=AD,∴△DEA≌△ABC.………………………………………(1 分) ∵∠AED= ? ,∴∠BCA=∠AED= ? .…………………………………………(1 分) ∵AD=CD,∴∠DCA=∠DAC=∠ACB= ? .……………………………………(2 分) ∴∠BCD=∠DCA+∠ACB= 2 ? .…………………………………………………(1 分)
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96 ? 100 2

.……………(1 ? 98 (万元)

(2)∵ED 平分∠BEC,∴∠AEC=2∠AED=2 ? . ∵梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=CD, ∴∠EAD=∠B=∠BCD= 2 ? =∠AEC.…………………………………………(1 分) ∴CE=BC=AE.……………………………………………………………………(1 分) ∴∠ECA=∠EAC=∠EAD+∠DAC=3 ? . ………………………………………… (1 分) ∴∠ECB=∠ECA+∠ACB=4 ? . ∵∠B+∠BEC+∠BCE=180?,∴2 ? +2 ? +4 ? =180?,…………………………(1 分) ∴∠ECB= 4 ? =90? .………………………………………………………………(1 分) ∴△EBC 是等腰直角三角形.

24.解: (1)A( ? 1 ,0) ,OA=1,……………………………………………………………(1 分) 在 Rt△AOC 中,∵ sin 分)
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? ACB ? AO AC ? 10 10

,AC= 10 ,…………………………(2

∴OC= AC

2

? AO

2

?

10 ? 1 ? 3

,∴点 C 的坐标(0,3) .……………………(1 分)

(2)当点 D 在 AB 延长线上时,∵B(0,1) ,∴BO=1,∴ AB ?

AO

2

? BO

2

?

2



∵∠CDB=∠ACB ,∠BAC=∠CAD,∴△ABC∽△ACD.………………………(1 分) ∴ 分) 过点 D 作 DE⊥ y 轴,垂足为 E,∵DE//BO,∴
5 2 2

AD AC

?

AC AB

,∴

AD 10

?

10 2

,∴ AD ? 5 2 .…………………………………(1

DE OB

?

AE AO

?

AD AB



∴ DE 分)

? AE ?

? 5

.∴OE=4,∴点 D 的坐标为(4,5) .…………………(1

设二次函数的解析式为 y ? ax 2 ? bx ? 3 ,∴ ? 分)

? 0 ? a ? b ? 3, ? 5 ? 16 a ? 4 b ? 3 ,

…………………(1

1 ? ?a ? ? , 1 5 ? 2 ∴? ∴二次函数解析式为 y ? ? x 2 ? x ? 3 2 2 ?b ? 5 . ? 2 ?

.…………………………(1

分) 当点 D 在射线 BA 上时,同理可求得点 D(–2,–1) ,…………………………(2 分) 二次函数解析式为 y ? x 2 ? 4 x ? 3 .………………………………………………(1 分) 评分说明:过点 C 作 CG⊥AB 于 G,当点 D 在 BG 延长线上或点 D 在射线 GB 上时,可用 锐 角三角比等方法得 CG= 2 (1 分) ,DG=3 2 (1 分) ,另外分类有 1 分其余同 上. 25.解: (1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OAC=∠ODB.………………………(1

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分) ∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC.……………………………………………(1 分) ∴ 分) ∵OC=OD=6,AC=4,∴ 分)
BD 6 ? 6 4 BD OC ? OD AC

,………………………………………………………………………(1

,∴BD=9.……………………………………(1

(2)∵△OBD∽△AOC,∴∠AOC=∠B.……………………………………………(1 分) 又∵∠A=∠A,∴△ACO∽△AOB.………………………………………………(1 分) ∴ 分) ∵ AB ? AC ? CD ? BD ? y ? 13 ,∴ 分) ∴ y 关于 x 的函数解析式为 y 分) 定义域为 2 13 ? x ? 10 .…………………………………………………………(1 分)
? 1 4 x
2

AB AO

?

AO AC

,………………………………………………………………………(1

y ? 13 x

?

x 4

,………………………………(1

? 13

. ………………………………………… (1

(3)∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A. ∴∠AOD=180?–∠A–∠ODC=180?–∠COD–∠OCD=∠ADO.……………(1 分) ∴AD=AO,∴ y ? 4 ? x ,……………………………………………………………(1 分) ∴
1 4 x
2

? 13 ? 4 ? x

.…………………………………………………………………(1

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分) ∴ x ? 2 ? 2 10 (负值不符合题意,舍去) .………………………………………(1 分) ∴AO= 2 ? 2 10 .

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