2017-2018高一数学期中考试卷


下关一中 2017~2018 学年高一年级上学期期中考数学试卷
时间 120 分钟,总分 150 分

一、选择题(共 12 题,每题 5 分,共计 60 分) 1. 设集合 U ? ? 1,2,3,4,5?, A ? ? 1,2,3?, B ? ?2,5?,则 A ? ?CU B ? ? ( A. ?1,3? B. ?2,3? C. ?3? D. ?2? ) )

2.下列函数中与 y ? x 具有相同图象的一个函数是( A. y ? ( x ) 2 3.方程 log 2 x ? A.
1 2

B. y ? x 2
1 的解为( 2

C. y ? eln x ) C.
2 2

D. y ? ln e x

B.

1 4

D. 2 ( )
1 D. ( , ??) 3

4. 函数 f ( x) ? lg(3x ? 1) 的定义域为 A.R
1 B. (??, ) 3 1 C. [ , ??) 3

5.下列函数中,既是奇函数又在 (0, ??) 上单调递增的是( A. y ? log 2 x B. y ? x ?1 C. y ? x3 ( ) D. y ? 2x



6.函数 y ? 2|x| 的大致图象是

7.函数 y ? log 1 (? x2 ? x ? 2) 的单调增区间是 (
2



1? ? A. ? ?1, ? 2? ?

1? ? B. ? ??, ? 2? ?

?1 ? C. ? , ?? ? ?2 ?

?1 ? D. ? , 2 ? ?2 ?

8.已知 a ? 0.80.7,b ? 0.80.9 , c ? l.20.2 ,则 a, b, c 三者的大小关系是( A. c ? a ? b B. b ? a ? c C. a ? b ? c ) C. y ? x ? 1 D. x ? y ? 1 D. c ? b ? a



9.如果 log 1 x ? log1 y ? 0 ,那么(
2

2

A. y ? x ? 1

B. x ? y ? 1

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?(2 ? a) x ? 1, x ? 1 10.已知 f ( x) ? ? x , 满足对任意 x1 ? x2 , 都有 ?0成 x1 ? x2 ?a , x ? 1
立,那么 a 的取值范围是( A. ?1, 2 ?
? 3? B. ?1, ? ? 2?


?3 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

D. ?1, ?? ?

11、如果 f ? a ? b? ? f ? a ? f ?b? 且 f ?1? ? 2 , 则
f ? 2? f ?1? ? f ? 4? f ? 3? ? f ? 6? f ? 5? ? ??? ? f ? 2017 ? f ? 2016? ?(

) C.4032 D. 4031

A. 2016

B. 2017

12.对于函数 f ? x ? 定义域中任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,有如下结论: ① f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? f ? x2 ? ,② f ? x1· x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , ③

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , ? 0 ,④ f ? 1 2 ? ? 2 ? 2 ?


当 f ? x ? ? lnx 时,上述结论中正确结论的个数有( A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题(共 4 题,每题 5 分,共计 20 分) 13.

?1 ? 3 ?

2

? ____________.

14.若 a ? 0 且 a ? 1 ,则函数 f ( x) ? a x ? 1,(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点

.

15. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? ? ??,0? 时, f ? x ? ? 2? x ? x2 , 则 f ? 2? ? __________. 16.已知关于 x 的方程 | 2x ? a |? 1 有两个不相等的实数解,则实数 a 的取值范围 是 .

三、解答题(共 6 题,70 分,按要求写出必要计算或者证明过程) 17.(本小题满分 10 分)计算下列各题:
27 ? 1 (Ⅰ) lg 2 ? lg 25 ? ( ) 3 64

(Ⅱ)若 lg a ? ? lg b ,求 ab ? ln ? a ? b ? 的值。
0

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? (Ⅰ) 求函数的解析式和定义域, (Ⅱ) 并证明函数是奇函数;

a 的图像经过(1,-1). x

19.(本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? lg( x2 ? 2x ? 3) 的定义域为集合 A , 函数 g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值域为集合 B . (1)求集合 A , B ; (2)若集合 A , B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)某驾驶员喝了少量酒后,血液中酒精含量迅速上升到
0.3mg / ml ,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时 50% 的速度减少.为了

保障交通安全,某地交通规则规定,驾驶员血液酒精含量不得超过 0.08mg / ml , 那么该驾驶员至少要过几小时才能驾驶?(精确到 1 小时)

21. (本小题 12 分)如图,定义在 [?1, 2] 上的函数 f ? x ? 的图象为折线段 ACB , (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)请用数形结合的方法求不等式
f ? x ? ≥ log 2 ? x ? 1? 的解集,不需要证明.

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ?

2 ( x ? R), a ? R 为实数. 2 ?1
x

(I)用定义证明对任意实数 a ? R,f ( x) 为增函数; (II)试确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数.
? 1? (III)在(2)的条件下若 f ? 2at 2 ? a 2 ? a ? ? f ? 6at ? 1? ? 0 对任意 t ? ?0, ? 恒 ? 2?

成立,求 a 的取值范围。

下关一中 2017~2018 学年高一年级上学期期中考数学参考答案
1. 【答案】A

, , 4?, A ? ?CU B? ? ?13 , 【解析】 CU B ? ?13 ?
考点:1.集合的交集、补集的运算 2. 【答案】D 【解析】 y ? ln e x =x, x ? R ,故选 D. 考点:1、函数式化简;2 定义域 3. 【答案】D 【解析】由 log 2 ?
x

1 1 得 x ? 22 ? 2 2

【考点】1、指对数互化,2、根式运算。 4. 【答案】D 【解析】有对数函数的性质,真数为正数,故而 3 x ? 1, x ? 考点:1、对数函数的性质,2、定义域求解. 5. 【答案】C 【解析】 y ? 2x , y ? log 2 x 无单调性, y ? x ?1 递减,只有 C 符合 考点:1、函数的单调性,2、函数的奇偶性判断. 6. 【答案】B 【解析】函数为偶函数,右侧是指数函数,故选 B. 考点:1、指数函数图像.2、翻折变换 7. 【答案】D 【解析】析:先根据对数函数的真数大于零求定义域,再把复合函数分成二次函数和对数 函数,分别在定义域内判断两个基本初等函数的单调性,再由“同增异减”求原函数 解答:解:由题意可得函数的定义域是(-1,2) 令 t=-x +x+2,则函数 t 在(-1,
2

1 3

1 1 ]上递增,在[ ,2)上递减, 2 2

又因函数 y= log 1 t 在定义域上单调递减,
2

故由复合函数的单调性知 y= log 1 (4+3x-x )的单调递增区间是[
2

2

1 ,2). 2

故选 D

点评:本题的考点是复合函数的单调性,对于对数函数需要先求出定义域,这也是容易出 错的地方;再把原函数分成几个基本初等函数分别判断单调性, 再利用“同增异减”求原 函数的单调性. 8. 【答案】A 【解析】试题分析: 由指数函数的单调性可知 y ? 0.8x 是单调递减的所以 0.8
0.7

? 0.80.9 即

b ? a ? 1 ; y ? 1.2x 是单调增的,所以 y ? 1.20.2 ? 1.20 ? 1 ,故选 A.
考点:1、指数函数的单调性 2、指数函数图像 9. 【答案】D 【解析】 试题分析: log 1 x ? log 1 y ? 0 ? log 1 1 ,因为 log 1 x 为减函数,则 x ? y ? 1 .故选 D.
2 2 2 2

考点:1、对数函数的单调性.2、对数不等式 10.【答案】C. 11、 【答案】C 【解析】由题意得,令 a ? 1, b ? n ,则 f ? n ? 1? ? 2 f ? n ? ?

f ? n ? 1? f ? n?

?2



f ? 2? f ?1?

?

f ? 4? f ? 3?

?

f ? 6? f ? 5?

? 2?

f ? 2? f ?1?

?

f ? 4? f ? 3?

?

f ? 6? f ? 5?

? 6 ,故答案选 C.

12.对于函数 f ? x ? 定义域中任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,有如下结论: ① f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? f ? x2 ? ,② f ? x1· x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , ③

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , ? 0 ,④ f ? 1 2 ? ? 2 ? 2 ?


当 f ? x ? ? lnx 时,上述结论中正确结论的个数有( A.1 B.2 【答案】B 真确②④,故选 B C.3 D.4

【解析】试题分析:当 f ? x ? ? lnx 时, ①( f x1 ? x2) ? ln ? x1 ? x2 ? ? ( f x1)( ? f x2) ? lnx1 ? lnx2 ;①不正确;

由①可知② ( 正确; f x1 ? x2) ?( f x1) ?( f x2); ③

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? 0 ;说明函数是见函数,而 f ? x ? ? lnx 是增函数,所以③不正确;

④f?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? .说明函数是凸函数,而 f ? x ? ? lnx 是凸函数,所以④ ?? 2 ? 2 ?

正确; 故选②④. 考点:函数的基本性质 13.【答案】 3 ? 1 14. 【答案】 (0,2) 【解析】 试题分析:函数经过(0,1) ,向上平移一个单位,即函数经过(0,2) 考点:1、指数数函数图像,2、图像平移变换. 15. 【答案】 ?8 16. 【答案】 ?1, ?? ? 【解析】 试题分析: 由已知, “关于 x 的方程 2 x ? a ? 1 有两个不相等的实数解” 等价于 “ y ? 2x ? a 的图象和直线 y ? 1 有 2 个交点” ,当 a ? 0 时, y ? 2 x ? a ? 2 x ? a ,在 R 上单调递增, 不满足条件,故 a ? 0 ;当 x 趋于 ?? 时, y ? 2 x ? a 的值趋于 ?? ,当 x 趋于 ?? 时,

y ? 2 x ? a 的值趋于 0 ? a ? a ,故有 a ? 1 ,则实数 a 的取值范围为 ?1, ?? ? .
考点:方程根的存在性及个数判断. 【方法点晴】 此题主要考查含参数方程根的存在性及根的个数判断等有关方面的知识和技 能,属于中档题型.在解决此类问题过程中,常将“方程根的个数”转化为“两个函数图 象交点的个数”来进行判断,这其中常伴有数形结合法,通过平移、对称、翻折等手段画 出所给函数的图象,再根据题目要求,找到两函数图象交点个数的位置,从而得到所求参 数的取范围,达到解决问题的目的. 17. 【解答】(Ⅰ) lg 2 ? lg 25 ? (

27 ? 1 ) 3 64

?? 3 ?3 ? ? lg(2 ? 5) ? ?? ? ? ?? 4 ? ? ? ?
4 ?3? ? 1? ? ? = ? 1 ? 3 ?4?
? 7 3

?1

?

1 3

(Ⅱ) lg a ? ? lg b

lg a ? lg b ? 0 lg ab ? 0
ab ? 1
所以 ab ? ln ? a ? b ? ? 1 ? 0 ? 1 。
0

18. 【解答】(Ⅰ) 函数 f ( x) ? x ?

a 的图像经过(1,-1)所以 x

a -1 ? 1 ? , ?a ? 2 1 a ? f ( x) ? x ? , x ? (??, 0) ? (0, ??) x a a (Ⅱ) ? f (- x) ? - x ? =-(x ? ) ? f ( x) -x x
由奇函数的定义可知函数是奇函数 19. 【答案】 (Ⅰ){x | x ? ?1, 或x ? 3} ,? y | ?a ? y ? 4 ? a? (Ⅱ)(??, ?3] ? (5, ??) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)解不等式,求函数值域, (Ⅱ)由 A ? B ? B ? B ? A ? a ? ? ??, ?3? ? ?5, ??? . 试题解析: (Ⅰ) A ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,
2

? {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = {x | x ? ?1, 或x ? 3} ,

..4 分

B ? { y | y ? 2x ? a, x ? 2} ? { y | ?a ? y ? 4 ? a} .
(Ⅱ)∵ A ? B ? B ,∴ B ? A ... . ∴ 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3 ,∴ a ? ?3 或 a ? 5 , 即 a 的取值范围是 (??, ?3] ? (5, ??) . ..... 12 分 考点:解二次不等式,指数函数值域,集合的关系及运算. 9分

. ...6 分

20.【解答】1 小时后驾驶员血液中的酒精含量为

0.3 ? ( 1-50%)mg / ml
2 小时后其血液中酒精含量为

0.3 ? ( 1-50%) ? ( 1-50%)mg / ml ,
2 即 0.3? ( 1-50%) mg / ml ,?, x ( 1-50%) mg / ml , x 小时后其血液中酒精含量为 0.3?
x ( 1-50%) ? 0.8 由题意知 0.3 ?

4 ?1? 即? ? ? ? 2 ? 15 ?1? 1 4 采用估算法, x ? 1 时, ? ? = ? ; ? 2 ? 2 15 ?1? 1 4 4 x ? 2 时, ? ? = = ? ; ? 2 ? 4 16 15 ?1? y ? ? ? 是减函数, 由于 ?2?
所以满足要求的 x 的最小整数为 2. 故至少要过 2 小时驾驶员才能驾驶.
x 2 1

x

21. 【解答】(Ⅰ)由图像得 f ( x) ? ?

?2 x ? 2, ?1 ? x ? 0 . ?? x ? 2,0 ? x ? 2

(Ⅱ)如图所示函数 g ( x) ? log2( x?1) 图像经过(1,1) 即折线的中点,又 x ? 1 ? 0 , 易知不等式 f ? x ? ≥ log 2 ? x ? 1? 的解集

? -1,1?

22. 【解析】(I)证明设 x1,x2 是任意两个实数,且 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?

2 2 ) ? (a ? x2 ) 2 ?1 2 ?1
x1

( 2 2 x1 ? 2 x2 ) = x1 (2 ? 1) (2 x2 ? 1)
∵x1<x2,∴ 2 x1 ? 2 x2 ? 0
又 2x>0,∴ 2 1 +1 ? 0, 2 2 +1 ? 0,
x x

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),
故对任意实数 a,f(x)为增函数………………………………………….4 分 (II)解.若 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x), 即a?

2 2 ? ?a ? x 2 ?1 2 ?1
?x

整理,得 2a=

2 ? 2x 2 ? x =2. x 2 ?1 2 ?1

故 a=1,即当 a=1 时,f(x)为奇函数…………………………………….8 分 (III)由(2) f ( x ) 为奇函数.

? 1? f ? 2at 2 ? a 2 ? a ? ? f ? 6at ? 1? ? 0 对任意 t ? ?0, ? 恒成立, ? 2? ? 1? ? f ? 2at 2 ? a 2 ? a ? ? f ?1 ? 6at ? 对任意 t ? ?0, ? 恒成立 ? 2?

? 1? ? 2at 2 ? 6at ? a2 ? a ? 1 ? 0 对任意 t ? ?0, ? 恒成立 ? 2? ?0 ? a ? 1 ?0 ? a ? 1 ? ? 1? ? ? ? ? 1 ?2 ? a ? ? 0, ? ? 1 2 2 ? 2? ? 2 a ? 5a ? 2 ? 0 ? 2a ? ? ? 6a ? ? a ? a ? 1 ? 0 2 ? ?2?


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